Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 31
Текст из файла (страница 31)
130 висит от искомои скорости и 1. Кинетическую энергию системы, состоящую из трех слагаемых +Т +Тч выражаем через скорость и = ил. Груз А движется поступательно, следовательно, его кинетическая энергия равна Тд —— тли"-/2. Тело В (блок) вращается относительно неподвижной оси: Тв —— ,7выв~/2. Момент инерции блока относительно оси вращения вычисляем через заданный радиус инерции,7в — — 1 тв. Угловую скорость ыв необхо- ,2, димо выразить через искомую скорость и. Линейная скорость внешнего обода блока совпадает со скоростью груза и, так как обод связан нерастяжимой нитью с грузом.
Для угловой скорости блока записываем формулу сев — — и/В. Выражаем Тв через скорость и: тв' " 2Л 12.3. Теорема об иэменении кинетической энергии 249 Тело С (цилиндр) совершает плоское движение, поэтому и — скорость центра масс цилиндра,,7 — момент инерции цилиндра относительно центральной оси: тсйс~ тсМ2)э тсг 2 2 8 с Выражаем и, и ш, через о. Точки внутреннего обода блока имеют скорость гшп или, выражая а~п через скорость груза, иг'~В (рис. 131). ото Рис. 131 Рис. 132 Рис. 133 Цилиндр катится без проскальзывания, поэтому точка его сопри- косновения с призмой является мгновенным центром скоростей тела (рнс. 132), отсюда (2) (3) В результате находим кинетическую энергию цилиндра С: Кинетическую энергию системы трех тел представляем в виде (4) о В ог(В тс "с ~сеос 2 2 Т = — — — + — —— 2 ог и с 2Д Д Я ос ос = оэс~с = Л2 т гзиг т гэ ог 3 гг с с,г 3В 3 М И Л' 2 Т~ = Ул + Тв -~- Тс = Вор 250 Рл.
12. Динамика системы где Рпрнв = тл + тв1~/Л~ + 3/8 тс гз/Л~ — пРиведеннаЯ масса сис- темы. 2. Находим сумму работ внешних сил. Изображаем действующие на систему силы (рис. 133). Реакции опор Хл, Х и вес Сл работы не совершают, так как онн перпендикулярны перемещениям точек нх приложения. Реакции оси Хв, У и вес Св приложены к неподвижным точкам, поэтому их работа также равна нулю. Аналогично, работа силы сцепления, приложенной к цилиндру С в точке касания, равна нулю.
Находим сумму работ остальных сил; ,)' .4, = -~'рНл + СсНс в1п сь — 34. Рс где Я и ьс соответственно, смещение центра тяжести и угол поворота цилиндра С. Находим силу трения скольжения груза А и момент трения качения цилиндра С. Имеем Е = Я 1", ЛХ, = Х б, где Хл и Л', соответствующие нормальные реакции. Проекция всех сил, действующих на тело А, на нормаль к поверхности равна нулю. Отсюда, Х1 — — С 1. Аналогично, из равенства нулю суммы проекций на нормаль к боковой поверхности призмы всех сил, действующих на цилиндр, получаем Х = С сов а.
В результате = Сл~ = тлИ М = 1дсб = тсдб сов а. Так как о, = Я,, о = Я1, ьз, = р,, то интегрируя (2) и (3) прн нулевых начальных условиях, получаем Яс — — ЯлгД2Л), ьрс — — Ял/Л. Суммарную работу выражаем через Ял.. з ~яг л А = — тлд~Бл+пвсдвша одбсова —. (5) 2В 3. Кинетическую энергию (4) приравниваем сумме работ (5): и г б 2 — упрев = дял — тл У + та в!п а — — та сов а— 2Л Отсюда получаем: о = 2.10 м/с.
