Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Рассчитываем систему в новых условиях. В соответствии с ними вычисляем измененное значение работы ) А'„. Искомую скорость определяем из равенства г — А' ~лРив 2 Л. ~ 1 1 ПРИМЕР. Механическая система состоит из трех тел, соединенных нитью. Блок А внутренним ободом катится без проскальзывания по наклонной плоскости, шкив В (однородный цилиндр) вращается вокруг неподвижной оси. Груз Ю закреплен пружиной жесткости с (рис.
136). Рис. 136 В начальном положении механизм находится в состоянии покоя, а пружина не напряжена. Переместившись вниз вдоль наклонной плоскости на расстояние ол — — 3 и, блок А приобретает скорость 2.5 мыс. О Аналогично решается задача, когда неизвестная характеристика, например масса, содержится в кинетической энергии. Для неизменяемых систем (твердые тела, нерастяжимые нити) внутренние силы работу не совершают: 2в А' = О.
В начальном состоя- 1 э нии система находилась в тюков Т, = О. Вычисляем работы внешних сил и записываем (1) в форме 12.з. Динамический расчет механизма с неизвестным параметром 259 Определить коэффициент трения качения блока А о наклонную плоскость. Учесть момент трения на оси цилиндра М „и — — 4 Нм, и трение скольжения груза В о горизонтальную плоскость с коэффициентом 7", = 0.1. Даны радиусы г = 20 см, г = 30 см, Л = 40 см, радиус инерции блока 1 =24 см.
Известны массы тел т = 10 кг, тв ††кг, т = 36 кг, угол о = 30' и жесткость пружины с = 20 Н/м. Чему будет равна скорость блока А на перемещении ЯА, если коэффициент трения качения увеличить в 3 разаг Ркшкник 1. Выражаем кинетическую энергию каждого тела системы через известную скорость иА центра блока А. Блок А совершает плоское движение. Кинетическая энергия блока А зпА1А 7,1ыА >2 2 А 2 2 ЗДЕСЬ ЗА ША1А г момент инерции блока относительно центра масс, 11 — радиус инерции блока.
Выражаем угловую скорость блока ш 1 через скорость центра иА. Блок катится без проскальзывания, следовательно, его мгновенный центр скоростей находится в точке касания внутреннего 1меньшего) радиуса с плоскостью (рис. 137). Таким образом: ш 1 = ОА/TА. Рис. 137 Кинетическая энергия блока А имеет вид Т ~А А 1+ 'А Приведенная масса (коэффициент при иА,'2) 11А — — тА 1+ — 2 = 10 1+ — 2 = 16.4 кг.
Цилиндр В совершает вращательное движение вокруг своей оси, Тв —— ,Упагв,12, где Лн — — тнВ2 /2. Угловую скорость цилиндра В выражаем через скорость точки обода: шн — — ив /Вн. Скорость обода сн цилиндра В совпадает со скоростью внешнего обода блока А, так как 17" Гл. 12. Динамика системы 260 они связаны нерастяжимой нитью. Расстояние от внешнего обода А до МПС блока равно  — г (рис.
137). Отсюда получаем выражение для скорости обода: ВА — гА 10 ив и'А(ВА гА) иА иА 30 3 (3) и угловой скорости цилиндра: иА ЫВ— Получаем выражение для кинетической энергии: Т= ВВ г,г, >г в = 4'9Лгв 4'9 г ил = дв — — — 5 2 г иА 2 ' где приведенная масса 1гв —— 5 кг. Рсн.А А Рис. 138 Груз В движется поступательно Тв — — пгвигг /2. Скорость поступательного движения груза совпадает с линейной скоростью точек обода цилиндра В: и = ив —— иА/3.
Кинетическая энергия груза 0 имеет вид г г твиА иА Т,= =4 —. 9 2 2 Приведенная масса 1г = 4 кг. Приведенная масса механизма: 1г„вки = 1гА + 1гв + р = 25.4 кг. 12.6. Динамический расчет механизма с неизвестным параметром 261 2. Записываем теорему об изменении кинетической знергии ~~А г Рприа 2 ~~м 3 ' 3 (5) А, = тлдЯл з1п о = 10 9.81 3 0.5 = 147.15 Дж. Работа момента сил трения на оси В '4в = ггг Рв1зв. Угол поворота дгв цилиндра В вокруг оси (в радианах) выражаем через Ял, интегрируя (4) при нулевых начальных условиях. Получаем 1ов — — Ял/(ЗВв) = 5, откуда Ав — — — 4. 5 = — 20 Дж.
