Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости, подъемная сила равна Р. Как долго после этого будет продолжаться падение шара? Ответы 1. 1 = (т/?с) !п((йю + тИЯйи, + гада)). 2. ? = (т/?с)(1п2 — 1п(1+ е ьп? )). 3. ю = ЯДт?с)(1 — сов М) сйп се. 4. = ~,%Р н,7Ц. 5. 1 = (т/й)(1 — е ы? ), 6. =,/2Р(Ь еи ? ° = ЛИ'оР? — йН'(И'о+ ~ЙРо. 8. Я = пгоог!(2Л,) 1п(1+ Я„(Р). 9. 1г = ~г(1+ пгг?шг). 10. 1 = (1!Й)(тг — тг) 1п(1 — йоо/Л), А = (тг — тг)д — Г, й = (ш, (9 — «'о) — Р) Йо. Глава 12 ДИНАМИКА СИСТЕМЫ 12.1. Теорема о движении центра масс ПЛАН 1гцц1ЕНИН Для решения задачи используем теорему о движении центра масс.
Выбираем систему координат. Одну из осей, например, ось х направляем перпендикулярно линии дейсгвия внешних сил. В проекции на ось х уравнение движения центра масс принимает вид п где х координата центра масс системы, тп = 2', 1т1 масса всей системы. Дважды интегрируя (Ц при условии, что в начальный момент скорость центра масс была равна нулю, получаем (2) 1ПХч = СОПВК Координата центра масс системы вычисляется по формуле 1 х = — ~~ т.х.
цтгг' г=1 (3) Записывая (2) с учетом (3) один раз для начального положения сис- темы (в покое), а другой раз после смещения одного из тел, получаем формулу, связывающую абсолютные смещения тел системы: т,Ьх, = О. .=1 (4) ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Механизм, состоящий из и связанных мелсду собой тел, установлен на призме, находящейся на горизонтальной плоскости. Трение между при мой и плоскостью отсутс1пвует. Одно из твл получает перемещение относительно призмы. Куда и на какое расстояние переместится призма у 12.1.
Теорема, о движении центра масс 237 1. Абсолютное смещение каждого тела представляем как сумму относительного смещения, зависящего от величины заданного относительного смещения одного из тел,и неизвестного переносного смещения Ь, равного абсолютному смещению того тела, относительно которого задаваяось смещение. 2. Подставляя абсолютные смещения в (4), получаем уравнение для смещения с1. Решение уравнения дает ответ. Примкр. Механизм, состоящий из груза А массой 50 кг, блока В массой 80 кг (больший радиус В = 30 см, меньший г = 10 см) и цилиндра С массой 120 кг радиусом й = г/2, установлен на призме В массой 210 кг,находящейся на горизонтальной плоскости.
Трение между призмой и ттлоскостью отсутствует. Груз А получает перемещение Я = 1.2 м относительно призмы вдоль ее поверхности влево; о = 75' (рис. 124). Куда и на какое расстояние переместится призма? Решннин Задаем систему координат. Проекции на горизонтальную ось всех внешних свл (сил тяжести С, Св, С, Сп, реакции опоры Х), действующих на систему, равны нулю (рис.
125), а трения между призмой В и опорой по условию нет. Применим к системе следствие из теоремы о движении центра масс в форме (4). 1. Абсолютное смещение тел А, В и С представляем как сумму относительного смещения, зависящего от величины Я относительного смещения груза А, и неизвестного переносного смещения Ь р, равного ,1 Рис. 124 Рис. 125 абсолютному смещению призмы, относительно которой задавалось смещение Я.
Обозначаем абсолютные смещения координат центров масс тел системы Ьл, сан, Ьп, Ьо. Направление оси л определяет знаки смещений: налево с минусом, направо с плюсом. Предполагаем, что призма сместится направо. Перемещение центра цилиндра 238 Гл. 12. Динамика системы С относительно призмы и перемещение груза А связаны так же, как связаны их скорости. Цилиндр С совершает плоское движение. Абсолютное смещение его центра в нроекцни на ось х равно езв — ос сов о, где ос — смещение центра цилиндра вдоль наклонной поверхности призмы. Выразим Я через Я. Для этого свяжем скорости груза А и центра масс цилиндра С.
Мгновенный центр скоростей цилиндра находится в точке касания призмы, поэтому скорость его пентра масс относительно призмы вдвое меньше скорости нити, накручиваемой на обод. Скорость груза А выражаем через угловую скорость блока (рис. 132, с. 249): (5) ис —— 0.5швг, ол — — швЛ. Исключая отсюда шв, имеем связь скоростей: ис —— 0.5илг(В.
Интегрируя это соотношение при нулевых начальных значениях, получаем искомую зависимостьс Я = 0.5Вг/Л. Находим выражение абсолютных смещений всех тел через Ьв и Я: АА = Ас В '~в = Ав Ас = ~Хо — 0.5Вт~Вгово. (6) 2. Подставляя абсолютные смещения в (4)., получаем уравнение тА~А + тв~в + тс~с + тв ~в или тл(~п В) + твЕ1в+ тпс(ЬС вЂ” О 5Вг/Всоси) + типов = О.
