Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 17
Текст из файла (страница 17)
5. Декартовы х, у и полярные координаты р, 1о связаны соотноше- ниями х = рсов1о, р = рв1п1о. (3) Дифференцируя (3), вычисляем компоненты скорости точки в декар- товых координатах: и, = и сов 1о — и в1п1о, о = и в1п'р + н совф. у Р И', = И' сов со — И' вш со, И'„= И' вш1о+ И' сову. 11. Делаем проверку, вычисляя модуль ускорения по декартовым компонентам: И' = И'~ + И'„-'.
12. Находим модуль тангенциального ускорения,: ~ю,ИР + иуИР„~ х х у у и проверяем его по формуле ~и И'о+ и И' ~И'.~ = рз.а ..р -,. р. ° Ив=,й-ит Примяв. Задан закон движения точки в полярных координатах: р =св1п131), ~р (4) 10 М.Н.Кирсанов 6. Делаем проверку, вычисляя модуль скорости по декартовым компонентам: и = ~из + и„'. 7. Дифференцируя (2), находим вторые производные полярного радиуса р и полярного угла: р' = Й~р!Рй~, 1о = дйфй1з. 8. Вычисляем компоненты ускорения точки в полярных координатах: И' = р' — р~рз, И' = р1о+ 2рф.
9. Модуль ускорения вычисляем по формуле И' = Ихз + И'з. 10. Вычисляем компоненты ускорения точки в декартовых координатах, дважды дифференцируя (3): Гл. 6. Кинематика точки 146 Найти скорость и ускорение точки в полярных, декартовых и естес- твенных координатах при 1 = 1 с. Радиус дан в метрах. РЕШЕНИЕ 1. Вычисляем полярныс координаты точки в заданный момент времени *): р = 1 яцД1) = 0.141, у2 = 1. 2. Дифференцируя (4) по времени 1, находим производные полярного радиуса р и полярного угла: р = я1п(31) + 31 соя(31), 1о = 312. (5) При 1 = 1 имеем р = — 2.829, ф = 3. 3. Вычисляем компоненты скорости в полярных координатах: и = р = — 2.829 м/с, и = дул = 0.141 3 = 0.423 м/с.
4. Вычисляем модуль скорости: и = Я, + оз = 2.860 м,1с. 5. Вычисляем компоненты скорости в декартовых координатах; и = и соя 12 — и я1п 12 = — 1.885 м/с, и„= и я1п~д+ и соя1о = — 2.152 м/с. 6. Делаем проверку, вычисляя модуль скорости по декартовым компонентам: Ч „= '1.Н85 -';2А12 = 2860 ! . 7. Дифференцируя (5), находим вторые производные полярного ра- диуса р и полярного угла: р' = с1йр)с11' = 6 соя(31) — 91 яш(31), 15= 1'д/11'=61 При 1 = 1 получаем р' = — 7.210, 1о = 6.
8. Вычисляем компоненты ускорения в полярных координатах: И' = р' — рр~ = — 8.480 м/с, И' = р15+ 2р.р = — 16.126 м/с . 9. Определяем модуль ускорения: И' = Ъ~~ + И'2 = 18.220 м/с . 2 *1 Аргументы тригонометрических функций измеряются в радианах. 6.5, Движение точки в полярнь х координатах 147 10. Находим компоненты ускорения в декартовых координатах: И', = И' сов ~р — И' вш ~р = 8.988 м,1с, И' = И' сйп ьо+ И' сов ~р = — 15.849 м/с . 11.
Делаем проверку, вычисляя модуль ускорения по декартовым компонентам: и' = Чрн - ч' = ь.ррр р и.849 = 18.22 ° / 12. Находим модуль касательного ускорения, (ь,И', + в„И„( )И' ( = — *-* — —" — "— = 6.000 м/с, р Ю и проверяем его по формуле ~прИр+ п„,И'„~ ~2.829 8.48 — 0.423 16.126~ — — — 6.000 м/с . Ю 2.86 13. Вычисляем нормальное ускорение н =Ьк Ф =1ьрь~ / Ответы заносим в таблицу (скорости — в м/с, ускорения м/с ): вр о„в о, оя ИРр И' ИР И' ИР„ИР И'„ -2.83~0.42 2.86 -1.88 -2.15 -8.48 -16.13 18.22 8.99 -15.85 6.0 17.20 Условия зАдАч. Задан затон движения точки в полярных координатах: р = р11) (в метрах), ур = уЯ.
