Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975) (1079972), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Вес К вадаче 3я.тя. К вадвяе 33.74. точки А равен Р, коэффипиент жесткости пружины с, длина стержня расстояние Ос1=Ь. Массой стержня пренебречь. В положении равновесия стержень горизонтален. При каком значении коэффициента а движение будет апериодическим? Р ьа . ьа Ответ: 1) — Я+ а --- у+ с — у = 0; Ё Р 2) lг= — ~~ — - — ~ — ~ сен ' 3) а- — 1г? — —.-, 32.73.
При колебаниях груза весом 20 кГ, подвешенного на пру. жине, было замечено, что наибольшее отклонение после 10 полных колебаний уменьшилось вдвое. Груз совершил 1О полных колебаний за 9 сек, Как велик коэффициент сопротивления а (при сопротивлении среды, пропорциональном первой степени скорости) и каково значение коэффициента жесткости с? Ответ: а=0,00314 кГслг 'сек; с=0,99 кГсм '. 32.74. Составить дифференциальное уравнение малых колебаний точки А и определить частоту затухающих колебаний, Вес точки А равен Р, коэффициент жесткости пружины с, расстояние ОА=6, О(8=(. Сила сопротивления среды пропорциональна первой степени скорости, коэффициент пропорциональности равен а, Массой стержня ОВ, шарнирно закрепленного в точке О, пренебрегаем, В положении равновесия стержень горизонтален, При каком значении коэффициента а движение будет апериодическим? Р сР е('е «'е« Ответ: 1) — у+аР+ —,у=0; 2) лг= —,— 4, сек ', 3) ага — у' 2( ëР=зУ д.
в) Вынужденные колебания 32.75. Найти уравнение прямолинейного движения точки массы т, находжцейся под действием восстанавливающей силы Я= — сх и постоянной силы Ра В начальный момент (=0 х« — — 0 и х«=0. Найти также период колебаний. Ответ: х = — ' (1 — соз (((), где (г = 1(' — Т = 2я/((, с 1/" ! 32.78. Определить уравнение прямолинейного движения точки массы т, находящейся под действием восстанавливающей силы Я= = — сх и силы Р=а(. В начальный момент точка находится в положении статического равновесия и скорость ее равна нул(о.
а Ге Ответ: х= — ((г( — з!п И), где к= зг( —, тв' (л 32.77. Найти уравнение прямолинейного движения точки весом Р, на которую действует восстанавлива(ощая сила О= — сх и сила Р=Р«е, если в начальный момент точка находилась в положении равновесия в состоянии покоя, Ответ: х= „', )е г — совИ+ — з(пИ), где Л= ~l ф. 32.78 (853). На пружине, коэффициент жесткости коза.га. торой с = 20 Г(см, подвешен магнитный стержень ве- сом 100 Г, Нижний конец магнита проходит через катушку, по которой идет переменный ток (=20гйп8 ( ампер. Ток идет с момента времени (=О, втягивая стержень в соленоид; до этого 256 х! к ыдаче За.а! момента магнитный стержень висел на пружине неяодвижно.
Сила взаимодействия между магнитом и катушкой определяется Равенством В=16п! дпн. Определить вынужденные колебания магнита. Ответ: х= — 0,023 з1п Зпг ем. 32.79. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения магнитного стержня, если его подвесили к конку нерастянутой пружины н отпустили без нзчальной скорости. Ответ: х=( — 5 сов 141+ 0,041 з1п 14! — 0,023 з1п 8п!) см. 32.80. И условиях задачи 32.78 найти уравнение движепия магнитного стержня, если ему в положении статического равновесия сообщили начальную скорость па=5 см!сею Ответ: х =(0,4 зш 141 — 0,023 ып 8п!) см.
32.81 (865). Гиря М подвешена на пру- 1' жине АВ, верхний копен которой совершает гармонические колебания по вертикальной прямой амплитуды а и частоты л: О,С = I = аз!плг слс. Определить вынужденные колебания гири М при следуюн!их данных: ВЕС ГИРИ РаВЕН 400 Г, От ДЕйетВИЯ СИЛЫ Р,Д ~ Ги 40 Г пружина удлиняется на 1 ем, а = = 2 см, л=7 еек '. 4 Ответ: х=4ейп7! см.