Работа силы трения скольжения Е в груза .0 на перемещении Я Ав = Ртрвбв = трд~ рдл!3 = — 35.32 Дж, где перемещение ов — — Ял/3 получаем, интегрируя (3) при нулевых начальных условиях. Работа силы упругости пружины сглЯ~ Унр где ЬЯе — удлинение пружины, равное перемещению груза 11, гав, = о /3 = 1 м. Вычисляем; А „ = -20 .
1/2 = -10 Дж. 3. Определяем козффициевт трения качения д блока А. Согласно (5), 2 р„р„,— = А, + А, + Ав + А „р + А„, где Ае — — — ЛХедл — работа момента сил трения качения Ме на угле поворота ул блока А. При ил — — 2.5 м/с находим 2 Вычисляем работу внешних сил (рис. 138). Реакции опор гУл и УУв перпендикулярны смещениям точек их приложения и их работы равны нулю. Так как блок катится без проскальзывания, то сила сцепления Уеп л приложена к МПС блока и ее работа также равна нулю.
Аналогично не совеРшают РаботУ Реакции Хв, 1св, пРиложенные к неподвижной точке. Работа силы тяжести блока А, катящегося вниз 262 Гл. 12. Динамика системы Момент силы трения качения, Мв —— Хлб, зависит от свойств соприкасающихся тел (б) и от реакции Хл, которую можно найти из уравнения проекции на нормаль к наклонной плоскости Хл — — тлд сов о. Угол поворота ут4 — — Яд,тгл = Зт0.3 = 10. В результате получаем тлдбул саво = 10. 981б 10. 0866 = 245, откуда б = 2,45т849.57 = 2.88 10 зм = 2.88 мм.
4. Определяем скорость центра блока А в измененных условиях, при б, = Зб. Вычисляем работу трения качения при б, = 3 2.88 10 зм: Ав — — — Мв утл — — -тлдулб, саво = ЗАв — — — 7.35 Дж . Из георемы об изменении кинетической энергии находим соответ- ствующую скорость 2 р„„„вЂ” ' = Асл + Ав + А, + А „+ А, = 74.47. Вычисляем ответ: 2 74.47 и„= = 2.42 м,тс. 25.4 ЗАМЕЧАНИЕ. Для решения задачи можно также использовать методы аналитической механики: общее уравнение динамики Я 13.2), уравнение Лагранжа 2-го рода Я 13.4) н метод графов для определения скоростей Я 8.5). Условия зядяч.
Механическая система, состоящая из четырех тлел А, В, С, Р и пружины, под действием внешних сил приходит в движение из состояния покоя. Один из параметров системы (жесткость пружины с или момент трен я М в на оси В) неизвестен. Учитывается горение скольжения с коэффициентом 7' и трение качения с коэффициентом б, . Заданы радиусы цилиндра и блока. Радиусы инерции даны для блоков, цилиндры считать однородными.
Тело А (груз, цилиндр или блок) опускается вниз или вдоль наклонной ттлоскости на расстпояние Я и приобретпает скоротпь о тХемд бУдетп Риони скоРость ол, если этот же пРоцесс пРоизойдет для измененного механизмад Условие изменения оговорено в тексте задач. 264 1л. 12. Динамика системы Яд = 1 м, ид = 136 см/с, тнл = 2 кг, тв = 120 кг, тр =.
120 кг, тир = 30 кг, Нв — -- 17 см, т, =. 16 см, В, = 28 см, 1, = 20 см, тр = 16 см, тд = 16 см, Вл = 18 см, 1л = 17 см, 5тр — — 6 мм, с =. 410 11/м. Условие: момент трения на оси В уменьшить в 8 раз. Яд = 2 м, ил = 85 см/с, тл = 7 кг, тв = 300 кг, тр = 200 кг, т р = 90 кг, Вв = 25 см, т, =- 24 см, Н, = 42 см, 1, = 28 см, тл = 22 см, Нл = 25 см, 1л = 23 см, бтр —— 9 мм, Мтр.в = 38 Н м, 7тр = 0.06. заменить на четыре такие же, соединенные Условие: пружину последовательно. 7. Ял = 1 и, ил = 49 см/с, тл=7кг,тв=4кг, тс = 3 кг, тр = 15 кг, Лв = 25 см, тв = 23 см, 1в = 24 см, т, = 24 см, Л, = 42 см, 1, = 28 см, тд =- 23 см, Нд = 25 см, 1л = 24 см, бтр — — 8 мм, с =- 5 Н~ и ~тр = 0.01.
