XVII Математическая статистика (1081432), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Решение типовых примеров Пример 6.11. Двумерная случайная величина имеет нормальный закон распределения. Определим доеерихлелькыб иишереал для козффициента корреляции р с жоэФфиниеитом доверил 7 = 0,99, если значение Р, найденное по выборке объема и= 300, равно 0,14. Воспользуемся тем, что при больших объемах выборки оценка Р(Х„,У„) распределена почти по нормальному закону с параметрами р — р(1 — р )72п и (1 — р )х/и (см. 6.3).
По таблице квантилей нормального распределения (см. табл. П.2) найдем квантиль иП+ 17з — — полее — — 2,575. Имеем ,з) е(~р(х„,г) — ~ ~ —,< ц~)=ои. Отсюда Р(1- Рз) 1 — Рз Р(ХпХ )+ оо,вез <Р ( Р(1 - Р') 1- Р' Р(Х„,Ь„)+ + Заменяя в левой и правой частях неравенств р на Р н подставляя значение иоееь = 2,575, для данной выборки получаем границы 272 6. ОСНОВЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА доверительного интервала в виде Е = 0,14+ ' ' — 2,575 0 14(1 0 14г) 1 0 14г 300 р=0,14+ ' ' +2,575 0 14(1 0 14г) 1 0 14г 600 ' 4зоо После вычислений окончательно получаем доверительный интервал (0,13, 0,16).
Пример 6.12. Двумерная случайная величина имеет нормальный закон распределения. Построим доверительный интервал для коэффициента корреляции р с коэффициентом доверия 7 = 0,95, если значение р(Х„,У„), найденное по выборке объема и = 12, равно -0,65. Поскольку объем выборки мал, используем случайную величину 1+ р(х„, у'„) 2 1 — р(Х„,У„)' которая имеет приближенно нормальный закон распределения с параметрами 1+р р р= -1и — + и=— 2 1-р 2(п-1)' п-3 Используя таблицу кваптилей нормального распределения (см. табл.
П.2), находим квантиль и(г+.71/г пе,97$ - — 1,96. Имеем ~ 1 1+р(Х„,У„) 1 1+р р ~ 1,96 12 1 — р(Х„,У„) 2 1 — р 2(п — 1)! /и — 3/ откуда 1 1+ р(Х„,У„) 1,96 1 1+ р р 2 1 р(Х„, 1' ) с/п — 3 2 1 — р 2(п — 1) 1 1+ р(Х„, У„) 1,96 (-!и "' + 2 1 — р(х„,У„),lй: з 273 б.б. Решение типовых примеров Учитывая условия задачи, получаем 1 0,35 1,96 1 1+ р р 1 0,35 1,96 -!и — ' — — < -!и + — < -!и — '+ — ' 2 1,65 3 2 1 — р 22 2 1,65 3 ЗЗ 1+р р 33 - !и — — 1,31 < !и — + — < - !и — + 1,31.
7 ' 1 — р 11 7 Решая уравнения 1+р р ЗЗ !и — + — = 1,31 — !и —, 1 — р 11 7 1+р р ЗЗ !и — + — = -1,31 — !и —, 1 — р 11 ' 7' находим нижнюю р и верхнюю р границы доверительного интервала: р — 0,12, р ъ -0,88. Таким образом, доверительный интервал для р имеет вид (-0,988, — 0,12). Заметим, что границы доверительного интервала можно определить с помощью (6.16). Пример 6.13. В условиях примера 6.11 проверим зипотезу Но.. р = 0 на уровне значимости о = 0,01.
Если гипотеза Но верна, статистика р (Х„, У„) ~/н — 2 1 — рз(Х„, У„) имеет распределение Стьюдента с и — 2 степенями свободы, Поскольку объем выборки большой, соответствующую кван- тиль можно найти по таблице квантилей нормального распределения (см. табл.
