Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975) (1079972), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В момент отрыва лыжник толчком сообщает себе вертикальную составляющую скорости о„= 1 м~сен. Высота эстакады, И= 9 м, коэффициент трения лыж о снег 1 =0,08, линия приземления СР образует угол 8=45о с горвзонтом, Определить дальность 1 полета лыжника, прене- ) и брегая сопротивлением воздуха. лг П р и и е ч а к и е. Дальностью полета считать длину, измеряемую от точки отрыва С до точки приземления лыжника па лйиия СР.
Отмеелт: 1=47,4 м, 31.12 (808). Груз М весом Р падает без начальной скорости с высоты Н на плиту А, лежащу1о на спиральной пружине В. От действия упавшего груза М пружина сжимается на величину гт. Не учитывая веса плиты А и сопротивлений, вычислить время Т сжатия пружины на величину й и импульс Ю упругой силы пружины за время Т. Оглеетл: Т= — 1 — — а1,е $=Р~ Т+ 1гг ) ф.=-, Й= ч че(ччч 2 г'Н (Н+ Л) 31.13 (809).
При разрыве маховика одна из его часгеп, наиболее удаленная от места катастрофы, оказалась на расстоянии а=280 лл от первоначального положения. Пренебрегая сопротивлением воздуха при движении указанной части из первоначального положения в конечное, лежзщее в той же горизонтальной плоскости, найти наимень- шее возможное значение угловой скорости маховика в момент ката- строфы, если радиус маховика В=1,75 м. Ответ: я=286 об~мин. 31.14 (810).
Груз М, подвешенный на пружине к верхней точке А круглого кольца, расположенного в вертикальной плоскости, падает, скользя по кольцу без трения. Найти, какова должна быть жесткость пружины для того, чтобы давление груза на кольцо в нижней точке В равнялось нулю при следующих данных: радиус кольца 20 см, вес груза 5 кГ, в начальном положении груза расстояние АМ равно 20 см и пружина имеет натуральную длину; начальная ско- 17Ф ~ рость груза равна нулю; весом пружины пренебрегаем. ! Отвеги Пружина должна удлиняться на 1 см при действии силы, равной 0,5 кГ.
К задаче 31.1Ь 31.16 (811). Определить давление грува 'М на кольцо в нижней точке В 1чертеж предыдущей задачи) при следуюзцих данных: радиус кольца 20 см, вес груза 7 кГ; в начальном положении груза расстояние АМ равно 20 см, причем 'пружина растянута и длина ее вдвое более натуральной длины, ко- торая равна 10 см; жесткость пружины такова, что она удлиняется на 1 см при действии силы в 0,5 КГ; начальная скорость груза равна нулю; весом пружины пренебрегаем.
Ответ: давление направлено вверх и равно 7 кГ. 31.16 (812). Глздкое тяжелое кольцо М весом О может сколь- вить без трения по дуге окружности радиуса Я см, расположенной в вертикальной плоскости. К кольну привязана упругая нить МОА, проходящая через гладкое неподвижное кольцо О и закрепленная в точке А.
Припять, что натяжение нити равно нулю, когда кольцо М находится в точке О, и что для вытягивания нити на 1 см нужно прилохгить силу с. В начальный момент кольцо находится в точке В в неустойчивом равнове- У~ сии и при ничтожно малом толчке начинаег скользить аг чч по окружности. Опреде- 1 /Ч; — — л~ лить давление И, произ— — — --'1 ~ 1 ВОДИМае кольЦОм на оК! .р Г ружность, г Ответ дг= 217 ) а" Я' ! давление направлено на- С ружу при И)0, внутрь ое при Фе О. К задаче 31,13. 31.17 (813). Груз подвешен на нити дли- ной 50 см в неподвижной точке О. В начальном положении М груз отклонен от вертикали на угол 60' и ему сообщена 2еч К задаче 31.17 скорость по в вертикальной плоскости по перпендикуляру к нити вниз, равная 350 еле,'сем.
1) Найти то положение М груза, з котором натяжение нити будет равно нулю, и скорость т~, в этом положении, 2) Определить траекторию последующего движения груза до того момента, когда нить будет опять натянута, и время, в течение которого точка пройдет эту траекторию. Ответ: 1) Положение М находится над горизонталью точки О на расстоянии МО=25 сж1 о,=157 слггсеж 2) Парабола МАВС, уравнение которой, отнесенное к осям Мх и Муг будет у=х)ГЗ вЂ” 0,03х'1 груз описывает эту параболу в течение 0,55 сех. 3118 (814).
Математический маятник установлен на самолете, который поднимается на высоту 10 ьлс На какую часть длины надо уменьшить длину нити маятника, чтобы период малых колебаний маятника на этой высоте остался без изменений? Силу тяжести считать обратно пропорциональной квздрату расстояния до центра Земли. Ответ: На 0,003137, где 7- длина нити на поверхности Земли. ! 31.19 (815).
В неподвижной точке О по- ! средством нити ОМ длиной 1 подвешен Х груз М с массой т. В начальный момент нить ОМ составляет с вертикалью угол а и Д ~Ъ скорость груза М равна нулю. При последующем движении нить встречает тонкую проволоку Оь направление которой перпендикулярно к плоскости движения груза, а положение определяется полярными координатами: А=ООг и р. Определить наименьшее значение угла а, при котором нить ОМ после — — — а встречи с проволокой будет на нее навиваться, а также изменение натяжения нити в, л,а момент ее встречи с проволокой.
