Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Скорость точки А тела при плоском движении вычисляют через известную скорость какой-либо точки В того же тела, принимаемой за полюс (рис. 81): бв — — е, + пв,, бвд — — е~, х АВ. Для расчета скоростей точек многозвенного механизма, каждое звено которого совершает плоское движение, формулу (1) применяют последовательно для всех точек, переходя от одной точки, принимаемой за полюс, к другой.
Схему вычислений в этом случае удобно записывать в виде структурных формул (графов ~15]) (2) где над стрелкой указан номер тела или наименование стержня, которому принадлежат точки, а снизу — угол р между осью т и вектором АВ. В проекциях на оси т, р граф (2) дает уравнения еве = пля АВю„в1прм евв — — нлл т АВ~о1 совсем где м, — проекция угловой скорости тела 1 на ось я, перпендикулярную плоскости движения* .
Если вращение происходит против часовой стрелки, то ю, = ~ю ~, а если — по часовой стрелке, то ю1, = -~ы1 . Ускорения точек тела при плоском движении связаны формулой И'и — — И'л + е х АВ + ю х евл. (4) М Правило "трех С" для запоминания формулы (3): в первом уравнении (проекции на ось л) "икС", "минуС", 'синуС". Глава 6 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ При изучении темы КИПЕМАТИКА ТОЧКИ вы познакомитесь с простейшими понятиями кинематики.
Этот раздел теоретической механики наиболее близко примыкает к математике. Умение дифференцировать и понимать смысл найденных производных — необходимые условия для освоения этой темы. Проверить и "оживить" решение задачи 3 6.1 можно с помощью программы, написанной для математической системы Мар1е У Я 16.1, с. 358). Аналогичная программа содержится в ~13]. 6.1. Движение точки в плоскости ПОстАнОвкА зАдАчи. Точка движется по закону х = х(г), у = у(с). Дяя заданноео момента времени найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории.
ПлАн Решения 1. Определяем траекторию движения точки, исключая 1 из закона движения (Ц. 2. Дифференцируя (1) по времени 1, находим проекции скорости точки на оси х, у: (2) и =х и =у. в 3. Модуль скорости вычисляем по формуле о = Я + из. 4. Дифференцируя (2), находим компоненты вектора ускорения И',=и,=х, И', =и =у. 5. Определяем модуль ускорения И' = И'.з + И"з. 6.
Вычисляем тангенциальное (касательное) ускорение. Дифференцируя скорость и = Яз+ оз, как сложную функцию времени, Гл. 6. Кинематика точки 132 получаем ~и,И' + ю„И'„~ ~И ~ = -'--*- — * — -- —" — ". Ю Г В ..- ..р -. н„р.. В„=,'Ю' — К,'. 8. Нормальное ускорение зависит от скорости точки и радиуса кривизны траектории: Отсюда находим радиус кривизны Пгимег. Точка движется по закону (3) х = Зьйп21, у = 2сов41.
Для момента времени 1 = 1 = т!12 найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории. Координаты х,у даны в см, время — в с. РЕШЕНИЕ 1. Определяем траекторию движения точки, исключая 1 из закона движения 13). Параметрическим представлением траектории является сам закон движения (3). Координатную форму уравнения движения точки получаем, исключая из закона движения (3) время: у = 2(1 — 2вй1~21) = 2(1 — 21х/3) ) = 2 — 4хз/9. (4) Для того, чтобы окончательно получить ответ на вопрос о траектории, необходимо еще выделить область определения функции (4). Не все точки кривой, определяемой этой функцией, являются точками траектория. Прн 0 < 1 < н,14 нмесм (5) 0<х<З, *1 Эту же формулу можно вывести иначе, исходя из того, что величина 11" равна проекции ускорения на касательную к траектории: (И' ( = )Й' и/е~ ~— — )и, И'в 4- ивИ~„(/и. 133 6.1.