Решаем это уравнение относительно ек тлэ + тс05БТ/В сов о — 14.39. тл+ тв+ тг, + т~ Призма Р переместится вправо на 14.39 см. УСЛОВИЯ ЗядАЧ. Механизм, состоящий из груза А, блока В (больший радиус В, меньший г) и цилиндра С радиуса Вс, установлен на призме Р, находящейся на горизонтальной плоскости. Трение между призмой и плоскостью отсутствует. Груз А получает перемещение Я = 1 м относительно призмы вдоль ее поверхности влево или (в тех вариантах, где он висит) по вертикали вниз.
Куда и на какое расстояние переместится призма? 239 шл=бкг,шв=Зкг, тс =11кг,тв.=40кг, В = 16 см, г = 8 см, Во .= 28 см. ш,л = 9 кг, шв = 6 кг, то =14кг,шв =51кг, В =- 24 см, т = 12 см, Вв = 42 см. тл =6кг, тв =Зкг, шо = 16 кг, тв .=- 65 кг, В = 48 см, г = 32 см, Вс = 24 см. тл = 9 кг, шв = 6 кг, то = 19 кг, тп =- 76 кг, В = 60 см, г.= 40 см, Во = 30 см. тл=6кг шв =Зкг то = 21 кг, шп = 90 кг, В = 28 см, г = 16 см, Во = 12 см. в тл =.9кг, тв =-6кг, тс = 24кг,шр =-51кг, В = 42 см, г = 24 см, Вс = 18 см. В 12.1. Теорема, о движении центра масс Гл, 12.
Динамика системы 240 тя =6кг, тв =Зкг, тс = 11 кг, тп = 50 кг, Л = 32 см, г = 16 см, Лс = 56 см. тл =-12 кг, тв =-6кг, пес = 27 кг, тв = 65 кг, Л =- 70 см, г =- 40 см, Лс = 30 см. тн = 9 кг, тв = 3 кг, тс = 14 кг, то =- 64 кг, Л = 16 см, г = 8 см, Лс = 28 см. 10. тл = 12 кг, тв = 6 кг, тс = 22 кг, то = 80 кг, Л = 36 см, г = 24 см, Лс .= 18 см. В Ответы. 1. 12.887 см. 2. 20.945 см. 3. 13.597 см. 4. 4.986 см. 5.
31.522 см. 6. 27.278 см. 7. 6.760 см. 8. 20.641 см. 9. 11.571 см. 10. 12.981 см. Предупреждение типичных ошибок 1. В знаменателе ответа должна стоять сумма масс всех тел системы. Если вместо суммы масс возникла разность, это значит, что при вычислении абсолютного смещения получилась ошибка в знаке. Следите за соответствием направления координатной оси и направлением перемещения. 2.
Внутренние силы не влияют на решение задачи. Так, если дополнить условия задач трением качения цилиндров о призму, то 12.2. Кинетическая энергия механической системы 241 коэффициент трения в решение не войдет. А вот малейшее трение между призмой и неподвижным основанием испортит задачу настолько, что уравнение (4) применять будет уже нельзя, гак как не выполняется условие 11). Для более ясного представления задачи можно считать, что призма находится на тонкой пленке воды или масла на идеально полированном столе. 12.2.Кинетическая энергия механической системы та из Т= 2 где т масса тела, о скорость любой его точки. Напомним, что при поступательном движении скорости всех точек тела равны, а угловая скорость равна нулю. Кинетическая энергия тела, совер- тпающего вращательное движение с угловой скоростью ьт, 7 2 2 (2) д — момент инерции тела относительно оси вращения.
Напомним, что у однородного цилиндра радиуса В момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, д = тпйг)2, однородного стержня длиной а, относительно середины д = таз,112, а относительно конца ,7 = та~1'3. Моменты инерции тела относительно параллельных осей связаны соотношением д = да+ Ьгт, где дч — момент инеРции относительно оси, проходящей через центр масс, 6 расстояние между осями (см. также с. 273). Коли известен радиус инерции т тела массы т, то его момент инерции д = тт . 16 М.Н.Кирсанов ПОСТАНОВКА ЗАДА'1И. Выразить кинетическую энергию механической систпемы с одной степенью свободы через угловую скорость одного иэ тел системы или линейную скорость какой-либо ее тпочки.
ПЛАН РгсШГНИЯ 1. Составляем кинематические графы системы. Угловыс скорости тел системы и линейные скорости их центров масс выражаем через заданную скорость 12 8.5, с. 188). 2. Вычисляем кинетические энергии отдельных тел системы. Для тела, совершающего поступательное движение, кинетическая энергия Гл. 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