32.82 (856). Определить движение гири М (см. задачу 32.81), подвешенной на пружине АВ, верхний конев которой А совершает гармонические колебания по вертикзли ампли- Р туды а и круговой частоты л, статичеосое растяжение пружины под действием веса гири равно 5. В начальный момент точка А занимает свое среднее положение, а гиря М находится в покое; начальное положение гири принять ва начало координат, а ось Ох направить по вертикали вниз. Ответ: х= —.~А у — аш г/ — ~ — з!ойдо~ при л Р' )I х= — ~51п ~/ — г — ~l — гсозМ~ при !г= ~/ 32.83 (858). Статический прогиб рессор груженого товзрного вагона М„=о слс. Определить критическую скорость движения вагона, прн которой начнется «галопированиеэ вагона, если на стыках Рельсов вагон испытывает толчки, вызывающие вынужденные колебания вагона на рессорах; длина рельсов У = 12 м.
Ответ: в=96 !ем(чае. 32.84 (859). Индикатор паровой машины состоит нз цилиндра А, в котором холит поршень В, упирающийся в пружину О; с поршнем соединен стержень ВС, к которому прикреплен пишущий штифт С. Предполагая, что давление пара р нз поршень В, выраженное в килограммах на квадратный сантиметр, изменяется согласно фор"уле 9 н, в, мещерсияя 257 р=4+Зз)п — 1, где Т вЂ” время одного оборота вала, определить 2и т ' амплитуду вынужденных колебаний штифта С, если взл сонершает 3 об век, при следующих данных: плопгадь поршня ° г' индикатора е=4 см'; вес подвижной части индикатора О=! кГ; пружина сжимается на 1 см силой в 3 кГ. Ответг а=4,54 см. 32.85. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения штифта С, если в начзльвый момент времени система находилась в покое в положении статического равновесия.
И Ответ: х=( — 1,57 гйп 54,31+ 4,54 з1п 6з1) см. 32.86. Груз весом О=200 Г, подвешенный к пружине, коэффициент жесткости которой с= к ылаче азмь = 1 кГ!см, нзходится под действием силы 8= =Нзшрй где Н=2,0 кГ, р=50 сек '. В начальный момент ха=2 см, х,=10 см1сек. Начало координат выбрано в положении статического равновесия. Найти урзвиение движения груза. Ответ: х=(2 сов 701 — 277з1п708+408з1п501) слс. 3287. Груз несом О=200 Г, подвешенный к пружине, коэф. фициент жесткости которой с=! кГ1см, находится под действием силы 8=Нз1прг, где Н=2 кГ, р=70 сек '. В нзчальный момент хя — — 2 см, хз — — 10 см/сек.
Начало координат выбрзно в положении статического равновесия. Найти уравнение движения груза. Отвегп: х=(2соз70г+1,14з1п701 — 701соз701) см. г) Влияние сопротивления на вынужденные колебания 32.88 (854). На пружине, коэффициент жесткости которой с = 20 Г!~см, подвешены магнитный стержень весом 50 Г, проходящий через соленоид, и медная пластинка весом 50 Г, проходяшая между полюсами магнита, По соленоиду течет ток г= =20з1п8пР ампер и развивает силу взаимодействия с магнитным стержнем Е=16в) дан.
Сила торможения медной пластинки вследствие вихревых токов равна )гпФз, где lг = 10 ', Ф = 1000 ф' 5 единиц СО8 и о в скорость пластинки. Определить вынужденные колебания пластинки Ответ: х= 0,022 з1п(8в1 — 0,91к) см. 32.89. В условиях предыдущей задачи найти уран пение движения пластинки, если ее подвесили вместе с магнитным стержнем к концу нерастянутой пружины и сообщили им начальную скорость па=5 смусек, направленную вниз. 253 Ответ: х=е з з'(-4,99 соз 13,751 — 0,56 йп 13,751)+ +0,022 йп(8 л? — 0,91 л) слг. 32.90 (857). Материальная точка весом Я = 2 кГ подвешена пружине, коэффициент жесткости которой равен с=4 кГ7слс.