В указанный момент времени найти скорость и ускорение точки в полярнь х, декартовых и естественных координатах* ) . О Все кривые, заданные в условиях задач, являются классическими, имеют свои названия и описаны в справочной литературе )4, 31.3). 10" р = 2211 — Ю1)')/1, ьо = атосов(1/11), 1 = 9 с. 2. р = 16совз1я1/14), 1о = сове(я1/14), 1 = 10 с. Гл. 6. Кинемагаика точки 4. р = 10е — '77 1о = еч ', 1 = 2 с.
3. р = 23Д1 + 21), ~р = атосов(1/2), 1 = 1 с. 6. р = 7(1/8+ 0.5) 1о = (1/8+ 0.5) а, 1 = 4 с. 5. р = 6+ 6182(к1/10), 1о = сова(к1/10), 1 = 3 с. 7 р 8е1 24 1о = 1/3, 1 = 5 с. 8. р = 80/1+ 10, ~р = агссоа(1/10), 1 = 6 с. 9. р = 51/4+ 8, 1о = агссов(1/8), 1 = 7 с. 10. р = 11 сов(1/10) + 12, ~р=1710, 1=8с. Ответы и~ ~ и и иу Р Р м м/с м,1с рад/с рад 3~ 047 6~ 376 3 , '6.76 3 ! 1.79 9 ~ ~15.89 3 ~ 3.71 8 ~ ~3.31 2~ 367 2~ 450 7) 2.12 0.81 — 0.45 6.22 3.50 7.67 — 5.11 7.51 — 1,07 17.37 15.02 7.00 — 2.63 9.85 0.41 23.33 -2.22 16.75 1.25 19.66 -0.79 — 0.45 3.50 — 5.11 — 1.07 15.02 — 2.63 0.41 — 2.22 1.25 — 0.79 — 0.37 2.59 — 6.64 — 0.70 0.20 — 0.79 0.09 — 3.53 — 3.18 0.80 и, и; и~ и~.
и~„~и~„йр„ Р Ф ;::1-':: 0.24 0.17 22.78 22.78 1.35 1.28 1.11 — О. 17 0.47 0230 2.89 0.31 0.32 — 0.08 .'~~1 ',~,' -0.12 — 0.20 21.36 — 7.92 0.33 — 1.31 — 1.08 0.27 0.38 0.28 — 1.12 — 2.66 — 0.27 ! — 0.16 1 2 3 4 5 6 7 8 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 м/с 0.06 0.36 6.81 0.15 22.91 1.31 0.02 0.74 — 0.00 — 0.08 рад/с — 0.04 0.02 — 0.19 0.03 0.06 0.09 0.00 — 0.01 — 0.12 0.00 0.61 0.39 1.05 1.33 0.35 1.00 1.67 0.93 0.51 0.80 — 0.16 0.22 — 0.58 0.19 — 0.30 0.38 0.33 — 0.13 — 0.26 0.10 О. 12 1.57 5.90 --0.16 — О. 21 — 0.43 — 1.
10 0.47 — 2.87 — 0.31 — 0.30 2.72 1.28 — 1.64 15.89 — 3.63 — 3.31 1.00 3.19 — 1.96 0.07 0.66 6.12 0.09 22.77 1.16 0.14 0.45 2.25 0.04 0.10 1.54 0.56 0.22 0.51 0.70 1.10 0.13 1.81 0.31 Глава 7 ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА При изучении темы ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА вы научитесь решать простые задачи кинематики тела. В таких задачах вводятся векторные величины — угловая скорость а! и угловое ускорение е. Важно понять, что для вращательного движения тела зти векторы постоянно направлены по оси вращения.
При сферическом движении Я 10.1) векторы угловой скорости и углового ускорения могут лежать на разных прямых, и направления их в общем случае зависят от времени. 7.1. Вращательное движение тела постяновкА зАЛАчи. твердое тело враилается вокруг неподвижной оси. Заданы некоторые кинематические характеристики движения тело, и (или) кинематические характеристики движения точки этого тела. Найти остальные кинематические характеристики движения тела или точки. ПлАн Ргн!Ри!Ия Пусть тело вращается вокруг оси х.