П.2): и1 ~з — — ио,ооя = 2,575. По данным задачи вычисляем выборочное значение статистики Ф: 0,14~300 — 2 0,14~/298 ч~~- ОЧБ6 0,9804 274 б. ОСНОВЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА Поскольку 2,44 < 2,575, то гипотезу Но.. р = 0 принимаем на уровне значимости о = 0,01. Пример 6.14. По выборке объема и = 28 из двумерной еенеральной совокупности, распределенной по нормальному закону, найдено значение оценки р = 0,88 коэффициента корреляции.
Проверим гипотезу Но.р) 0,90 при альтернативной еииотезе Н1. .р < 0,90 на уровне значимости о = 0,01. Для проверки гипотезы Не воспользуемся статистикой у(у у ) 1! 1+Рйн~1а) 2 ! — Р(Х„,У„) (см. (6.15) ), для которой имеем 1+р р Р ((пх„,у„) — — ! 1~/и — 3 < ио,о1 = 0,01. 2 1 — р 2(и-1)/ С помощью таблицы квантилей нормального распределения (см. табл. П.З) находим квантиль иола — — 0,504, а затем — границу критической области для Я(Х„, У„): 1 ! 1+Р Р ио,оз !и 1 1 +0,9 0,9 0,504 !и + + 2 1-р 2(и-1) ~/и — 3 2 0,1 2 27 5 1 0,1 1 = -!и 19+ — '+ 0,1008 — !и 19+ 0,118. 2 6 ' 2 Вычислим выборочное значение Я~ = — !и -!и15,7. 1 1+088 1 1 — 0,88 2 Поскольку выборочное значение попало в критическую область (Я < 1!и 19+ 0,118), гипотезу Но отклоняем. Пример 0.15. По выборке объема и = 19, заданной в виде таблицы (табл.
6.3), найдем значение оценки корреллиионноео 6.6. Решеиие типовых примеров 275 оппюшепия и границы соответствующего доверительиого интервала с коэффициеитом доверия у = 0,8. Вычисляем выборочное среднее у = — ~22,8+ 21,9+ 22,1+ 24,5+ 1 х 19 + 26,0+ 26,1+ 26,8+ 27,3+ 28,2+ 28,5+ 28,9+ 30,0+ + 30,3+ 29,8+ 30,4+ 31,4+ 31,5+ 31,8+ 33,1) и 28,0 и выборочную дисперсию г -г ~22 8г+ 21 Ог+ 22 1г+ 24 5г+ 26,0г+ 26 1г+ 26 8г+ 19 + 27,3 + 28,2 + 28,5г+ 28,9 + 30,0 + 30,3 + 29,8 + 30,4 + + 31 4г+ 31 5г+ 31 8г + 33 1г) 28г 292 99 782 32 10 67 Чтобы вычислить значение оуг, составим стпатистпический Ряд (табл.
6.4). С помощью этого ряда находим о) (3(22 3 28 0)г+ (24 5 28 0)г+ 2(26 0 28 0)г+ +2(27,0 — 28,0) +2(28,4 — 28,0) +(28,9 — 28,0) + +3(30,0 — 28,0) +(30,4 — 28,0) +2(31,5 — 28,0) + + (31,8 — 28,0) + (33,1 — 28,0) ) и 8,18. Согласно формуле (6.20), 1 8,18 г — ~ — ' ~ ~/077 в 0,9.
у' 10,67 276 б. ОСНОВЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА Чтобы определить границы доверительного интервала, предварительно найдем степени свободы (11 — 1+19.0,77)з (10+19 0,77)з 11 — 1+2 19 0,77 10+38 ° 0,77 н гз — — и — ш = 19 — 11 = 8, а также квантили распределения Фишера 1 Гол = — т 0,41. го,о Й-ол —— Уо,о = 2,46, Далее с помощью формул (см. (6.24), (6.25)) получаем т ~/005ю02 10,90 — 10 гд~ = ~/2 91и1 7 19 Итак, 0,2 < г„» < 1. Пример 0.16.