На точку действует возмущающая сила Я=!2 з(п(р?+6) кГ и сила сопротивления движению, пропорциональная первой степени скорости и равная Й=0,5 рте х кГ. '1ему равно наибольшее значение А „ амплитуды вынужденных колебаний? При какой частоте р амплитуда вынужденных колебаний достигает наибольшего значения? Ответ. 'А„„„=6,21 слй р= 41,5 сек с. 32.91. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения точки, если в начальный момент времени ее положение и скорость были равны: ха=2 сяс, хз — — 3 слс/сек. Частота возмущающей силы р= 30 сек-т, начальная фаза возмущающей силы б = 0'. Начало координат выбрано в положении статического равновесия. От ветс х *= е з язых (2 соз 1 7 31+ 1 95 йп 1 731) + +0,0067 йп(30? — л) слг.
32.92 (861), Материальная точка весом р=З Г подвешена к пружине с коэффипиентом жесткости с=12 Г?см. На точку действует возмупсающая сила Р=Н йп (62,61+ р) Г и сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости и равная Й=ап Г.
А- Во сколько раз уменьшится амплитуда вынужденных колебаний точки, если сила сопротивления увеличится в три раза? Ослвесл: Амплитуда вынужденных колебаний умепьшисся з три раза. 32.93. Тело весом 2 кГ, прикрепленное пру- сИ живой к неподвижной точке А, движется по гладкой наклонной плоскости, образующей угол а с к яядяячзс.эз. горизонтом, под действием возмущающей силы :э'=1,8 щи 101 кГ и силы сопротивления, пропорциональной скорости: Й= — ООЗяс кГ. Коэффициент жесткости пружины с=5 кГ?сяс. В нзчальный момент тело нзходилось в покое в положении стзтвческого равновесия.
Найти уравнение движения тела, периоды Т свободных и Т, вынужденных колебаний, сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы. Ответ: 1) х= 10 з ° е т ззс (2,3 соз 491 — 7,3 йп 491)+ + 0,374 з1 п (10? — 3'34') слй 2) Т=0,128 сек; 3) Тс=0,628 сек; 4) е=З'34'. 32.94. На тело весом О = 392 Г, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости с = 4 кГсслс, действует сила о = =Нз!прс кГ, где Н=4 кГ, р=оО сек т, и сила сопротивления Й=ао, где а=25 Г сек/сяс, и — скорость телз.
В начальный момент 'село покоится в положении статического равновесия. Написать урзвнение движения грузз и определить значение круговой частоты р, при котором амплитудз вынужденных колебаний будет максимальной. 259 Ответ: х=ае-"'з1п (3/А' — па(+!)) — Аз!п(рг — е), где рл .~/4 я1(2л+р — й) 0647 см а ~а ) +4 ' р~ и 2я)~ йя — ла р=агс(д " " = — 1,07, А= ' =1,23, 2ля+рт т )У(ая ря)Я+4лйра е=згс(3 —,'р, =0,416, п=,31,25 сек т, ~l/г~ — па=95 сек-'. Максимальная амплитуда получается при круговой часготе возбуж.
дения р = ф' /гз — 2пз. 32.95. На тело весом Я Г, прикрепленное к пружине с коэффнциенгом жесткости с Г/см, действуют возмущающая сила Я= На!п р( Г и сила сопротивления )?=ао Г, где о — скорость тела. В начальный момент тело находится в положении стзгического равновесия и пе имеет начальной скорости. Найги уравнение движения тела, если с ) (а/2)'. Ьре "' 2лт+ р' — й' Ответ: х = 2п соа /гз — Я( (т — ря)с+4л'р' ~ 1 й' — и' )У п + ( к ~ Уе — ~).~~~й' — У> ~ Ф вЂ” 55 М 2(? ' 32.96.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
