XVII Математическая статистика (1081432), страница 34
Текст из файла (страница 34)
6.9. Что называют множественным коэффициентом корреляции, коэффициентом детерминации? 6.10. Какими свойстнами обладает множественный коэффициент корреляции? 280 б. ОСНОВЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА 6.11. Запишите формулу, по которой может быть вычислен множественный коэффициент корреляции в случае нормального закона распределения7 6.12. Покажите, что из (6.32) следует (6.33). 6.13.
Двумерная случайная величина имеет нормальный закон распределения. Определите значения границ доверительного интервала для коэффициента корреляции р с коэффициентом доверия 7 = 0,95, если значение р, найденное по выборке объема и = 300, равно — 0,2. Ответ: ( — 0,26, -0,14). 6.14. Двумерная случайная величина имеет нормальный закон распределения. Определите значения границ доверительного интервала для коэффициента корреляции р с коэффициентом доверия у = 0,9, если значение р, найденное по выборке объема и = 28, равно р = — 0,36. Ответ: ( — 0,70, — 0,04).
6.15. В условиях предыдущей задачи проверьте гипотезу Не. р = 0 при уровне значимости о = 0,05 и альтернативной гипотезе Н,: р < О. О т в е т: гипотеза отклоняется. 6.16. По выборке объема и = 20 (табл. 6.7) найдите значение оценки корреляционного отношения.
Таблица б. 7 Ответ: г„4 =0,95. 6.17. По результатам 10 наблюдений, заданным таблицей (табл. 6.8), найдите: а) значения оценок коэффициентов корреляции раз, роз, ри', 281 б) значения оценок частных коэффициентов корреляции ре 1з) и рез1ц,' в) значения границ доверительного интервала для редр1 и рез01 с коэффициентом доверия 0,95; г) значения оценки коэффициента детерминации. Таблица 6.8 Ответ: а) риз -— -0,98; де~ — — -0,73; рея=0,69; б) ре,1з1= = — 0,36; рез01= -0,15; в) -0,3~0,57; — 0,15~0,64; г) 0,54. т.
основы РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА После обнаружения стпохастических связей между изучаемыми переменными величинами (см. 6) исследователь приступает к математическому описанию интересующих его зависимостей. Для достижения этой цели ему необходимо решить следующие задачи: 1) подобрать класс функций, в котором целесообразно искать наилучшую (в определенном смысле) аппроксимацию искомой зависимости; 2) найти оценки для неизвестных значений параметров, входящих в уравнение искомой зависимости," 3) установить адекватность полученного уравнения искомой зависимости; 4) выявить наиболее информативные входные переменные (фактпоры).
Совокупность перечисленных задач и составляет предмет исследований реерессионноео анализа. 7.1. Исходные предположения У = ~(х)+в(х), (7Л) Во многих прикладных задачах требуется построить математпическую модель, связывающую входные переменные (фактпоры) Хм ..., Хр и выходное переменное (отпклик) т. В дальнейших рассуждениях будем предполагать, что т' является случайной величиной при каждом фиксированном наборе х= (хт, ..., хр) значений переменных Х =(Хт, ..., Хр). Вэтом случае искомая математическая модель может быть представлена в следующем виде: 7. Ь Исходные оредположееие где ~(х) — скалярная функция, с(х) — случайная отиибка, т.е. случайная составляющая, порожденная либо действием случайных факторов, не включенных в набор Хм ..., Хр, либо случайными ошибками измерений величины /(х), либо и тем и другим одновременно. Будем считать, что для каждого х математическое ожидание с(х) равно нулю, т.е.
отсутствует систпематпическал погрешностпь модели. Следовательно для условного математического ожидания у(х) = М(У (Х = х) выходного переменного У при условии, что вектор входных переменных Х принял значение х, согласно (7.1), имеем у(х) = ~(х). Функцию Дх), описывающую зависимость условного среднего значения у(х) выходного переменного У от заданных фиксированных значений входных переменных Хы ..., Хр, называют функцией регрессии (или регрессией). Функция регрессии полностью определена, если известен условный закон распределения выходного переменного У при условии, что Х = х. Поскольку в реальных ситуациях никогда не располагают такой информацией, то обычно ограничиваются поиском подходящей аппроксимации Ях) для Дх), основываясь на стпатистпических даииых вида (х ', у;), т = 1, и, где хт = (х*, ..., х').
Этн данные есть результат п независимых наблюдений уы ..., у„случайной величины У при значениях входных переменных х~ = (хт, ..., х~), хз = (хзы ..., хз), ..., х" = (х", ..., х"), т.е. результат специально организованного эксперимента. Говоря о подходящей аппроксимации функции ~(х) — модели регрессии, нужно, но-первых, задать класс допустпимых моделей регрессии У, т.е.
класс функций, среди которых будем искать наилучшую аппроксимирующую функцию У,(х), и, во-вторых, выбрать критлерий, по которому будем получать наилучшую аппроксимирующую функцию ~ (х) из заданного класса У'. 284 7. ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА Чтобы задать критерий, используют функцию р(еу(Х)), где е1(Х) = 7(Х) — ЯХ) — случайная величина, а р(и)— некоторая неотрицательная функция аргумента и, как правило, неубываюилал и еыпунлал, например р = и~ или р = ~и~. Функцию Ях) считают наилучшей аппроксимирующей функцией из заданного класса У, если она обеспечивает минимальное значение функционала н Ь( ~д): МР(е/(Х)) или Ьд(~д) ~> Р(е7(х ) ) 1=1 где усреднение проводится по всем возможным значениям случайного вектора Х в первом равенстве и по всем имеющимся наблюдениям — во втором.