Условие: момент трения на оси В уменьшить в 9 раз. 8. Ял = 1 м, сд =- 23 см/с, тл = 37 кг, тв = 16 кг, те =12кг,тр=5кг, Нв = 9 см, тв = 7 см, 1в =8см, т,=8см, Н, = 14 см, 1„=- 12 см, тр = 6 см, тл = 7 см, бтр =- 4 мм, с = 1 Н,1м. Условие: убрать пружину.
12.5. Динамический расчет механизма с неизвестным пар мепсром 265 Ял = 1 м, ил =- 8 см/с, С тл = 25 кг, снв = 40 кг, тс =- 120 кг, тр = 120 кг, 17в = 17 см, г, =- 16 см, 17, = 28 см, м = 20 см, го = 22 см, бхр — — 6 мм, с = 4 Н!ни 1хр = О 05. момент трения на оси В уменыпить в 8 раз. Условие Ял = 1 м, ил = 293 см/с, тл = 8 кг, тв = 4 кг, С тс = 3кг, тп = 10кг, Нв = 17 см, г, = 16 см, 11 17, =- 28 см, 1, = 20 см, го=Яв,12, бхр = 6 мм, с= 2 Н/м. момент трения на оси В уменьшить в 8 рвз. Условие Ответы Ис рс ил рл рв Н/м см/с Нм 29.756 126.024 229.224 ~ 88.163 49.954 ~ ~15.868 В таблице даны момент трения на оси В, жесткость пружины, при- веденные массы тел и искомая скорость.
Предупреждение типичных ошибок 1. В условии задачи имеются величины, выраженные в м, см, мм. Рекомендуем все величины перевести в м. 2. Сила трения вычисляется по формуле Х;р = Х7". Не всегда 11с = тд. Реакцию Х надо определять из уравнения проекций сил, действующих на тело, на нормаль к поверхности. 1 4.000 2 4.000 3 1.948 4 0.989 5 3.003 6 38.000 7 2.994 8 8.004 9 5.961 10 1.967 3.001 1.013 4.000 13.000 410.000 117 059 5.000 1.000 4.000 2.000 8.000 55.500 12.000 18.000 3. 784 12.925 13.451 55.500 25.000 8.000 8.711 41.796 50.000 30.000 0.741 2.160 16.056 83.592 20.000 8.000 51.570 5.950 0.502 0.073 12.089 2.304 7.643 4.859 55.740 3.689 986.667 605.000 4.066 ~ 15.000 44.013 33.917 46.611 55.251 158.842 101.365 113.927 23.532 20.951 312.087 266 Рл.
12. Динамика системы 12.6. Плоское движение системы ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Механическая система с одной степенью свободы состоит из тел, совершающих плоское движение. Составить и проинтегрировать дифференииальные уравненил движения сист,емы. ПЛАН > НШВНИЯ 1. Разбиваем систему на отдельные тела. Связи заменяем их реакциями. 2. Для каждого тела выбираем систему координат, в которой записываем дифференциальные уравнения движения тела. 3. Записываем кинематические соотношения между скоростями и угловыми скоростями отдельных тел.
Дифференцируя зти соотношения, находим связь соответствующих ускорений. 4. Преобразуем и при необходимости интегрируем систему дифференциальных уравнений движении тел и кинематические соотношения. Пгимнв . К барабану ворота радиуса г, и массы ш, приложен л) постоянный вращающий момент М (рис. 139).
К концу троса, намотанного на барабан, прикреплена ось С колеса массой ш . Колесо катится без скольжения вверх по наклонной плоскости, расположенной под углом о к горизонту. Какую угловую скорость приобретет барабан, сделав из состояния покоя и оборотов? Барабан и колесо считать однородными круглыми цилиндрами. Массой троса и трением пренебречь. гси Рис. 141 Рис. 139 Рис.
140 РВШЕНИВ 1. Разбиваем систему на два отдельных тела (рис. 140, 141). Связи заменяем их реакциями. Действие троса заменяем силой его натяжения Т, которую прикладываем к барабану и колесу во взаимно О Задача 38.40 из сборника задач И.В. Мещерского ~14) 12.6. Ллосное движение системы 267 О = Хе — Т соя о, О = Уе — С вЂ” Теша, 122 = — ЛХ+ Тг,. Центр масс барабана неподвижен, поэтому первые два уравнения движения имеют форму уравнений статики. Рассматриваем движение колеса массой тг (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
