Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975) (1079972), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Грув весом 10 кГ, прикрепленный к пружине, коэффи. циент жесткости которой равен с = х+всг) = 2 кГ/с.м, совершает колебания. Опре. делить полную механическую энергию грува и пружины, пренебрегая массой пружины, построить график Зависимости упругой силы от перемешения и показать на нем потенциальную энер. гию пружины.
Принять положение стассг х+г тического равновесия аа начало отсчета потенциальной энергии. К решеиииз ззязеи ая.аа. Эащтриховаиная иа чертеже площадь равна потенциальной энергии пру. жины. б) Влияние сопротивления на свободные колебания 32.51 (843). Пластинка О весом 100 Г, подвешенная на пружине АВ в неподвижной точке А, движется между полюсами магнита. Вследствие вихревых токов движение тормовится силой, пропорциональной скорости. Сила сопротивления движению равна лоФз дин, где 1д=0,0001, и- скорость в слг/сек, а Ф вЂ” магнитный поток между полюсами И н 8. В начальный молд мент скорость пластинки равна нулю и пружина не растянута; удлинение ее на 1 слс получается при статическом действии силы в 20 Г, приложенной в точке В. Определить движение пластинки в том случае, когда Ф = = 1000 ~Г5 единиц С68. Ответ: х= — е-и вг(5 соа 13,781+ й +.
0,907аш13,781) слг, где х обозначает расстояние центра тяжести пластинки от его равновесного положения по вертикали вниэ: 32.52 (844). Определить движение пластинЛl кн О при условиях предыдушей аадачи в том случае, когда магнитный поток Ф=10000 единиц СО8. Ответ: х = — — е-зьч (49еззд — 1). 48 32.53 (845). Цилиндр весом Р, радиусом г и высотой й, подвешен на пружине АВ, верхний конец которой В,'закреплен; цилиндр погружен в воду. В положении равновесия цилиндр погружается в воду на половину своей высоты.
В начальный момент времени цилиндр был погружен в воду на 213 своей высоты и затем бев начальной скорости пришел в движение по вертикальной прямой. Считая жесткость пружины равной с и предполагая, что действие воды сводится к добавочной архимедовой силе, определить движение цилиндра отнрснтельно положения равновесия. Принять удельный вес воды равным 7 1 Ответ: х= — — )гсов уеу, где уз'= — (с+кута). 3254 (846). В предыдущей задаче определить колебательное движение цилиндра, если сопротивление воды пропорционально первои степени скорости и равно ае, Ответ: движение цилиндра будет колебательным, если (-+ — „Т) — © > .
Тогда = — "р н-"-'е а!га' дз<-З1, где с нг* а )уяз - л' у'= — + — Т* =,—, !бр=— и «з ' 2ш' л 32.65 (847). Тело А весом 0,5 кГ лежит на негладкой горизонтальной плоскости и соединено с неподвижной точкой В пружиной, ось В которой ВС горизонтальна. Коэффициент трения плоскости 0,2; пружина такова, что для удлинения ее на ! см требуется сила 0,25 кГ. Тело А отодвинуто от точки В так, что пружина вытянулась на 3 см, и затем отпущено без начальной л К задаче ЗХЛЛ К задаче Зл.аа, скорости, Нанти: 1) число размахов, поторые совершит тело А, 2) величины размахов и 3) продолжительность Т каждого из них.
Тело остановится, когда в положении, где скорость его равна нулю, сила упругости пружины будет равна силе трения нлн меньше ее. Ответ: 1) 4 размаха; 2) 5,2 см, 3,6 см, 2 см, 0,4 см; 3) Т=0,14! сек. 32.56. Груз весом ь)= 20 кГ, лежащий на наклонной негладкой плоскости, прикрепили к нерастянутой пружине н сообщили ему начатьнузо скорость т,=0,5 м~'свк, направленную вниз. Коэффициент трения скольжения у'= 0,03, коэффициент жесткости пружины 25! с=2 кГ(см. Угол, образованный наклонной плоскостью с горизонтом, а = 45'. Определить: 1) период колебаний, 2) число размахов, которые совершит груз, 3) величины размахов.