Движении точки в плоскости т.е. траекторией является правая ветвь параболы (4) (рис. 82). График строим по точкам (отмечены звездочками), через равные промежутки времени 0.1 с. 2. Дифференцируя (3) по времени 1, находим проекции скорости точки на оси х, у; (6) и, = х = 6 соз 21, о„= у = — 8 сйп 41. При 1 = я,г12 имеем следующие численные значения компонентов ско- рости: о, = 6 сов(пгг6) = ЗъгЗ = 5.196 смггс, о„= — 8 вш(х/3) = — 4~13 = — 6.928 смгс. 3. Модуль скорости вычисляем по формуле (7) и = 11юз + из = бьгЗ = 8.66 смГс.
Вектор скорости о строим на рисунке в масштабе по известным компонентам и и и„. Коли в вычислениях нет ошибок, то вектор скорости будет направлен по касательной к траектории (рис. 82). 4. Дифференцируя (6), находим компоненты вектора ускорения: И', = б, = х = — 12вш21, И'„= гг„= у = — 32 соз 41. При 1 = к,Г12 И' = — 12яшя/6 = — 6 см/с, И'„= — 32совп/3 = — 16 см,гс . 5. Определяем модуль ускорения и'=Го„го= '212=1ге88 Г Вектор ускорения строим на чертеже в масштабе ускорений (не обязательно совпадающем с масштабом скоростей).
Вектор ускорения направлен внутрь вогпутости кривой. 6. Вычисляем тангенциальное ускорение *): — = — = 9.2 см/с . Зъ 3( — 6) + ( — 4Л)( — 16)~ 46 5чГЗ 5 О Наличие тавгенциальиого ускорения точки видно уже из рис. 82. Расстояние между первыми двумя точками меньше, чем между двумя последними, хотя интервал времени одинаков. Характеристикой такого изменения является величина И'„ =-о . Гл. 6. Кинематика точки 134 7.
Вычисляем нормальное ускорение: И' = ~ в — Ю = 1 292 — вгп)' = 72/г = 14г / 8. Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки: ог 75 5 В= = = 5.208 см. 72 20 г с 1.5 1.0 0.5 Рис. 82 Центр кривизны траектории лежит на нормали к кривой на расстоянии Л = 5.208 см внутри вогнутости кривой. Окружность радиусом Л с центром в этой точке максимально близко совпадет с кривой в малой окрестности от нее.
5'словия злдлч. Точка движется по закону х = х(1), у = у(1). Длл момента времени 1 = 1 найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории (х и у даны в см, 1 — в с ). 6.1. Движение точки в плоскости 135 2. х = 100гг(1+ 2), у = Р— 100)Д1 + 2)в, 1 =2. 1. х = 2в1п(21), у = 3+ 3 сов(41), 1 = к/12.
3. х=4ет+5, у = ем/4, 1, = 0.3. 4. х = 241Д1+ 1 ), у = 2412Д1+ гв), 1 = 0.4. 5. х = 6(21 — ибп(21)), у = 6(1 — сов(21)), 1, = 5к/12. 6. х = 16Д1+ 2), у = (40 — 601)Д1+ 2)в, 1, = 0.6. 8. х = (45,г1еег + 1) + 1)г9, у = ея 1г = 0.08. 7. х = (100г(йл + 1) + 1)г8, 14 1 = 1.1. 10.
х = 11яп(31), у = 21 сов(31) + 12, =5 /9. 9. х = 11 сов(21)(1+ сов(21)), у = 11яп(21)(1+ сов(21)), 1 = к,г12. Ответы и„( и„о И~, И „И 14. И~„ см/с смггс см — 4.00 — 24.00 21.50 — 3.85 — 2.36 13.28~ 22.16~ — 20.78 8.28 0.71 6,47 41.16 23.18 2.95 31.38 -12.97 6.21 — 7.95 — 9.37 20.69 28.01 127.50 109.42 14.52 25.33 37.30 -98.21 —.94.50 -11.39 -65.64 10 3.46 -10.39 — 6.25) 3.13 14.58~ 3.32 18.49~ 16.42 22.39~ 6.00 — 2.37 — 3.68 -10.96 5.32 — 6.01' 7.46 — 30.05) 30.05 16.50) 54.56 10.95 6.99 14.95 24. 72 23.18 4.37 12.19 9.58 42.50 57.00 3.
