Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Вычисляем модуль тангенцивльного ускорения: (и, И; + и„И"„+ и, И; ( ~И' ( =- и е. в . р - к р. ° к„=,ае' — щ. 7. Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки: Л = и~/И; . ПРИМЕР. Точка движется по закону (3) х = Ав1пке, у = Асовке, з = В1, где А = 3 см, й = 2 рад/с, В = 8 см/с. При 1 = 1, = я/3 с найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны ее траектории. РЕШЕНИЕ 1. Дифференцируя (3) по времени 1, находим проекции скорости точки на оси х, у и ьц и, = х = Айсовй, и„= у = — Алешке, и, = й = В.
(4) 2. Вычисляем модуль скорости 3. Дифференцируя (4), находим компоненты вектора ускорения: И', = х = — Ай~ вш я1, И'„= у = — А1ег сов 1е1„И~ = й = О. 4. Определяем модуль ускорения; Ие Иег+ И г+ И г ~ьг 5. Вычисляем модуль тангенцияльного ускорения: ~ И'„~— — Аг 1з в1п Ы сов 1е1 -ь Агав сов Ь1 в1п 1е1 — О. ,„/ГАй)г + Вг 6,3. Движение точки в пространстве 139 6. Вычисляем нормальное ускорение: н'.
= чи Щ= ~ь'. 7. Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки; иа (Ай)з + Вз И' Акз Радиус кривизны в данной задаче не зависит от времени. Кривая представляет собой винтовую линию постоянной кривизны. Получаем значения искомых величин при С = кС'3: и = 10 см/с, И' = 12 смсс, 11 = 8.333 см. Ответы занесем в таблицу (скорости — в см,сс, ускорения — в см,Сс, радиус кривизны — в см): УСлОвия задач.
Точка движется по закону х = хСС),у = у(С), с = с(С). Определить скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории при С = С (х,у и е даны в см, С и С вЂ” в с). 1 — сйп4С+ 2С, у = 12е С „х = — ейп 4С вЂ” 2С, С = 0.1. е 2 1 2 $/3 2С+ 3' 2С+ 3' , у =, х = 13ед, С = 0 2, г 1 5(С+ 1)зСео, у = — вш~ 8С вЂ” 4С, е = — вш8С+ 4С С = 0 3, 2 ' 2 1 8 5 д'44+ 5, у = — вш4С+ 5С, е =, С = 0.4.
2 С+ 2' 5. х = 51п(ЗС+ 2), у = 16еьСз е = 7(С+ 1)'Сь, С = 0.5. 6. х = ЗС~+ ЗС+ 2, у = 21п(2С+ 2), х = 13е'~~, С, = 0.2. 7. х = — вш~ 4С вЂ” 4С, у = С~ + 4С + 4, = 3 1п (4С + 2), С = 0.3. 2 Гл. 6. Кинематика точки 140 6 8. х = 41+ — сов 61, у = 2 21+3 9. х = — сйп81 + 51, у = 15е 7, 1 4 2 , г = 21~ + 31 + 3, 1 = 0.2. г = 6(1 + 1)ч ~~, 1 = 0.4. 10. х =12еиг у = 3(С-ь 1)г7го г = 31+ — сояг81, 1 = 0,1, 4 Ответы см/с см/с см 6.4.
Естественный способ задания движения точки Постлновкд ЗАЛАчи. Точка движется по плоской кривой у = у(х) с постоянной скоростью о. Определить ускорение точки, радиус кривизны траектории и косинус уела наклона касательной к траектории с осью ох, при заданном значении т. ПлАн вишнния 1. Находим зависимость между компонентами скорости. Диффереицируя (1) по 1, используя правило дифференцирования сложной функции у(х(1)), получаем и =у=ух=ус„ (2) 1 2 3 5 6 7 8 9 10 3. 84 — 1.04 1.25 3.89 4.29 4.20 — 2.65 1.97 1.01 6.31 6.31 — 1.04 — 7.98 4.94 6.30 1.67 4.60 — 1.04 4.14 0.28 — О. 57 4.63 1.05 — 1.39 1.01 3.42 3.
