Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Дважды интегрируем уравнение движения. Для постоянных сил интеграл берется просто: глу = (Т + Л вЂ” С)1 -~- С,, ту = (Т+ Л вЂ” С)1~/2+ С 1+ С . Начальные условия: 1 = О, у = Н, у = — с„. Отсюда находим константы интегрирования С, = — то, С = тН. Получаем уравнения у= (,Т+Л вЂ” С)1! у = (Т+ Л вЂ” С)1~1'12т) — со1+ Н. (2) Аналогично составляем уравнение при подъеме аэростата. и Рис. 121 Рис. 122 Сила сопротивления при этом меняет свое направление (рис. 122).
Оставляя ось у прежней, время отсчитываем от нуля с момента подьема: ту = Т вЂ” Л вЂ” С. Гл. П, Динамика точки 230 Интегрируя уравнение тпу = (Т вЂ” Н вЂ” С)1+ Сз, получаем ту = (Т вЂ” Н вЂ” С)1~/2+ Сз1+ Стг (4) Начальные условия: 1 = О, у = О, у = О. Находим константы интегри- рования: С = О,С = О. Из (4) следу.ет у = (Т вЂ” Н вЂ” С)гг?'(2т). (5) 4. Находим искомое время падения.
Обозначаем его за 1м а время подъема — за 1 . По условию 1 +1 = 1о. Подставляем в (1,2) условия: 1 = 1О у = О, у = О, а в (5) 1 = гг, у = Н. Получаем систему трех уравнений с неизвестными гм Н, ио. О = (Т+ Н вЂ” С)1,/т — ито (б) О = (Т + Н вЂ” С)1гД2т) — и,А + Н, Н = (Т вЂ” Н вЂ” С)(1о — 1 )г?'(2пг). (7) (8) то! (1+ (Т+ Н вЂ” тпу)?(Т гг — ту)) . УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 1. Получив начальную скорость и, брусок начал двигаться вверх по наклонной плоскости и, достигнув максимальной высоты, стая спускаться вниз. Угол наклона плоскости равен о, коэффициент трения 7'. На каком расстоянии от исходной точки окажется брусок за время спуска равное времени подъема? 2. Материальная точка массой т движется нз состояния покоя по гладкой направляющей радиусом Н, расположенной в горизонтальной плоскости, под действием силы Я.
Определить реакцию направляющей через время 1. Вектор силы направлен внутрь вогнутости окружности и образует постоянный угол о с вектором скорости. 3. Тормозной путь автомобиля на горизонтальной дороге при скорости ио равен о'. Коэффициент трения ~. Силу сопротивления воздуха считать постоянной.
'1ему равен тормозной путь этого автомобиля прн той же скорости на спуске о? Исключая неизвестную высоту Н и неизвестную начальную скорость и,, полу. чаем 11.1. Постоянные силы 231 4. В сухую погоду автомобиль проходит закругление на дороге на предельной скорости и,. Найти предельную скорость прохождения этого же поворота после дождя, когда коэффициент трения уменьшается в 4 раза.
Считать,что автомобиль не опрокидывается. 5. Автомобиль начинает движение из состояния покоя по окружности радиуса Н с постоянным ускорением И'. Коэффициент трения у. Через какое время автомобиль соскользнет с окружности? 6. Автомобиль без груза разгоняется с места до скорости и„за время Коэффициент трения у.
Какую скорость он разовьет за то же время с грузом, составляющим 50% массы автомобиля? 7. Самосвал без груза разгоняется с места до скорости и* за вромя 1*. Коэффициент трения у. За какое время разгонится до той же скорости груженый самосвал, масса которого при погрузке увеличилась вдвое ? 8. За какое минимальное время автомобиль с постоянной скоростью объедет квадрат со стороной а, огибая углы по дугам окружности? Коэффициент трения ?.
Считать, что на поворотах возможно соскальзывание, но не опрокидывание. 9. Воздушный шар массой пг падает вниз. На высоте Н скорость шара равна ищ а ускорение Иео. Какой балласт необходимо сбросить, чтобы шар мягко (и = О) приземлился? Силу сопротивления воздуха считать постоянной. 10. Тормозной путь автомобиля на горизонтальной дороге при скорости ио составляет Я. Чему равен тормозной путь этого автомобиля при той же скорости на спуске о ? Коэффициент трения считать постоянным. Ответы 1. Я = ое?совсеДд(?сова ~-вгпа) ), 2.н,=(О!. Е1(ЯО-О„,ж,= у,м=,/й; но.
3 Я = 05иог?(д(~саво -- в1псе) + И;,), Ис = 05иог?Я д? 4. и, = и,?'2. 5. 1 =;/йуу? И'. 6. и = (2ио — д??1)?'3. 7. 1 = 2и*1*Ди* — уд1*). 8. 1 = 4а?и + 2и(х — 2ч'2)ДдД, если иг < адуяГ2?2; 1 = 2хи(?у1), если иг > ау~42(2. 232 Гл. П, Динамика точки 0 тв = т(ио+2И'оП)Дио+2УН), 10. Я = ~~~ЯД~~а сов — 2дЯв1гг ). 11.2. Переменные силы Постлновкл зядячи. Материальная точка движетпся по прямой или по окружности под действием переменных сил.
Определить закон движения точки или отдельные параметры движения. ПЛАН РЕШЕНИЯ 1. Выбираем систему координат. Для прямолинейного движения ось х направляем вдоль линии движения точки. При движении по окружности используем полярную систему координат с началом в центре окружности. Прикладываем к точке все действующие на нее силы. 2. Составляем дифференциальные уравнения движения в проекциях на оси. 3. Интегрируем дифференциальное уравнение. В зависимости от вида сил, действующих на точку, различают следующие случаи. А.