Толщиной проволоки пренебрегаем. у Отведи а = агссоз ~ — ( — + соз ~~ — — ~; патяягение нити увеличивается на величину А 3 2 где Т ~ 2 + соз ~) . 31.20 (818). Тяжелая точка М, вес кото- 3 рой равен Р, движется по внутренней по- к залачс зьзз. верхности круглого цилиндра рздиуса г. Считая поверхность цилиндра абсолютно гладкой и ось цилиндра вертикальной, определить давление точки на цилиндр.
Начальная скорость точки равна по величине по и составляет угол а с горизонтом. Ря(соя'а Отвея: Ж= — "— кг , 31.21 (817). В предыдущей задаче составить уравнения движения точки, если в начальный мол;ент точка находилась на оси х. Го,сола 1 Го,созе 1 Ответ: х=гсоз~ — '21; у=г 31п Г! — 11; в=па»а!и а+ —. в» 2 ' 31.22 (818). Камень /И, находяпшйся на вершине А гладкого полусферического купола радиуса Й, получает начальну»о горизонтзльную скорость оа, В каком месте камень покинет купол? При каких зна- чениях па камень сойдет с купола в началь* е ег ный момент? Сопротивлением движению камня по куполу пренебречь.
/е~ /2 о1 1 » Ответ: 1з=агссоз!т — + —.' ) ° '(з зд/») ! г э~)'г дй, 31.23 (819). Точка /И с массой т дви- К задаче 3!.22. жется по гладкой поверхности полусфери- ческого купола радиуса й. Считая, что на точку действует сила тяжести, параллелы»ая оси г, и зная, что в начальный момент точка имела скорость оз и находилась на высоте /»а от основания купола, определить давление точки на купол, когда она будет на высоте /2 от основания купола.
Ответ: /л/= — ! 3/» — 2/ч — — !. ме/ оП = /? '1 »у ! ! в -=-л К задача 3!.24. К задаче 3!.23. 31.24 (820). Точкз Л4 с массой т движется по пенной линии у= — '! (еа/а-~-е "/а)=ас(» х 2 'а под действием силы отталкивания, параллельной оси Оу, напрзвленнон от оси Ох и равной лту, В момент 2=0 х=1 м, .Ф=1 м,/сек. Определить давление »ч/ точки на кривую и движение точки при /»=1 сек ' и а=1 л» (силой тяжести пренебрегаем). Радиус кривизны цепной линии равен у»/'а. Ответ: /3/=0; х=(1+г) м.
31.23 (821). По какая плоской кривой следует изогнуть трубку, чтобы помещенный в нее з любом месте шарик оставался по отно- шению к трубке в равновесии, если трубка врашается с постоянной угловой скоростью и вокруг оси Оу? 1 иа Ответ: По параболе у= — — ля+с. 2 л У! ! 1Е 1 с ь тттт К аалаче 31.28. К залаче Зкаа. 31.26 (822). Точка М с массой тл=1 г движется по гладкой поверхности круглого конуса, угол раствора которого 2а=йбе„под влиянием силы отталкивания от вершины О, пропорциональной расстоянию: Р=с ОМ дим, где с=! дам1елт.
В начальный момент точка М находится в точке А, расстояние ОА равно а = 2 слт, начальная скорость ее= 2 елт1сек и направлена параллельно основанию конуса. Определить движение то пси М (силой тяжести пренебрегаем). Положение точки М определяем координатой л и полярными координатами г и т в плоскости, перпендикулярной к оси Оз; уравнение поверхности конуса г' — л' = 0„ Ответ: г'=е" +е "; 31.27 (823).
При условиях предыдущей задачи, считая ось конуса направленной по вертикали вверх и учитывая силу тяжести, определить давление точки на и У поверхность конуса. 1 а"о, 'мп 2еч Ответ: зч1=т 31п а~у+ — ', 1. 1 ! 31.28 (824) Материальная точка А под действием силы тяжести движется по К задаче 3! 28. шероховатой винтовой поверхности, ось которой Ое вертикальна; поверхность задана уравнением г = ар+у(г); .
коэффициент трения точки о поверхность равен л. Найти условие, при котором движение точки происходит на постоянном расстоянии от оси АВ= г„т, е. происходи~ по винтовой линии, а также найти скорость этого движения, предполагая, что а=сопл!, У к а 3 а н и е, Для решения задачи целесообразно воспользоваться системой естественных осей, проектируя уравнение движения на касательную, 2д? главную нормаль н бинормаль винтовой линии в точке А На чертеже угол межлу вормальной компонентой 1ч' реакции винтовой поверхности и ортом главной нормали л' обозначен через Э Ответ: Движение по винтовой линии возможно при условии 1а — а у'гттщьФ = а. где 13а=а/га, скоРость движениа о=)ГйтаУ" (ге), 31.29. Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в верхней точке А шероховатой поверхности неподвижного полуцилиндра радиуса Й. Какую начальную гориаонтальную скорость еь направленную по касательной к цилиндру, нужно сообшнть телу К чтобы оно, начав движение, остановилось на поверхности цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении и покое одинаковы и равны у? Отлет: оа-- 1гу — 4, 11' 1+у~е — аута — (! — 2Д~, где ~Рэ — — агс13У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
