Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 23
Текст из файла (страница 23)
ев = — упОАв!п р» +»ггАВяп»гг, О = ф»ОАсов1㻠— ргАВ сов рг, ев = — »г»РС яп <р» — рзСВ яп<рз, Π— ~р»РС сов р» + угзСВ гоз рз ° 13 Мд К Кирсанов 194 Гл.в. Плоское движение тела ив = — фг ОА яп рг + згг А В яп рг, 0 = зггОАсовггг — ргАВ сов рг, 6. ио = згеОСя1пзог — згзСРя1пзгз, 0 =- — яггОСсоя:рг + рзСР сов рз. 0 = — ргОАяпрг — регАВ яп рг — рлВР япзгз, со = регОАсовягг Ч-яггАВсовягг Ч-ЗглВРсояяоз, 0 =' — ~рзСВ яш рз — ЗгзВР в|п ял, ио =- ЗгзСВсоярз+ рлВРсоъдл. 0 = — згг ОА я1п згг — зглАР я1п ягз, ип = ргОА сов Зог Ч- рлАР соя ягл, 0 = — рзСВ я1п Згз + ЗггАВ яп зов — рлАР яп рл, ип .=- ягзСВ сов рз — зггАВ сов ягг + 4гз АР сов ягл. 0 = — зггОАяпггг + 2яггАВ япрг, пс = уггОА сов ггг — 2ргАВ сов зог, 0 = — ргАВ яп згг — згзВР яп рз, сп = ос + зггАВ сов згг+ рзВР соя згз.
ис =- — 2яггАВяшзгг + зггАСяш рг, 0 = 2ргАВ сов рг — зггАС сов рг, 10. 0 = -фгАВяпрг — ягзВРяпугз, по = ЗггАВсоырг -> рзВР сов ягза. ЗамичАиин 4. Для того, чтобы проинтегрировать полученные кинематические уравнения, необходимо скорости ползунов выразить через соответствующие координаты, например, ов — — йв, задать одну из пяти функций, входящих в уравнения, и выбрать для остальных функций начальные условия. Предупреждение типичных ошибок 1. Кинематические графы являются ориентированными графами. Меняя направление маршрута, меняйте и угол.
Следующие два графа г эквивалентны: А г В;  — г А. и яг з 2. Угловая скорость звена, которому принадлежат точки А и В 1 графа А — з В, не обязательно равна ~р, см., например, с. 243. Глава 9 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТО'ЧКИ 9.1. Сложное движение точки в плоскости ПОстАнОВкА ВАЛАчи. Геометрическ я фигура вращается вокруг оси, перпендикулярной ее плоскости по известному закону у(1).
В канале, расположенном на фигуре, движется точка М по закону о = о!1). Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в заданный момент времени 1 = ! . ПЛАН РГШГНИЯ Сложное движение точки Лд представляется в виде суммы относительного и переносного. Характерной особенностью этой задачи является то, что траектории относительного, переносного и абсолютного движения лежат в одной плоскости.
Ось г, на которую проектируются векторы переносной угловой скорости и переносного углового ускорения, перпендикулярна этой плоскости и направлена на наблюдателя. Угол поворота считается положительным, если со стороны оси г он виден против часовой стрелки. Искомые величины получаем из векторных равенств; и = и„+ и„ Й' = Й'., + Й'и + Й'к, (2) где и„„йв и и„, И'„— соответственно относительные и переносные скорости и ускоренил; Й' = 2вз„х в„— ускорение Кориолиса *) .
1. Вьзчисляем значение дуговой координаты о!1) при 1 = 11 и определяем положение точки в подвижной системе координат. 2. Дифференцируя о11) по времени, находим относительную скорость (скорость точки относительно фигуры): до!1) ьт д! '! Кориолис Гаспар Гюстав (1792 — 1843) французский механик н математик. 13" Гл, 9. Сложное движение точки 196 Вектор б, направляем по касательной к относительной траектории в сторону увеличения о, если ит ) О и в обратную сторону в противном случае; и„= ~и,'т~.
3. Вычисляем радиус траектории переносного движения ˄— расстояние от точки ЛХ в положении 1 = 1 до оси переносного вращения. 4. Находим переносную скорость лл„= ~ил„~Л„, где переносная угловая скорость Ир„(1) и д1 Вектор й„ направляем перпендикулярно Л„ в сторону переносного вращения. 5. Определяем вектор абсолютной скорости, вычисляя компоненты и, и„векторной суммы (1) на произвольно выбранные оси, и модуль 2+ 2 Ч 6.
Вычисляем относительное ускорение. В случае криволинейной относительной траектории где Л радиус кривизны относительной траектории в точке 11Х. Для прямолинейной траектории относительного движения И;и = О. Вектор Й" направляем по касательной к относительной траектории, вектор Й;" — к центру кривизны этой же кривой. 7. Вычисляем переносное ускорение: Ыии Йт Йти+Йтв И,п 2 Л тт в Л Ф Вектор Й'„" направляем перпендикулярно Л„, вектор Й'„" — к оси переносного вращения (вдоль Л„). 8. Находим ускорение Кориолнса Йт . Так как в задачах этого типа вектор переносной угловой скорости перпендикулярен вектору относительной скорости, то Ик — 2(или 1!сот~ в1п(к/2) = 2(или ~~сот~ 9.1.