Сила зависит только от времени Г = Р(г). Решение задачи сводится к интегрированию функции Р(!). Б. Сила зависит только от координаты точки Р = Е'(х). Вводится замена переменной И' = юдгг/дх, после чего получается уравнение с разделяющимися переменными. В. Сила зависит только от скорости точки Р = Р(о). Если в начальных условиях или в вопросе присутствуют время и скорость, то следует использовать замену И" = ди/дй.
Если в начальных условиях или в вопросе присутствуют координата и скорость,то вводят замену переменной И' = ибо/дх. Г. Сила зависит только от скорости точки и от координаты Р = Д гги)Дзггх). Если в начальных условиях или в вопросе присутствуют скорость и координата, то вводят замену переменной И' = оди/дх. Дифференциальное уравнение допускает разделение переменных; тоби/1" (и) = 1' (х)дх !Реигебник ВМ, 211.2).
Константы интегрирования определяем из начальных условий. 4. Из полученного закона движения определяем необходимые ве- личины. 233 П.2. Переменные силы ПРИМЕР. Грузовик массой т имеет максимальную скорость ии,„„ и разгоняется с места до и, за время 1,. Сила сопротивления пропорциональна скорости.
Чему равна средняя сила тяги двигателя грузовика? РЕШЕНИЕ 1. Ось х системы координат принимаем горизонтальной, начало координат помещаем в начальное положение грузовика. Изображаем грузовик в некоторый промежуточный момент движения. На него действует сила тяжести С = тд, сила сопротивления В = Йи, пропорциональная скорости и, с неизвестным пока коэффициентом Й, неизвестная сила тяги Р и реакция опоры Х (рис. 123). Рис. 123 2. Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось х: тх=г — В. 3.
Дважды интегрируем уравнение движения. Так как правая часть уравнения является функцией скорости, а в вопросе задачи содержится время, вводим замену и = х и интегрируем уравнение с разделяющимися переменными 1 н ю: тс?и = ~Й, Р— йн — (т/?с) 1п(à — йс) = 1+ Сг Начальные условия: 1 = О, х = О, х = и = О. Так как в этой задаче не идет речь о рассгояниях, то интегрировать второй раз и использовать условие на координату х не требуется.
Из условия на скорость находим константу интегрирования С = †(т)й)!п(Г). Зависимость скорости от времени движения принимает вид 234 Гл. П, Динамика точки 4. Находим искомую силу тяги Е грузовика, считая ее постоянной. Для этого используем все имеющиеся в задаче данные. Известна максимальная скорость и = и „. Необходимым условием экстремума функции и = и(1) является равенство йи/й = 0 или иьт = Š— ?сит„= О. Отсюда: й = Г/итмг Подставляем это соотношение в (1), откуда, при 1 = 1„и и = и„получаем среднюю силу тяги грузовика г 1иах 1 тих ),и,„„х — о, УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 1.
Автомобиль массой т тормозит, двигаясь по горизонтальной прямой. Сила сопротивления воздуха зависит от скорости, Л, = йи, коэффициент трения?'. За какое время скорость автомобиля уменьшится с ио до и ? 2. Автомобиль массой т разгоняется до некоторой скорости за время Сила сопротивления пропорциональна скорости, Л, = йи. Чему будет равно время разгона автомобиля до той же скорости, если его силу тяги увеличить вдвое? 3. Материальнал точка массой т движется из состояния покоя по гладкой криволинейной направляющей, расположенной в горизонтальной плоскости,под действием силы Л = 1;)я1пИ.
Сила образует постоянный угол о с вектором скорости. Определить скорость точки в момент времени й 4. Сила сопротивления воды при движении катера пропорциональна скорости, Л, = Й и. При этом максимальная скорость катера и Найти предельную скорость этого же катера, если бы сила сопротивления зависела от квадрата скорости, Л, = й и . 5. Автомобиль массой т разгоняется до некоторой скорости за время Сила сопротивления пропорциональна скорости, Л, = йи. Чему будет равно время разгона до той же скорости при отсутствии сопротивления? б. Брусок А массой т начинает движение из состояния покоя по горизонтальной поверхности консоли под действием нити, продетой сквозь неподвижное кольцо О.
В начальном по- А т ложении брусок находился на расстоянии ОА = Ь от кольца. Дана толщина консоли Н. Трением и ~~ 0 размерами бруска пренебречь. Натяжение нити Ф Е = сонин Найти максимальную скорость бруска. 235 П.2. Переменные силы 7. Воздушный шар плавно (юо — — О) взлетает вертикально вверх с начальным ускорением И~ . Но мере набора высоты 6 подъемная сила Г шара уменьшается (за счет охлаждения и уменьшения плотности атмосферы) по закону Р = Ро — йЬ, где Ро и?с известные константы.
Чему равна скорость шара на высоте Н? 8. Автомобиль массой пг, имея скорость о, начинает тормозить. Сила торможения постоянна и равна Р, сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости и в момент начала торможения равна Л, Найти тормозной путь автомобиля. 9. Автомобиль массой т, без груза разгоняется с места до заданной скорости за время 1 . Сопротивление пропорционально скорости. За какое время разгоняется до той же скорости автомобиль с грузом 7п ? г' 10. Воздушный шар массой тг падает вниз. В момент, когда скорость шара равна юо, а ускорение И~н сбросили балласт ш .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