Ответ: 1) Т=0,628 сек; 2) 8 раамахов; 3) 7,68 см, 6,56 см, 5,44 см, 4,32 см, 3,2 см, 2,08 см, 0,96 см, О,!6 см. 32.57. Тело весом Р= 0,5 кГ совершает колебания на гориаоитальной плоскости под действием двух одинаковых пружин, прикрепленных к телу одним конном и к неподвижной стойке †друг; оси пружин лежат на одной горизонтальной прямой. Коэффициенты жест- I е кости пружин ст=ея= О,!25 кГ!см; козффициент трения при движении тела у=0,2, при покое Т =0,25. В начальный момент тело было отодвинуто от своего среднего положения О вправо в положение х,=З см и отпущено без начальной скорости.
Найти: 1) область возможных рзвновесных положений тела — яобласть застоя», 2) величины размахов тела, 3) число его размахов, 4) продолжительность каждого из них, 5) положение тела после колебаний. Ответ: 1) — 0,5 слг<х<0,5 см; 2) 5,2 см, 3,6 см, 2 см, 0,4 см! 3) 4 размаха; 4) 7'=0,141 сек; 5) х= — 0,2 см, 32.58. Под действием силы сопротивления й, пропорпиональной первой степени скорости (Й =ап), тело массы т, подвешенное к пружине жесткости с, совершает затухающие колебания. Определить, во сколько раз период затухающих колебаний Т превосходит период незатухающих колебаний Тб, если отношение л/к=.0,1(ка ест, п=я/2т). Ответ: Т ~ 1,005Тб. 32.59.
В условиях предыдущей задачи определить, через сколько полных колебаний амплитуда уменьшится в сто раз. Ответ: через 7,5 полных колебаний. 32.60 (848). Для определения сопротивления воды движению мо* дели судна при очень малых скоростях модель Л4 пустили плавать в сосуде, привязав нос и корму посредством двух одинаковых пружин А и В, силы натяжения которых пропорпиональны удлинениям. Ре- зультаты наблюдений покак»адач»м зкбб н Зя.бн вали, что отклонения модели от положения равновесия после каждого размаха уменьшаются, составляя геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен 0,9, а продолжительность каждого размаха Т = 0,5 сек. Определить в граммах силу (с сопротивления воды, приходящуюся на каждый грамм веса модели, при скорости ее, равной 1 см(сек, 252 предползгая, что сопротивление воды пропорционально первой степени скорости.
Ответ; !с=0,00043 Г 32.61. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения модели, если в начальный момент пружина А была растянута, а пружина В сжата на величину 51=4 сж и модель была отпущена без начальной скорости. Ответ: х=е изп(4соз6,28!+0,134зш6,28г), 32.62 (849). Лля определения вязкости жидкости Кулон употреблял следующий метод: подвесив на пружине тонкую пластинку А, он заставлял ее колебаться сначала в воздухе, а затем в той жидкости, вязкость которой надлежало определить, и находил продолжительность одного раз- л маха: Тг — в первом случае и Т, — во втором.
Сила трения между пластинкой и жидкостью может быть выражена формулой 2олп, где 28— поверхность пластинки, и — ее скорость, л — коэф- к зиявче завг. фициент вязкости. Пренебрегая трением между пластинкой и воздухом, определить коэффициент !! по найденным из опыта величинам Т, и Тм если вес пластинки равен Р. От г. 8тт )ГТ Т д8Т,Т, 32.63 (850). Тело весом 5 нГ подвешено на пружине, коэффициент жесткости которой равен 2 кГ!сяг.
Сопротивление среды пропорционзльно скорости. Амплитуда после четырех колебаний уменьшилась в 12 раз. Определить период колебаний и логарифмический декремент затухания. Оигввт: Т=0,319 сел; —,=0,311. лТ 32.64. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения тела, если его подвесили к концу нерастянутой пружины и отпустили без начальной скорости. Ответ: х = е-ьэгг ( — 2,5 соз 19,2! — 0,252 з!и 19,21).
