Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 27
Текст из файла (страница 27)
При 1 = 1 вычисляем ьг = 0.789 рад/с, со = 0.614 рад/с, аг, = 0.900 рад/с. Модуль угловой скорости тела =~Я+ Е =Е545р~ь. 2. Вычисляем проекции скорости точки на подвижные оси: ю, = щ„г — щ,у = — 1.799 мес, п„= а~ех — вг,г = 0.900 м1'с, о, = ы, у — и~их = 0.964 м,1с. 3. Ы,ч ...Р„, = ьЯ 9 ЕЕ,, = 2231 /,.
4. Дифференцируя по 1 проекции угловой скорости, получаем компоненты углового ускорения тела в подвижных осях: е, = вг = 2 сов(вш(21)) сов(21), е„= ыи = — 2вш(яп(21)) сов(21), е, = ы, = — 4в1п(21). При 1 = 1 получаем е, = — 0.511 рад/с, е, = 0.657 рад/с, е = — 3.637 рад/с . Модуль углового ускорения е = ег + ег + ег = 3.731 рад/с .
г 5. Ускорение точки представляем в виде векторной суммы: Ие = е" х р+ вг х о, Гл. 10, Сферическое движение тела 224 где И', = г х г — вращательное, а И" = вб х й — осестремительное ускорение. Вычисляем отдельно их проекции на оси х,у и ж И;, = е, в — г,у = 7.274 и/с, И',„= г,х — гее = — 3.637 м/с, И;, = г,у — е„х = — 1.679 м/с .
Им, = ы„о„— ео,о, = — 0.217 и/с, И' „= ы,и, — а~,о, = — 2.379 м/с, И'„, = оз о — ео о, = 1.815 м/с . Компоненты ускорения получаем, суммируя И', и И'„: И', = 7.274 — 0.217 = 7.057 м/с, И'„= -3.637 — 2.379 = -6.017 мыс, И; = — 1.679-~- 1.815 = 0.136 м,1с . 6,ч ее р Е'=~'К,'."-к„'~~,=9.275 / .0* занесем в таблицу. Скорости в м/с, ускорения в м/с .
ЗАМЕЧАНИЕ 1. При сферическом движении тела векторы угловой скорости и углового ускорения нс лежат на одной прямой (ы /ее:р ы„/е„ф ео,/е,), а вектор осестремительного ускорения в общем слу.— чае не перпендикулярен вектору вращательного ускорения. В атом можно убедиться, вычислив скалярное произведение Й' Й; ф О. ЗАмечАние 2. Кинематические уравнения Эйлера для определения проекций угловой скорости на неподвижные оси координат имеют вид я, = фяпф япд+ Осовф, я = — фсочф япд+дяпф в~,, = ф сову+ ф.
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Твердое тело совершает сферическое движение по закону, заданному в углах Эйлера. При 4 = 1 с найти скорость 10.1. Скорость и ускорение точки тела 225 1. гУ = лгг2, В =- 5Д1+ 2), уг = 3(1-Р 1)'1'~, х = 1, у = 1, е = 4. 2. гр = (1,Г2) в1п 61-~- 31, В =. л,ГЗ, р =. 6Д21+ 3), х =. 2, у =- 2, е = 1. 3. ге=5(141)~1'~, В=31~941+2, уа=л,г4. х=3,у=3,е=2. 4. ф=лгг3, 0=(1гг2)япг41 — 31 ус=ее+31+4 х=1 у=2 в=4 5. гу = 4 1п (31 + 2), 0 = лгб, уг = 5аг31 + 5, х = 2, у = 4, е = 3. б.
гу =- 31~ + 21+ 2, 0 =- 2~21 се 2, уг =- лгг2, х =- 3, у =- 1, е =- 3. 7. гр = л,ГЗ, 0 = (1гг2) яп41 + 31, уг = 3~/4~ -Р 3, х = 1, у = 2, е = 4. 8. г)г =- 51-Р (ггг2) сов~ 61, 0 =- л,Г4, уг =- 3!п (31-Р 2), х = 2, у =- 3, е = — 4. 9. ф = 4(1 + 1)в1'с, В = 13еил, ус = л,г3, х = 3, у = 2, е = 2. 10. гГг = лггб, В = 15еив, го = 6(1+ 1)'1'~, х = 1, у = 4, е = 4. Ответы мггс и1'с — 1.466 5.135 — 176.192 15.896 10.333 -23.280 -22.375 -81.799 — 30.878 -583.050 2.164 6.569 47.104 7.444 20.400 4.520 11.717 38.942 17.010 70.782 1.476 3.538 28.228 21.743 4.454 37.251 27.411 171.495 13.459 39.700 — 0.324 — 3.075 — 11.080 — 5.958 — 18.938 2.229 -11.283 -17.259 — 7.026 — 8.553 -2.055 0.174 — 17.204 4.406 5.860 2.476 2.831 31.517 — 4.334 — 48.603 1 2 3 5 6 7 8 9 10 0.595 5.802 42.426 — 0.713 4.812 -3.054 1.405 — 15.008 14.872 50.742 0.131 8.339 -313.097 -20.508 -30.306 14.618 -30.351 -120.979 -68.814 -95.343 1.050 — 32.484 -309.026 -49.249 --96.636 5.558 — 8.721 -315.
