Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975) (1079972), страница 42
Текст из файла (страница 42)
К задаче З1М. К задача 3! ЗО. 81.30. Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в нижней точке А внутренней части шероховатой поверхности неподвижного цилиндра радиуса Я, Какую начальную горизонтальну1о скорость ем направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно достигло верхней точки В цилиндра? Коэффициент трения скольжения равен /. Отлет: ть~ 1 — 12(1 — 2уч)+ Заза~1, г' 1+ 4Уа 3 32. Колебательное движение а) Свободные колебания 32Л (825). Пружина АВ, закрепленная одним концом в точке А, такова, что для удлинения ее на 1 см необходимо приложить в точке В прн статической нагрузке силу в 20 Г.
В некоторый момент к нижнему концу В недеформированной пружины подвешивают гирю С 233 весом 100 Г и отпускают ее без начальной скорости. Пренебрегая массой пружины, написать уравнение дальнейшего движения гири и указать амплитуду и период ее колебаний, отнеся движение гири к оси, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия гири.
Ответ: к = — 5 соз 141 ем; а=5 см; Т=0,45 сек. 32.2 (826). При равномерном спуске груза весом Я= 2 т со скоростью и= = 5 мосек произошла неожиданная за- Ю держка верхнего конца троса, на котором спускался груз, благодаря зашемлению к ыа ч жь к ачл~чч зтз. троса в обойме блока. Пренебрегая весом троса, определить его наибольшее натяжение при последующих колебаниях грузаг если коэффициент жесткости троса с=4 т(ем. Отвея: Р=47,1 т. 32.3 (827). Определить наибольшее натяжение тросз в предыдущей задаче, если между грузом н тросом введена упругая пружина с коэффициентом жесткости с~ —— 0,4 т!ем.
Ответ: Р=15,6 т. 32.4 (828). Груз Я, падая с высоты Ь=! лг без начальной скорости, ударяется об упругую горизонтальную балку в ее середине концы балки закреплены. Написать уравнение дальнейшего движения грува на балке, отнеся движение к оси, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия груза на балке, если статический прогиб балки в ее середине прн указанной нагрузке равен 0,5 см; массой балки пренебрегаем, Ответ: к=( — 0,5соз 44,31+ 10 Мп 44,31) см.
32.5 (829). На каждую рессору вагона приходится нагрузка Р кГ; под этой нагрузкой рессора при равновесии прогибается на 5 см. Определить период Т собственных колебаний вагона на рессораж Упругое сопротивление рессоры пропорционально стреле ее прогиба. Ответ: Т=0,45 сек.
32.6 (830). Определить период свободных колебаний фундамента машины, поставленного на упругий грунт, если аес фундамента с машиной Я=00 г, плошадь подошвы фундамента о'=15 мя, коэффициент жесткости грунта с=ХЮ, где А=З кГ!'ем" — так называемая удельная жесткость грунта. Ответ: Т = 0,09 еек, 32.7 (831). Найти период свободных вертикальных колебаний корабля в спокойной воде, если вес корабля Р т, площадь его горизонтального сечения Юмя и не зависит от высоты сечения; вес 1 м' воды равен 1 т. Силами, обусловленными вязкостью воды, пренебречь, ГР Ответ: Т=2з аг — .
У 33. 239 32В. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения корабля, если он был спущен на воду с нулевой вертикальной скоростью. О!ивет: у= — — сов "1! — г м. Р I 8» 3 32.9 (836), Груц вес которого рзвен Рл, подвешен на упругой нити к неподвижной точке, Выведенный из положения равновесия, груз начинает совершать колебания. Выразить длину нити х в функции времени и найти, какому условию должна удовлетворять начальная длина ее хь чтобы во время движения гири нить, оставалась натянутой. Натяжение нити пропорционально удлинению; длина ее в нерастянутом состоянии равна 1; от действия статической нагрузки, равной е) л, нить удлиняется на 1 см.
Начальная скорость грува равна нулю. От велк х = (+ — + (ха — Х вЂ” — 1 сов ( 1! — 11. ! Я г~ха~г.+ —. 2Р 32.10 (837). На два вращающихся в противоположные стороны, указанные на чертеже, цилиндрических шкива одинакового радиуса свободно положен однород- Л!з Л' ный стержень; центры шкиз,е з вов О, и О, находятся на л горизонтальной прямой 010з', Л расстояние 010а = 21; стер° — 1- ° гтз жень приводится в движение силами трения, развивающимися в точках каса- К задаче Зя!0, .ния его со' шкивами; этн силы пропорциональны дав- лению стержня на шкив, причем коэффициент пропорциональности (коэффициент трения) равен Г, 1) Определить движение стержня после того, как мы сдвинем его из положения симметрии на х, при од †в.
2) Найти коэффициент трения К, зная, что период колебаний Т стержня при 1= 2б см равен 2 сек, Ответ: 1) х=хасоз(1г! йс~) 2) 7= —,=025. 32.11 (838). К одной и той же пружине подвесили сначала груз весом р, а во второй раз груз весом Зр. Определить, во сколько раз изменится период колебаний. Зная коэффициент жесткости пружины с, а также начальные условия (грузы подвешивались к концу нерастянутой пружины и-отпускались без начальной скорости), найти уравнения движения грузов. Овеет: — *= е 3; хз — — — — соз "г! — (1 х,= — — соз 1г! — й 32Л2. К пружине жесткостью с=2 КГ!см сначала подвесили груз Р,=б кГ, а затем груз Ра — — 12кГ (вместо первого груза).
