Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 18
Текст из файла (страница 18)
7. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением. Через какое время колесо сделает 70 оборотов и разовьет угловую скорость 7 рад/с. 8. Диск радиусом Л = 9 см вращается вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением 1.2 рад/сг и за некоторое время 1 делает 40 оборотов. Начальная угловая скорость диска равна нулю. Найти скорость точки, лежащей на ободе диска, в этот момент. 9. Колесо радиусом Л = 21 см, вращаясь вокруг неподвижной оси, увеличивает свою угловую скорость по закону ьэ = всв. Через 1.6 с угловое ускорение становится равным 6 рад/с'. Найти ускорение точки, лежащей на ободе колеса, в этот момент. 10. Имея угловую скорость ьо = 8.5 рад/с, маховик начинает равномерно тормозить (е = сопвс).
После 25 оборотов его угловая скорость уменьшается вдвое. Найти время торможения до полной остановки маховика. Ответы 1. Л = 2 см. 2. ьэ, = 1.5 рад/с. 3. Л = 76.82 см. 4. и = 5.97. 5. и = 15.08 см/с. 6. и = 1.68 м/с. 7. 1 = 125.66 с. 8. и = 2.21 м(с. 9. И' = 5 м/сз. 10. 1 = 24.64 с. 7.2. Передача вращения ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Механизм состоитп из вращающихся на неподвижных осях блоков и поступательно движущихся элементов. Все элементы находятся во фрикционном, зубчатом или ременном зацеплениях. Задана как я-либо кинематаческая характеристика одного из тел. Найти кинематаческие характеристика других тел.
7.2. Лередана араи2енил ПЛАН РНЯ!ГНИЯ 1. Определяем кинематические характеристики тела, с заданным законом движения. Если это тело движется прямолинейно посгупательно, то скорость и ускорение любой его точки имеет вид аЬ(!) !1~сг!!) д! ' ~ д12 где а!!) — закон движения тела. При заданном вращательном дви- жении находим угловую скорость и угловое ускорение: где гр(1) — закон вращения тела (зависимость угла поворота в радианах от времени).
2. Определяем угловую скорость тела, связанного нерастяжимой нитью (ремнем, тросом), фрикционно или зубчатым зацеплением с телом, угловая скорость которого известна: 1 гг 2 ггг где г,, гя — радиусы ободов колес (блоков) 1, 2, на которые надет ремень в случае ременной передачи, или радиусы колес, находящихся в зацеплении; ы,,аг, — проекции угловых скоростей колес на ось, параллельную осям вращения. Знак минус берем при внешнем зацеплении, или крестообразной ременной передаче, когда вращение колес происходит в разные стороны. При внутреннем зацеплении !рис.
83) или простой ременной передаче (рис. 84) берем знак плюс. Отношение г !г называется передаточным числом от тела 1 к телу 2. Для зубчатых соединений аналогом (1) является соотношение угловьтх скоростей 1 гг 2 в которое вместо радиусов г и г2 входят числа зубцов Х и 112, пропорциональные длинам окружностей шестеренок. Если поступательное движение тела 1 передается вращательному движению тела 2 (или наоборот), то связь линейной и угловой скоростей имеет вид (2) где г радиус обода, находящегося в контакте с поступательно движущимся телом. Гл. 7. Вратательнае движение тела 154 тге = хуьеь Аналогично, из (2) следует связь линейного ускорения поступательно движущегося тела и углового ускорения связанного с ним вращающе- гося тела: ИТ1 = гзе = И2, где И" .— тангенциальная составляющая ускорения точки вращаювдегося тела в месте контакта.
Было бы ошибкой считать И" = И так как полное ускорение точки на вращающемся теле включает в себя и нормальную составляющую И~а = И'з' + И'~'. Решаем систему уравнений для ускорений. Пгимкг. Механизм состоит из двух колес 1, 3 и блока 2, вращающихся на неподвижных осях. Ведущее колесо 1 механизма соединено ремнелв с внутренним ободом блока 2.
Внешний обод блока находится во фрикционном зацеплении с колесом 3 (рис. 84). Проскальзывание в точке зацепления отсутствует, ремень считать нерастяжимым. Рис. 83 Рис. 84 Задан закон движения ведущего колеса: ьв = 1а(1 + 2). Стрелкой указано положительное направление изменения угла ьв; Л = 40 см, Л = 26 см, г = 24 см, Л. = 42 см. При 1 = 0.5 с найти ускорение точки ЛХ,лежащей на ободе колеса 3. Ришкник 1. Находим угловую скорость ведущего колеса 1: ю, = — =31 84К вВд~ з Ж (3) 3. Повторяя п.2 для всех пар кинематически связанных тел, составляем и решаем систему уравнений для неизвестных линейных и угловых скоростей. 4.
Дифференцируя уравнения полученной системы, получаем аналогичную систему для угловых и линейных ускорений. Например, из уравнения (1) следует,что 7.2. Передача вращения 155 2. Определяем угловую скорость блока 2, связанного нерастяжимым ремнем с колесом 1: (4) 1 и 2 лз' где Л и г — радиусы ободов, огибаемые ремнем. 3. Колеса 2 и 3 находятся во внешнем зацеплении и вращаются в л) разные стороны, следовательно (5) 2 м 3 лз~ Уравнения (3 — 5) образуют систему, решая которую, при 1 = 0.5 с, получаем = 2.75 рад/с, ю, = 4.583 рад/с, ю, = — 2.837 рад/с. 4.