Кинематические характеристики движения тела: — угол поворота ~р; — угловая скорость а!, = со; — угловое ускорение е, = ф = !о,. Кинематические характеристики точки на теле: — радиус траектории (расстояние до оси вращения) Н; -- скорость и = ыН, где ы = ~а~,~; — — ускорение И' = Ну'ю4 + ез,где е = ~е,~. 1. Записываем систему уравнений для всех величин, входящих в условие задачи. В зависимости от условия возможны три основных варианта решения. Гл. 7. Вращательное движение тела 150 — Неизвестный закон вращения. Записываем систему двух уравнений для скорости е точки, лежащей на расстоянии Л от оси вращения,и ее ускорения И'.
и = щЛ, И =Лъ/„4+е2 Для решения задачи необходимо, чтобы три из пяти величин (Л, щ И', ы,, г,), входящих в (1), были заданы в условии. — Вращение с постоянной угловой скоростью. Интегрируя уравнение ьл, = д1о/Ж, при ьл, = сопв1, получаем (2) Как правило, отсчет ведется от у = О, поэтому в системе трех уравнений (1 — 2) содержатся семь величин Л, и, И', ы„ 1, ~з, е„четыре из которых должны быть заданы в условии задачи. — Вращение с постоянным угловым ускорением. Дважды интегрируя уравнение Аl, е еМ а1а ' получаем, при дв —— О, ы, = г,1+и„, 1е = г,1 /2+ еолье, где ы — начальная угловая скорость.
Совместно с (1) ло получаем систему четырех уравнений для восьми величин Л, и, И', ьл„г„1о, 1, ог,, четыре из которых должны быть ло' заданы в условии задачи. 2. Решаем систему. Находим искомые величины. Зямичлииг., Ряд величин задан в тексте задач неявно. Например, угол поворота 1о может быть задан числом оборотов и = 1оД2я). Слова 'покой" и "остановка" соответствуют математической записи ы, = О. 7.1.
Вращательное движение тела Рг.шниик 1. В задаче задано постоянное угловое ускорение. Записываем систему уравнений для величин, входящих в условие задачи: И' = В~/~~ + ез а~, = е,?+ьо, . (4) По условию задачи диск в начальный момент находился в покое, следовательно, ы, = О. Кроме того, при 1 = 7 с, даны значения?? = 4 см, 2 е, = 0.02 рад,?с . Решая систему двух уравнений (4) с двумя неизвестными ы, и И', находим ы, = 0.02 7 = 0.14 рад?'с, н'=р ьтр -';0.02 = ° .П2 . / Ответ. И" = 0.112 см?с . УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 1.
Диск вращается вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением 0.01 рад?с . На каком расстоянии от оси вращения нахо- дится точка, ускорение которой через 100 с после начала движения из состояния покоя достигает 2 см,?с 7 2. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по произвольному закону ьо = 1о(1). В момент, когда угловое ускорение тела равно 2 рад?'сз, известно ускорение точки, лежащей на расстоянии 4 см от оси, И' =12 см?сз. Чему равна в этот момент угловая скорость тела? 3.
Колесо вращается вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением. На каком расстоянии от оси вращения находится точка, ускорение которой через 4 с после начала вращения из состояния по- коя достигает 9 см?'сз, а угловая скорость — 0.3 рад?'с? 4. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением. Через 34 с после начала движения ускорение точки ЛХ, лежащей на расстоянии 8 см от оси, достигает 39 см/сз. Сколько оборотов сделает тело за это время". ПВИМВВ.
Диск вращается вокруг неподвижной оси с постоянным 2 угловым ускорением 0.02 рад?с . Найти ускорение точки, лежащей на расстоянии 4 см от оси вращения, через 7 с после начала движения из состояния покоя. Гл. 7. Вращательное движение тела 152 5. Вращаясь с постоянным угловым ускорением, диск радиусом Л = = 6 см делает 50 оборотов за 250 с после начала движения из состояния покоя. Найти скорость точки, лежащей на его ободе, в этот момент. 6. Вращаясь с постоянной угловой скоростью, диск радиусом Л = = 16 см делает 60 оборотов за 36 с после начала движения из состояния покоя. Найти скорость точки, лежащей на его ободе, в этот момент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