условия задач. Механизм, состоящий из груза А, блока В (больший радиус Л, меньший г) и цилиндра С радиусом В, установлен на призме Р, закрепленной на плоскости. Под действием сил 12.3. Теорема об изменении кинетической энергии 251 тяжести из состоян я покоя механизм пришел в движение. Между грузом А и призмой имеется трение т1кроме тех вариантов, где груз висит), качение цилиндра (блока) происходит без проскальзывания.
Коэффициент трения скольжения груза о плоскость 1, коэффициент трения качения цилиндра 1блока) б. Трения на неподвижной оси вращающегося блока (цилиндра) нет. Нити, соединяющие тела, параллельны телоскостаям. Какую скороспш развил груз А, переместившись на расстояние Я = 1 му В = 16 см, т = 8 см, Л, = 28 см, 1" = 0.01, е = 13 см, ЯА = 1 м, б = 0.1 мм, тпл = 6 кг, тв =.
3 кг, тс = 11 кг. Л = 24 см, т = 12 см, В, = 42 см, 1" = 0.02, 1=19см,бл=2м, б = 0.2 мм, тл =- 9 кг, тв = 6 кг, тс = 14 кг. 3.  — — 48 см, т = 32 см, В, =. 24 см, ~ = 0.03, е = 41 см, бл = 1 м, б =- 0.3 мм, тпл .=- 6 кг, тпв = 3 кг, тс = 16 кг. В = 60 см,т = 40 см, В, =- 30 см, ~ .=- 0.04, 1 = 51 см, Ял = 2 м, б = 0.4 мм, тл =- 9 кг, тпв = 6 кг, тс = 19 кг.
12.4. Теорема о моменте количества движения системы 253 10. В = 36 см, г = 24 см, В„=- 18 см, 1" =- 0.05, ~ = 32 см, Ул = 2 м, й = 0.2 мм, тл .= 12 кг, пъв =. 6 кг, тс = 22 кг. Ответы 12.4.Теорема о моменте количества движения системы ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Горизонтальная платформа, на которой расположено Х материальных точек, свободно вращаетпся вокруг вертикальной оси. Как изменится угловая скорость платформы, если в некоторый момент времени точки начнут перемещаться по платформе вокруг оси вращения с заданными скоростаями У Трением пренебречь.
ПЛАН РЕШВНИЯ По условию задачи моменты ЛХ;; всех внешних сил относительно оси вращения равен нулю (силы тяжести параллельны вертикальной оси, а реакции подшипников пересекают ось). Поэтому из теоремы об изменении момента количества движения системы, записанной в проекции на ось вращения г, следует закон сохранения момента количества движения системы 254 Гл. 12.
Динамика системы где А,о и Ь, — проекции момента количества движения системы на ось з до и после относительного движения точек. 1. Вычисляем момент количества движения системы, для случая неподвижных относительно платформы точек: (2) где .7, — момент инерции платформы относительно оси з, совпадающей с осью вращения, щ, — проекция начальной угловой скорости на ось е; т,, Л,, 1 = 1, ..., Х вЂ” массы точек и радиусы окружностей, на которых они расположены. 2. Вычисляем момент количества движения системы, для случая, когда точки начали двигаться относительно платформы со скоростями е,: Л„= 1,щы + ~~ (ш,Л,(о,'+ щыЛч), (3) где щ, — угловая скорость, которую получила платформа.
3. Из уравнения (1) находим угловую скорость ез г Примяв*) . Круглая горизонтальная платформа вращается без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр масс с постоянной угловой скоростью що; при этом на платформе стоят четыре человека: два на краю платформы, а два на расстояниях от оси вращения, равных половине радиуса платформы (рис. 134). Рис.
135 Рис. 134 Как изменится угловая скорость платформы, если люди, стоящие на краю, будут двигаться по окружности в сторону вращения с относительной скоростью е, а люди, стоящие на расстоянии половины М Задача 37.53 из сборника задач И.В. Мещерского (14). 12.4. Теорема о моменте количества движения системы 255 радиуса от оси вращения, будут двигаться по окружности в противоположную сторону с относительной скоростью 2о? Людей считать материальными точками одинаковой массы, а платформу — — однородным диском.