Дифференцируя уравнения системы (3 — 5), получаем аналогичную систему для угловых ускорений: дш е = — '-'- = 61+ 4, <Й (6) Л е, Л12 ем — Гз зле ~ = — Л е„,. Решаем систему уравнений для ускорений (6) и получаем е, = 7 рад/с, е, = 11.667 рад/с, е, = -7.222 рад/с . Вычисляем ускорение точки М: И' = Я ~/ + = 42 '7.222 ~ 2.837 = л423 / 0 В точке контакта скорости точек колес совпадают по величине и по направлению, чего нельзя сказать об ускорениях.
Ответ. И' = 4.542 м/с~. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Механизм состоит из двух враизаю~цихся на неподвижных осях блоков, соединенных нерастяжимым ремнем. Блоки передаюш движение грузам. Задан закон изменения скорости одного иэ грузов (в см/с). В указанный момент времени найти скорость другого груза и ускорение точки ЛХ на внутреннем или внешнем ободе одного из блоков.
Радиусы даны в см, время — в с. 7.2. Передача вращения 157 Ответы Игм И'лх см/с см/с Предупреждение типичных ошибок 1. Соотношение г ш = +т ш, справедливое для зацепления ко- 1 и 2 аг' лес, вращающихся на неподвижных осях, не используйте для механизмов, совершающих плоское движение, например, 3 12.3, с. 247.
2. Ускорение точки ЛХ, находящейся на нити, свисающей с блока в месте ее схода, не совпадает с ускорением точки ЛХ', лежащей в этом же месте на блоке. Точка на нити движется по прямой и ее ускорение . Точка на блоке движется по окружности и ее ускорение имеет две составляющие: Й;й, — — И' и Игьс,. 3. Цилиндры 1 и 2 радиусов г, и г одного блока (на одной оси) имеют одну н ту же угловую скорость.
Иногда по ошибке используют формулу г,ш, = г ш, вместо ш, = ш„. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 104.363 207,360 12.186 28.583 113.906 19.661 3.468 15.552 31,277 4.033 726.102 687.971 11.137 12.549 864.976 68.719 2.506 9.070 61.141 9.761 189.750 207.360 56.243 19.600 227.813 65.536 10,200 19.440 65.846 22.000 750.486 718.541 57.335 23.273 894.473 94.960 10.503 21 452 89.855 24.068 Глава 8 ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА При изучении темы ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА раздела КИНЕМАТИКА, вы научитесь применять аналитические и графические мотоды для определения скоростей и ускорений точек тел и механизмов.
Хотя эти знания имеют самостоятельную ценность, особенно необходимы они будут для решения задач динамики тела и системы. В 3 16.2, с. 361 и 3 16.3 с. 364 приведены программы расчета кинематики плоского движения в математической системе Мар!е У. Анимационные возможности этой системы делают решение наглядным, позволяя глубже понять суть задачи. Методы решения задачи кинематики плоского движения разнообразны. Выбрать оптимальный путь, который может существенно упростить решение, помогут примеры, приведенные в этой главе.
8.1. Скорости точек многозвенного механизма ПОстАнОвкА злдАчи. Плоский многозвснный механизм, с одной степенью свободы н ходится в движении. Известна угловая скорость какого-либо его звена или скорость одной из точек механизма. Найти скорости точек механизма и угловыс скорости его звеньев. ПдАН Рншиния Рассмотрим два простых геометрических способа решения задачи, в которых, в отличие от аналитических методов Я 8.3, 8.5), определяются модули скоростей и угловых скоростей. Не оговаривая отдельно, всякий раз под угловой скоростью ы будем подразумевать ее модуль Ц. 1-й способ.
Мгновенные центры скоростей 1. Определяем положение мгновенного пентра скоростей (МЦС) каждого звена. МЦС лежит на пересечении перпендикуляров, про- 8.1. Скорости точек многогвенного механизма 159 веденных к скоростям точек, принадлежащих звену (рис. 85). У тех звеньев, у которых МЦС не существует (скорости двух точек параллельны и не перпендикулярны отрезку, их соединяющему), угловая скорость равна нулю, а скорости всех точек равны.
Если векторы скоростей перпендикулярны отрезку их соединяющему, то имеют место два частных случая положения МЦС (рис. 86, 87). Если тело (колесо, диск, цилиндр) катится по поверхности без проскальзывания, то МЦС этого тела находится в точке касания. 2. Для каждого звена определяем расстояния от его гочек до МЦС этого звена. ов Рлв А В ов — оА ылв Рис. 87 Рис. 86 Рис. 85 3. Записываем систему уравнений для скоростей дс точек звена й включая точку с известной скоростью: Здесь ые угловая скорость звена й Ве, расстояние от МЦС звена 1 до точки к.
Решаем систему, определяем угловую скорость звена, а затем скорости всех его точек. Этот пункт плана выполняем последовательно для всех звеньев механизма. Очередное звено должно иметь общую точку (шарнир) с предыдущим, для которого угловая скорость найдена или известна.
2-й способ. План скоростей 1. Как и в методе МЦС ведем расчет, переходя от одного звена к другому, шарнирно с ним соединенному. Построение начинаем с вектора, величина и направление которого известны или легко вычисляются. Этот вектор в заданном масштабе откладываем от некоторой произвольной точки О (рис. 91). Его конец определяет первую точку плана скоростей.
Точку плана скоростей (конец вектора) отмечаем строчной буквой, соответствующей точке вектора скорости. Пусть первая точка плана скоростей обозначена как Ь. 2. Рассматриваем очередное звено, на котором имеется точка с уже известной скоростью. Необходимо, чтобы на этом звене была Гл.8. Плоское движение тела 160 еще одна точка с известным направлением вектора скорости (например, ползун или точка звена, совершающего вращательное движение). Пусть эта точка обозначена как С 1рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