32.65 (851). Тело весом 5,88 кГ, подвешенное на пружине, при отсутствии сопротивления колеблется с периодом Т = 0,4я сек, а если действует сопротивление, пропорциональное первой степени скорости, — с периодом Тг ††О,бя сек. Найти силу сопротивления л при скорости, равной 1 сяг/сел, и определить движение, если в начальный момент пружина была растянута из положения равновесия на 4 сж и тело предоставлено самому себе. Ответ: л = 0036; х = 5е — ~г з1п (41+ агс!2 — 1.
,! ! 32.66 (852). Тело весом 1,96 кГ, подвешенное на пружине, которая силой ! кГ растягивается на 20 сж, при движении встречает сопротивление, пропорциональное первой степени скорости и при скоросги 1 сяг1свк равное 0,02 нГ. В начальный момент пружина растянута 253 Р~ Ре К авдаае 32.бт. К реааееяеа аеаааа ЗЯЛЯа 32.70. Грув весом 100 Г, подвешенный к концу пружины, движется в жилкости. Коэффициент жесткости пружины с=20 Г1см.
Сила 294 нз положения равновесия на 5 см, и тело пришло в движение без начальной скорости. Определить движение тела. Ответ: х=5е е'(ба+11 с„и. 32.67. Грузы весом Р,=2 кГ и Р,=З кГ подвешены в положении статического равновесия к пружине, коэффициент жесткости которой с=0,4 кГ~см. Масляный демпфер вызывает силу сопротивления, пропорциональную первой степени скорости и равную А'= — ао, где а=0,1 кГ сек/см. Грув Р, сняли. Найти после этого уравнение движения груза Р,. Ответ: х= 8,34е-е вг — 0,84е-44 м. 32.68.
Статическое удлинение пружины под действием груза Р равно Г. На колебл1ощийся груз действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости. Определить наименьшее значение коэффициента сопротивления а, при котором процесс движения будет апериодическим. Найти период затухающих колебаний, если коэффициент сопротивления меньше найденного значения, 2Р 2Р Ответ: а==. При а е = движение будет колебательным .гй с пеРиодом Т= 1г,' 4т' ' 32.69. Груз весом 100 Г, подвешенный к концу пружины, движется в жидкости. Коэффициент жесткостн пружины с=-20 Г(см. Сила сопротивления движению пропорциональна первой степени скорости груза: 1с=ао, где а=35 Гсек/ель Найти уравнение движения груза и построить зависимость перемещения от времени, если в начальный момент груз был смещен из положения равновесия на хе=1 см и отпущен без начальной скорости.
Ответ: х=е — 'тли(1,36ез эь' — 036е-азы) см. сопротивления движению пропорпиональна первой степени скорости груза: !т' = аи, где а = 3,5 Г сенусм. Найти уравнение движения груза и построить график зависимости перемещения от времени, если в начальный момент груз смещен из положения статического равновесия на расстояние хе= 1 см и ему была сообщена начальная скорость 50 см,1сен в направлении, противоположном смещению. Ответ: х=е 11'м( — 1,15ер ям+ 2,15е р 3") см. 32.71. Груз весом 100 Г, подвешенный к копну пружины, движется в жидкости. Коэффипиент жест- Лен кости пружины с=20 Г?см.
Сила сопротивления движени1о пропорциональна первой степени скорости грува: !с=ап, где а = = 3,5 Г сен!см. Найти уравнение движения груза и построить график зависимости перемещения от времени, ФЯ Ф" 4И Фм если в начальный момент груз К решению вадачн 33.ГК был смещен из положения равновесия иа хе — — 5 см и ему была сообщена начальная скорость в том же направлении 10 см/сен. Оглвет: х =е-'1 '3'(7,30ея 3" — 2,30е-я Рв') см. 32.72. Составить дифференциальное уравнение малых колебаний тяжелой точки А, находящейся на конце невесомого стержня, закрепленного шарнирно в точке О, считая силу сопротивления среды пропорпиональной первой степени скорости с коэффициентом пропорпиональности а, и определить частоту затухающих колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