13 29, 15 — 37.03 12.00 1,82 17.47 5.93 — 82.11 85. 74 24.33 3.92 32.04 43.15 24.00 8.48 22. 72 37.76 128.01 127.60 10.54 68.51 34.52 14.85 23.18 6.48 7.17 3.27 14,17 29.69 Гл. 6. Кинематика точки 136 6.2. Путь, пройденный точкой ПОстАнОВкА ВАдлчи. Точка движетсл по закону х = х11), у = у(1). Определить длину пути, пройденного точкой за время 1 . ПлАн гкшнния 1. Дифференцируя (1) по времени 1, находим проекции скорости точки наосих,у: и =х, и =у.
а и 2. Считая, что время отсчитывается от нуля, находим длину пути 1 . из+ издй Ч о Пгимкг. Точка движется по закону (2) х — аг, у — ЬЬ, где а = 3 м/с, Ь = 2 м/сг. Определить длину пути, пройденного точкой за время 1 = 1 с. РГИНВНИГ, 1. Дифференцируя (2) по времени 1, находим проекции скорости точки на оси х,у: и =х=а, и„=у=2ЬЬ. 2. Считая, что время отсчитывается от нуля, находим длину пути: я = 1' г ~- 4Ре е = о =(1п)(2Й,ч .Ьье '-( л)ь(еч,+ 'згееч )). Подставляя числовые значения 1 = 1 = 1 с, а = 3 м/с, Ь = 2 м/сг, получаем Я = 5/2+ (9/8) 1п3 = 3.736 м.
Условия ВАЛАч. Точка движется по закону х = х(г),у = у(1). Определить длину пути, пройденного гаечкой за время 1 (х и у даны ем,1 — в с). О Интегрирование функций см. Решебник ВМ, Ь7.1 — 8.6. 6.3. Движение точки в пространстве 137 1. х = 2вш1е'), у = 2 сов(ее) + 2, 11 = 1. 1, = 0.4. 5. х = 31п(1+ 1), у = з(1 + 1), 11 — — 1. 7. х = (41+ 3)Д1+ 4), у = (51+ 4) Д1+ 4), = 3. 9. х = 1зв|п(1з) +2, у =1з сов(1~) + 3, 1 =1. Ответы 1. ЗА37 м. 2.
3.116 и. 3. 0.405 м. 4. 0.488 м. 5. 3.666 м. 6. 1А51 м. 7. 2.209 м. 8. 6.498 м. 9. 1.148 м. 10. 1.884 м. 6.3. Движение точки в пространстве ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Томка движется ио закону х = х(1), у = у(с), е = е1с). Опредеяить скорость, ускорение точки и радиус кривизны траек- тории в заданный момент времени. ПЛАН РЕШЮ1ИЯ 1. Дифференцируя (1) по времени 1, находим проекции скорости точки на оси х, у и е: (2) 3 х 91з у = 121з, Х = 0.3. 2. х = 21п(1+ 1), у = Зи')+1, 11 = 2.
4. х=31~+5 312 6. х = (31з + 2)/(1з + 3), у = (21' + ЗИю' -1 з), = 2. 8. х = 1в1п(31) + 5, у = 1 сов(31), 1 =2. 10. х = 1з сов(31з + 2), у = 1з вш(31з+ 2), 1 =1. Гл, 6. Кинематика точки 138 2. Вычисляем модуль скорости и = иг + иг + иг. 3. Дифференцируя (2), находим компоненты вектора ускорения: И,=и,=х, И'„=ю„=у, И",=и,= 4. Определяем модуль ускорения И' = И'г + И'г -~- И",г". 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