Сложное движение пеочни в ловкости 197 Направление вектора ускорения Кориолиса можно определить по правилу Жуковского ~~ поворотом на 90' вектора относительной скорости по направлению переносного вращения. В результате вектор ускорения Кориолиса в таких задачах будет лежать на одной прямой с Й",и при криволинейном относительном движении, а в случае прямолинейного относительного движения Й' перпендикулярен относительной траектории. 9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат.
Модуль абсолютного ускорения И' = И'~ + Иеу. Приме1'. Прямоугольник АВСВ вращается вокруг оси, проходящей через вершину А, по закону уо„= 1~ + 1. Ось вращения перпендикулярна плоскости прямоугольника (рис. 109). По круговому каналу радиуса В = 10 см с центром в точке С, расположенному на прямоугольнике, движется точка М. Дуговая координата точки меняется по закону КМ = 5к1з/3 см.
Дано: АВ = 12 см, ВС = 15 см. Рис. 110 Рис. 109 Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М при 1=1, = 1 с. Рещение Движение точки М представим в виде относительного движения по круговому каналу и переносного движения вместе с вращающимся прямоугольником. 1.
Вычисляем значение дуговой координаты о.(1) = ЛМ, при 0 Жуковеьия иколвб Егорович (1847-1921) русский ученый, основоположник гидроезродинамики. Преподавал теоретическую механику в МГУ, Правило Жуковского для общего случая см. с. 204 Гл, 9. Сложное движение точки 198 1 = йы и определяем положение точки в подвижной системе координат. За время 1 точка проходит по дуге окружности путь КМ = 5х/3 см. Центральный угол, соответствующий этой дуге, а = КМ/В = л/6.
Изображаем точку в этом положении (рис.110). 2. Дифференцируя о(1) по времени, находим относительную скорость. Находим ее значение при 1 = 1 с: и„= — КМ(1) = 5я1 = 15.708 сьгг'с. г Вектор и направлен по касательной к окружности. 3. Вычисляем радиус траектории переносного движения В„= АМ В„= (А — Ваша)з+ (ВС вЂ” Всояа)в = 9.444 см. 4. Находим переносную скорость и„= ~го„~В„. Переносной скоростью точки является скорость точки прямоугольника, совпадающей в данный момент с М *) . Угловая скорость фигуры, при 1 = 1 с, ил = " = 21+1= 3 рад/с. Ф.(1) и, ил1 Отсюда и„= ~ил„1В„= 3 9.444 = 28.333 см/с. 5.
Определяем вектор абсолютной скорости по формуле (1). Модуль абсолютной скорости и = и + и„находим, проецируя это равенство на неподвижные оси координат л, у (можно воспользоваться также теоремой косинусов): и, = и яша — и„ягп,З = — 13.141 см/с, и„= — и, сова+ и„сояД = 5.408 см/с. Тригонометрические функции угла В вычисляем по формулам яш(д = (А — Вя1па)/В„= 0.741, соя Д = (ВС вЂ” В соя а)/В„= 0.671. Модуль абсолютной скорости и = Я + и~~ = 14.211 см/с.
0 Иногда переносная скорость обозначается и, (от французского слова епгрог1ег), реже о,„(от английского слова Сгапярог1), а относительная о„(от английского слова ге1а11г). Эти же индексы используются и для других компонентов сложного движения. 9.1. Сложное движение пеочии в ловкости 199 6. Вычисляем относительное ускорение. Ускорение точки, движущейся относительно прямоугольника по окружности, имеет нормальную и тангенциальную составляющую: т 2 '" = 10я1 = 31.416 см/с, И'," = — '~ = 24.674 см,2с . Модуль относительного ускорения И' = ДИе" )2+ (И'и)2 = 39.747 см/с . Вектор ускорения И'„", направляем по радиусу окружности к точке С, Й" — по касательной, в сторону увеличения дуги КМ, так как И „, ) 0 (рис.
111). 7. Вычисляем переносное ускорение Йи = И'„" + И'„'. Траектория переносного движения точки — окружность радиуса В„с центром А. Прямоугольник вращается с угловой скоростью и2„= 21+ 1 и угловым ускорением д ~„е1(21+ 1) е "* = — — — 2 рад/с . и. 21 еЦ Отсюда получаем И'„" = ыз В„= 84.996 см/с, И'„' = е„В„= 18.888 см/с . Вектор Й ' направлен против часовой стрелки перпендикулярно радиусу Л„. Вектор Й'„и — к центру А.
Модуль переносного ускорения в' =фи,") ~вез'= '8е99у+1888е'=ееер9 / 8. Находим ускорение Кориолиса') . Модуль вектора ускорения Й = 2и1„х ь„определяем по формуле И', = 2~ее„~~е '0'е1п у~, где 7 — угол меяеду 6 и о2„. Вектор йи перпендикулярен плоскости чертежа, следовательно, угол 7 равен 90'.
Имеем И~к = 2 3 15.708 = 94.248 см/с . Направление вектора ускорения Кориолиса получаем по правилу Жуковского — поворотом на 90' вектора относительной скорости "1 Это ускорение называют иногда поворотным, а в англоязычной литературе вирр1еюепсагу (дополнительным). Гл. 9. Сложное движение точки 200 вращения,т.е. против часовой стрелки по направлению переносного (рис. 112). ьу В К~ о С В ° К 1) Рис. 112 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