767 -10.565 -645.653 15 М.Н.Кирсанов и ускорение точки, положение которой дано относительно подвиж- ных осей координат. Углы уг, В и ео даны в рад, координагаы х,у,г -- в лк хХаСтЬ Ш ДИНАМИКА Динамика ) — основной раздел теоретической механики. В динамике изучают механическое движение материальных объектов в связи с силами, приложенными к ним. Простейшим объектом является материальная точка — геометрическая точка, наделенная массой. В главе 11 решаются задачи о движении точки под действием постоянных и переменных сил. Все объекты, о которых там идет речь, принимаются за материальную точку. Для решения текстовых задач, приведенных в ~ 11.1, 11.2, требуется определенный навык прочтения условия, умение выделить существенное, заметить недосказанное и, главное, не приписать к условию того, чего там нет.
Например, если в задаче речь идет об автомобиле, который при некоторых условиях разгоняется за одно время, а при других условиях за другое, то естественно предположить, что двигатель в обоих случаях один и тот же, и все параметры движения, кроме тех о которых явно сказано, одинаковые. Общий принцип здесь — не вносить в условие дополнительных сложностей и использовать все имеющиеся в тексте данные.
Кроме того, для успешного решения этих задач рекомендуем повторить методы интегрирования (Решебник ВМ, З7.1 — 7.10) и методы решения дифференциальных уравнений 1Решебник ВМ, 811.1 — 11.1Ц. В З 12.1 — 12.6 рассматриваются задачи динамики плоского движения тела и системы тел. В зависимости от постановки задачи применяются различные методы.
В некоторых случаях одну и ту же задачу можно решить несколькими способами. Так, задачи З 12.3, З 12.5, з 12.б можно решить с помощью теоремы об изменении кинетической энергии системы, с помощью общего уравнения динамики или уравнения Лагранжа 2-го рода. Заметим, что большинство трудностей при решении этих задач связаны с кинематикой.
Рекомендуем повторить методы вычисления скоростей Я 8.1, 8.5) и ускорений Я 8.2) 0 Название "динамика" ввел Г. Лейбниц в 1690 г. 227 точек тела при плоском движении. Задача о динамических реакциях подшипников ротора 5 12.7 соответствует задаче Д-б из сборника И.В. Новожилова, М.Ф. Зацепина )15). В 2 13.1 методами аналитической механики решается задача определения реакций опор составной конструкции. Здесь в одной задаче собраны все три раздела механики: методами кинематики находят возможные скорости, искомая реакция определяется из уравнения принципа возможных скоростей,а уравнения статики используются при проверке решения. Для решения задач динамики системы тел с двумя степенями свободы примоняется общее уравнение динамики Я 13.3) или уравнение Лагранжа 2-го рода Я 13.4).
Особое внимание уделяется задачам, в которых кинетическая энергия системы зависит от обобщенной координаты. В этом случае решение ограничивается составлением уравнения движения в форме Лагранжа 2-го рода Я 13.5) или Гамильтона Я 13.8). При вычислении обобщенных сил в таких задачах важно знать не только модули скорости характерных точек (центров масс, точек приложения сия), но и знаки их проекций. Наибольшие трудности при решении возникают именно здесь.
Именно поэтому в этих задачах рекомендуется использовать метод кинематических графов. Для численного решения полученного дифференциального уравнения движения в 5 17.2 дана программа для Мар1е Ъ. С помощью этой программы можно выполнять задание Д-5 из сборника )15). В 2 14.1 с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода решена задача о собственных колебаниях системы двух тел, совершающих плоское движение. Задача колебания узла фермы, разобранная в 2 14.2, содержит в себе элементы теории упругости. Стержни фермы не являются твердыми телами, для них допускаются продольные деформации. При определении усилий в стержнях фермы можно воспользоваться программой, написанной для Мар!е У Я 15.1). 15' Глава 11 ДИНАМИКА ТОх1КИ 11.1.
Постоянные силы По нтяновкя злдячи. Матерчальн я точка движется по прямой или по окружности под действием постоянных по величине сил. Определить закон движения таочки или отдельные пар метры движения. ПЛАН РНШГНИЯ 1. Выбираем систему координат. Для прямолинейного движения ось х направляем вдоль линии движения точки.
Уравнения движения под действием сил, главный вектор которых обозначим как гч, имеют вид тх=р„ту=Ел, тй=р„. При движении по окружности используем уравнения движения в естественных осях: ти~/Л = р„, ти, = р, 0 = ры Нормаль п направлена к центру окружности, т — орт касательной, направленный в сторону увеличения дуговой координаты о; и, = д, Ось - — перпендикулярна плоскости окружности. Прикладываем к точке все действующие на нее силы.
2. СОставляем дифференциальные уравнения движения в проекциях на оси. В проекции на одну из осей уравнение движения вырождается в уравнение равновесия. Если в условии задачи есть трение, то из этого уравнения можно найти силу трения или выразить ее через другие силы. 3. Интегрируем дифференциальное уравнение. Константы интегрирования определяем из начальных условий. 4. Из полученного закона движения определяем необходимые величины.
11.1. Постоянные силы 229 Пгимиг. С аэростата сбросили балласт, падение аэростата замедлилось, и через время 1„он поднялся на ту высоту, с которой сбросили балласт. Сила сопротивления воздуха Л = сопвФ, подъемная сила аэростата — Т, масса аэростата без балласта — т,. Сколько времени после сброса балласта аэростат опускался? Ришипин 1. Ось у, направим вверх, поместив ее начало в нижней точке траектории аэростата. При падении на аэростат действуют силы тяжести С = тд, сила сопротивления воздуха Л и подъемная сила Т (рис. 121). Аэростат принимаем за материальную точку. 2. Составляем дифференциальное уравнение движения: ту =Т+Л вЂ” С. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