РЕШЕНИЕ На систему, состоящую из платформы и четырех человек, действуют внешние силы. Ось г направим по оси вращения. Моменты сил тяжести людей С, платформы СО и реакций подшипника (реакция Х перпендикулярна плоскости чертежа и на рис.
135 нс обозначена) относительно оси = равны нулю (рис. 135). Используем уравнение сохранения момента количества движения (1). 1. Вычисляем момент количества движения системы, когда люди стоят неподвижно на платформе: Т.О = (А, + 2тНз + 2т(Н!2) МО = (А + 2.5тН')",О где,1, момент инерции платформы, т масса каждого человека, Н вЂ” радиус платформы. 2. Вычисляем момент количества движения системы после того, как люди начали двигаться относительно платформы.
У двух человек на внешнем ободе относительные скорости и и переносные скорости ы Й суммируются, и + ы Н, и момент количества движения вычисляется в виде произведения величины количества движения т(и+ ы„Н) на плечо Н. У людей на внутреннем ободе нереноснвя скорость меньше в два раза, ы, Н/2, направлена в сторону вращения диска. Относительная же скорость 2п направлена в противоположную сторону, поэтому она берется с минусом. В итоге, Ь, = 3,о>„,+2тН(о+о~„Н)+2тй/2(ш„К/2 — 2о) = (д,+2.5тНО)ш, . 3. Из равенства Х,,О = 5, следует, что ам = ш,в, т.е.
угловая скорость вращения платформы не изменилась. Условия задач. Однородная, горизонтальная платформа радиусом Н = 1 м и массой тв — — 20 кг, на которой расположены три материальные точки, свободно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ы, = 2 рад/с. Найти угловую скорость платформы после того, как точки начнут перемещаться по платформе со скоростями п,, 1 = 1...3 по окружностям вокруг оси вращения. Массы даны в кг, отпносительные скорости в м'с. Радиус меньшей окружности х = 0.7 м, радиус большей совпадает с радиусом латформы. Трением пренебречь. 12.5. Динамический расчет механизма с неизвестным пар метром 257 бг оз тз ' тг = 19, тг = 17, тг = 14, ег = 2, уг = 3, оз = 4 тг = 18, тг = 15, тг = 11, ог = 3, ег = 4, иг = 5. 12.5. Динамический расчет механизма с неизвестным параметром ПОСтЛНОВКЛ ЗЛдЛЧИ.
Механическая система с неизвестным параметром под действием внешних сил приходит в дв'ажение из состояния покоя. За некоторое время одно из тел системы перемегиается на заданное расстоянпе и приобретает известную скорость. Найти неизвестный параметр системы и рассчипгать движение системы в измененных условиях. ПЛАН РЕШЕНИЯ Постановка задачи гто сути представляет собой ~растай вариант практически важной проблемы идентификации параметров механизма по наблюдаемым характеристикам его движения. Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии. 1.
Выражаем кинетическую энергию каждого тела системы через известнУю скоРость У: Ть — — Дяив~/2, где Ря — пРиведеннаЯ масса Умго тела. Вычисляем суммарную приведенную массу: р„„, = 2 ь рь. 2. Записываем теорему об изменении кинетической энергии: Т, --Т = ~~ А'+гг А', г 17 М.Н.Кирсанов Ответы. 1. ю, = 3. аг, = 1.725 рад/с. 6. аг = 0.407 рад/с.
9. вг, = 1.058 рад/с. 0.269 рад/с. 2. вг, = -0.414 рад,1с. 4. аз = -0.345 рад/с. 5. ьг, = -5.009 рад/с. 7. ы, = 2.343 рад/с. 8. аг, = -1.357 рад/с. 10. аг, = 2.928 рад/с. Гл. 12. Динамика системы 258 д ~ лРив 2 С г 1 л (2) Пусть неизвестная характеристика системы содержится в выражении для работы *) . 3. Решая уравнение (2), определяем неизвестный параметр. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