В случае функции р(и) = из получаемую регрессию называют средней кеадраизииноб, а метод, реализующий минимизацию функционала Ь„(Ц,), принято называть меплодом наименьших кеадратпое (МНК). Далее будем рассматри вать только этот тип регрессии. Поэтому, говоря о регрессии, будем опускать слова „средняя квадратичная".
В дальнейшем будем предполагать, что класс У допустимых моделей регрессии можно задать некоторым параметрическим семейством функций, т.е. представить в виде Уд = Ц (х;Р)), ~9 Е К'". Тогда задача отысканяя наилучшей аппроксимации для ДУ) сводится к определению таких значений параметров ф, при которых Ь„(Д,) достигает минимума. Следует отметить, что проблема выбора параметрического семейства функций Уд, являясь ключевой в Регрессионном анализе, не имеет, к сожалению, формализованных процедур для своего решения. Иногда выбор определяют на основе экспериментальных данных (х', у;), 1 = 1, и (см. пример 7.1), чаще— из теоретических соображений.
Например, если известно, что скорость протекания химической реакции между некоторыми компонентами пропорцио- 285 7.1. Исходные предположение нальна объему исходного вещества, то объем вещества 17(1) в момент $ изменяется по зкспоненцизльному закону Ц1) = Вое ~а(' 'ю) 1 > 1о 7" (х;,9) =~3 Ях)= ~ ф" 4~(х), (7.2) т где Р = (Ро Д " ~9 1) — нектар неизвестных параметров; т Р= (ч"о чч -.- ч' .-1) — вектор базисных Функций (известных заранее); ш — число неизвестных параметров,9ы в общем случае неизвестная величина, уточняемая в ходе построения модели. Следует заметить, что, согласно (7.2), 1йуннцпл Ях) = = 7" (х;Д является линейной по параметрам, представленным вектором р'.
Поэтому в рассматриваемом случае говорят о модели, линейной по параметарам. Другими словами, исходный класс функций У, содержащий истинную функцию регрессии 7(х), заменяют некоторым классом Уд = (Д,(х;Щ ~3 Е И"', более простых по структуре функций, представимых в виде (7.2), и задача снодится к наилучшей оценке вектора неизвестных параметров ~9 = = (9о, 9ы "., Ф' -1) . где до, 9, — неязнестные параметры модели, которые нужно оценить наилучшим образом по результатам наблюдений, а 1о — начальный момент времени. К сожалению, такие случаи редки.
Более реальной является ситуация, когда о механизме явления ничего не нзнестно н можно лишь предполагать, что искомая функция 7"(х) является достаточно гладкой. Тогда аппроксимирующая ее Функция Ях) может быть представлена в виде линейной комбинации некоторого набора линейно независимых базисных фуниций (фь(х)), Й = О, гп — 1, т.е. в виде 286 7. ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЭА При такой постановке задачи общая погрешность и (У; — 7" (х')) от аппроксимации результатов наблюдений д; = 7(х')+с;, 1=1, и, полученных в эксперименте, значениями функции Д,(х) б Уд обусловлена рассеянием отклика У относительно истинной регрессии Дх), т.е. величиной в Ь = ~~) (р'; — 7(х')) 1=1 и систематической погрешностью аппроксимации, связанной с заменой исходного класса функций У' более узким Уд б У': Следовательно, приближение ~(х) Д (хЩ (см.
7.2) нужно понимать в том смысле, что систематической погрешностью Ь при замене класса У' на Уд можно пренебречь по сравнению со случайной погрешностью съ,. Именно на сопоставлении этих двух типов погрешностей и основаны правила проверки адекватности модели У (х;Д = Ях), где вектор параметров 6 заменен значением вектора оценок ф. Одним из наиболее распространенных аппроксимирующих классов функций Уд является класс полиномов, в котором в качестве базисных функций выбраны степени переменных хм ..., хр. 287 7.1. Исходные предположения Простейшей полиномиальной моделью является модель 1-го порядка, линейная по всем переменным: где хе = 1 — фиктивное переменное, т.е. здесь 1ре(х) = 1, ф1(х) = Х1~ ~ Фев-1(Х) — Хт-1" Следует подчеркнуть, что представление (7.2) является самым общим видом линейной по параметрам модели и описывает яе только полиномиальные модели.
Например, в качестве базисных функций Фь(х) могут выступать тригонометрические функции я1пйх, сояйх, показательные е и др. Если неизвестная функция регрессии 1(х) представлена в виде (7.2), то задача ее поиска сведена тем самым к оценке т вектора неизвестных параметров 11 = (ре, ..., 19 1) и последующей проверке качества аппроксимации 1(х) Д (х), т.е. адекватности модели Ях). Если модель (7.2) окажется неадекватной, то вид аппроксимирующей функции Ях) нужно уточнять либо увеличением числа т базисных функций, либо заменой самих базисных функций другими, более подходящими.
Пример 7.1. Анализируется поведение двумерной случайной величины (Х, У), где Х вЂ” возраст (в годах) наугад выбранного школьника из группы в и = 40 человек, а У вЂ” масса его тела (в кг). На рис. 7.1 исходные статистические данные (х;, д;), 1 = 1, и, отмечены крестиками. Поскольку имелась возможность контролировать значения входной переменной Х, то зто позволило разбить обследованную группу школьников на четыре равные по объему подгруппы с примерно одинаковым возрастом. На рис. 7.1 видно, что в пределах каждой подгруппы рост подвержен неконтролируемому разбросу, т.е. налицо отмеченный выше стохастический характер связи между Х и У. Однако расположение точек (х;, п1) на плоскости хОу обнаруживает 288 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