По выборке объема и = 24 (табл. 6.5) найдем значение оценки корреляционного отношения и проверим гипотезу Но. пол — — 0 иа уровне значимости е = 0,05. Вычислим выборочное среднее Р и выборочную дисперсию аоз: 1 у=- ,'> у;т14,08, и . 1=1 в оо — — — ~ у< — рз т 28,92. -з 1ч г и 277 6.6. Решение типовых пшпееров Таблица 6.6 Чтобы найти значение йуз, по РезУльтатам выбоРкн составим статистический ряд (табл. 6.6). Далее по формуле 1 йу = — ~ Я1(9» — я) Я 1=1 получим Щ ж 4,66. Отсюда Для проверки гипотезы Но. г ~ — — 0 используем статистику (6.26) (~ — т)рз (Л'„,у„) (т — 1)(1 — 1з (Х„,У„)) которая приближенно имеет распределение Фишера со степенями свободы г1 —— т — 1 = 5 — 1 = 4 и гз — — и — т = 24 — 5 = 19.
По таблице кваптилей распределения Фишера (см. табл. П.4) находим Г1 — — Еодв = 2,92. Поскольку значение статистики (24 — 5) 0,16 19 ° 16 4-0,94 4 ° 94 меньше квантили Ео,зя = 2,92, гипотезу Но принимаем. 278 б. ОСНОВЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА Пример 6.17. По результатам 12 наблюдений найдены значения оценок коэффициентов корреляции Рог — — 0,64, рог — — 0,46, ргг = — 0,07. Найдем значения оценок частных коэдярициеитое корреляции рог1г1, рог1П и границы доверительного интервала для них с коэффициентом доверия 7 = 0,9.
Значения оценок для частных коэффициентов корреляции находим по формулам (6.29): Рог — Рог ргг 0,64 — 0,46(-0,07) Роцг1— Рог — Рог Ргг 0,46 — 0,64( — 0,07) т 0,66. Рог61— Для вычисления границ доверительного интервала используем формулы (6.17), (6.18), в которых объем выборки следует понизить на величину Й порядка частного коэффициента корреляции (см.
6.5), т.е. в данном случае заменить и на и — 1. По таблице квантилей нормального распределения (см. табл. П.2) находим квантиль иП~ Нг = иоле = 1,65 и решаем уравнения 1+ Р р 1,76 1,65 1и — + — = 1п — ' 1 р 10 0 24 чу дающие границы доверительного интервала для показателя Рог1г1 и Уравнения 1+ р р 1,66 1,65 1и — + — = 1п — ' 1 — р 10 0,34 /2 дающие границы доверительного интервала для показателя рог1г1. В результате получаем: (0,38, 0,91) — доверительный интервал для рш1г1; (0,20, 0,87) — доверительный интервал для рог1П.
Пример 6.18. В условиях примера 6.17 найдем значение оценки коэффициента детер.венеции Вг. 279 Вопросы я задачи Искомое значение Вг вычисляем по формуле (6.33), используя полученное в примере 6.17 значение Рщ16 и 0,66: (1 Рог) (1 Рог1П) = = 1 — (1 — 0,64 ) (1 — 0,66 ) ж 1 — 0,33 = 0,67. Вопросы и задачи 6.1. Что такое вектор входных переменных (факторов), вектор выходных переменных (откликов)? 6.2. Перечислите основные задачи статистического исследования зависимостей. 6.3.
Что называют корреляционным полем, корреляционной таблицей? 6.4. Запишите преобразование, используемое при построении донерительного интервала для р. 6.5. Какую статистику используют для проверки гипотезы УХо, Р=О? 6.6. Какую статистику используют при построении доверительного интервала для корреляционного отношения? По какому закону она распределена7 6.7. Какую статистику используют для пронерки гипотезы о равенстве нулю корреляционного отношения? 6.8, Что называют частным коэффициентом корреляции? Запишите формулу для частных коэффициентов корреляции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