240 Определйть частоты и периоды колебаний грузов. Ответ: й,= !8,1 сек ', ля=12,8 сек ', Та = 0,348 сек, Та — — 0,49 сел, 32 13. К пружине, коэффициент жесткости которой равен с=20 Г/слс, подвешены два груза весом Р,=0,5 кГ и Ра — 0,8 кГ. Система находилась з покое в положении статического равновесия, когда груз Р, убрали, Найти уравнение движения, частоту, круговую частоту и период колебаний оставшегося груза. Ответ: х=40сок626?слс; Т=1 сек; Т"=1 гл; л= 2к сек '.
32.14. Груз весом Р,=2 кГ, подвешенный к пружине, коэффициент жесткости которой с = 0,1 кГс~слс, нзходится в равновесии. Кзковы будут урзвненне движе. Рс ния и период колебаний грузз, если к грузу Р, добавить груз Ра — — 0,8 кГ7 !См. чертеж к задаче 32.13,) Рг Ответ: х= — 8сок59!1; Т=1,06 сек. 32.15. Груз весом 4 кГ подвесили снзчзла к пружине ка>з. с жеспсостью с> — — 2 кГ!слс, а затем к пружине с жесткостью се=4 кГ>слс. Найти отношение чзстот и отношение периодов колебаний груза. Оглеекй —,' = 0,706; — ' = 1,4 !. .
а, , т, 32.16. Тело весом Р находится на наклонной плоскости, составляющей угол а с вертикалью. К телу прикреплена пружина, жесткость которой с. Пружина параллельна наклонной плоскости. Найти уравнение дан>кения тела, если в начальиый момент оно было прикреплено к концу нерастянутой пружины и ему была сообщена начальная скорость еа, направленная вниз по наклонной плоскости.
Начало координат взять в положении статического равновесия. Ответ: х= — к!пИ вЂ” — сокИ где л=1гс— ва . Рсоа а / сл л К задаче 32Ля. К задача ка.>т. 32.17. На гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом а= 30', находится прикрепленный к пружине грув весом Р. Статическое удлинение пружины равно 2. 241 Определить колебания грузз, если в начальный момент пружина былз растянута из ненапряженного состояния на длину, равную Зт, и груз отпушен без начальной скорости.
Ответ: х = 2усоа ~ у — з1па 1). з Гй У Т 32.18 (839). Тело весом Я= 12 кГ, прикрепленное к концу пружины, совершзет гармонические колебания. При помоши секундомера установлено, что тело совершило 100 полных колебзний за 45 сек После этого к концу пружины добавочно прикрепили груз весом О,=6 кГ. Определить период колебаний двух грузов на пружине. Ответа: Т,=Т ~l ' =0,55 сек. 32.19. В условиях предыдушей задачи найти уравнение движения одно~о груза Я и двух грузов (Я+ О1), если в обоих случаях грузы были подвешены к концу нерастянутой пружины.
Ответа: 1) х — — 5,02 соз 141 см, 2) х,= — 7,53соз11,41 см, где х и х, отсчитывзются соответственно от каждого пз двух положений статического равновесия. 32.20 (840). Груз М, подвешенный к неподвижной точке А на пружине, совершает малые гзрмонические колебания в вертикальной плоскости, скользя без трения по дуге окружности, диаметр которой АВ равен (; К ваааче Зя.ав. натуральная длина пружины а; жесткость пружины такова, что при действии силы, равной весу грува М, она получает удлинение, равное Ь. Определить период Т колебаний в том случае, когдз 1=а+6; массой пружнпы пренебрегаем и считаем, что при колебаниях она остается растянутой. ГТ Ответа: Т = 2п 1гг х 32.21. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения грува М, если в начальный момент угол ВАМ=оа и точке М сообшили начальную скорость пь направленную по касательной к окружности вниз, Ответ: 9 = ча соз (г — 1 — = ей и 1г — 1. У7к ! 32.22.
Тело Е, масса которого равна т, находится на гладкой гориаонтальной плоскости. К телу прикреплена пружина жесткости с, второй конец которой прикреплен к шзрниру О» Длина недеформированной пружины рзвна Гь в положении рзвновесия тела пружина имеет комичный предварительный натиг, равный Ра — — с(1 — 1а), где 1= ОО» Учитывая в горизонтальной соетввляющей упругой силы пружины лишь линейные члены относительно отклонения телз от положения равновесия, определить период малых колебаний тела / т( Ответ: Т = 2к у У Р. 32.23 (841). Материальная точка весом Р подвешена к концу нерастянутой пружины с коэффициентом жесткости с и отпущена с начальной скоростью оь направленной вниз. Найти уравнение движения и период колебаний точки, если в момент времени, когда точка находилась в крайнем нижнем положении, к ней прикладывают силу Я= сопя(, направленную вниз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