75 3.80 1.42 1.00 7,41 4.86 8.15 6 44 7.69 5.66 6.50 4.41 4.50 6.39 -3.12 3.15 1.22 1.22 -0.67 5.60 — 1.18 — 8.00 -3.67 2.10 6.00 — 1.39 -11.80 2.00 26.55 1,22 1.87 1.04 3.15 — 0.23 11.15 1.54 -21.61 1.16 — 0.54 0.85 — 4.69 4.00 — 0.71 0.93 12.00 2.32 22.34 8.17 4.27 6.22 12.85 26.87 2.25 3.30 0.22 0.95 — 8.38 — 7.10 — 0.40 4.55 3.52 15.05 1.15 3,25 11.99 2.
11 20.71 4.04 4.25 4.23 12.36 22.26 1.94 0.56 4.57 11.17 3.21 10.27 13.91 7.58 3.42 0.87 10.44 72.54 6.4. Естественный способ эаданил движения тонни 141 где штрихом обозначена производная по координате, у' = е1у/йх, а точкой, как всегда, по времени, х = Ых/Ж. 2. Дополняя (2) уравнением из + из = оз, получаем систему уравнений, из которой находим ком1юненты скорости и и и . и' 3. Находим косинус угла наклона касательной к траектории с осью ох: соеее = осею 4. Находим зависимость между компонентами ускорения.
Дифференцируя (2) по 1, получаем ! И' = — я+ух=у х +УИ', дус ! с1е (3) где ун = Й ед(Йх . 5. Так как по условию о = сопе1, то тангенциальное ускорение равно нулю. Отсюда получаем уравнение и,И', + о„И'„ (Ие = ' * "" =О, оз которое совместно с (3) дает систему для определения проекций ускорения. Решаем систему и находим И'„и И'„. 6. Вычисляем модуль ускорения И' = И".з + И'з. 7.
Согласно п.5, тангенциальное ускорение равно нулю и нормальр. ° ° °: е„=,/У': ев = н. ~ Иен = и-/Л, находим отсюда радиус кривизны траектории; В=и /И'. Пкимкк. Точка движется по плоской кривой х+1 у = хв1п 3 (4) с постоянной скоростью и = 4 м/с. Определить ускорение точки, ра- диус кривизны траектории и косинус угла касательной к траектории с осью ох при х = 1 м. ии = У = У х = у и (5) Ркшкник 1. Находим зависимость между компонентами скорости. Дифференцируем (4) по К Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем Гл.
6. Кииелеатика точки 142 где х+11' , х+1 х х+1 р'= хяп ) =яп + — сов 3 ) 3 3 3 При х = 1 имеем у' = 0.88 и и„= 0.88и . 2. Дополняя (5) уравнением из + из = из, получаем систему уравнений, из которой находим компоненты скорости и и и: л и и = 3.002 м/с, и„= 2.643 и/с 3. Находим косинус угла касательной к траектории с осью ох: и, 3.002 сова = — * = — — = 0.751. 4. Находим зависимость между компонентами ускорения.
Дифференцируя (5) по 1, получаем л ! И' = — х + и х = у х л- у И', аУ.~и ° 2 е)1 а где 1е, х+1 х х+1'1 2 х+1 х , х+1 у' =)яп + — сов ) = — сов — — я1п 3 3 3 ) 3 3 9 3 При х = 1 м вычисляем уи = 0.455 м ~. С учетом ранее найденной величины х = 3.002, получаем И' = 4.1+ 0.88И',. (6) 5. Из условия и = сопв1 следует, что ~и И' 4 и„И'„~ 1И'.~= ' *," "=О. Решая зто уравнение совместно с (6), находим проекции вектора ускорения: И' = — 2.035 и/с, И'„= 2.312 и/с .
6. Вычисляем модуль ускорения: И'=~% +к =3.080 / 7. Находим радиус кривизны траектории: 2 2 В = = — = 5.195 м. и 6.4. Естественный способ задания движения точки 143 Ответы заносим в таблицу; ЗАмечАние. В механике гибких стержней и сопротивлении материалов для нахождения радиуса кривизны кривой, заданной в форме у = у(х), существует формула 17 (1 + !2)З/2 1 и (7) Решенная задача представляет собой кинематический вывод атой формулы.
Проверку решения можно выполнить, подставив в (7) найденные значения у' и у". Как и следовало ожидать, радиус кривизны траектории Л от скорости движения точки не зависит, как не зависит, например, форма рельсового пути от скорости движения трамвая (если, конечно, не учитывать деформации) . УСЛОВИЯ ЗАДАЧ. Точка движется по плоской кривой у = у(х) с постоянной скоростью и. Определить ускорение точки, радиус кривизны траектории и косинус угла наклона касательной к траектории с осью ох при заданном значении х. х2 х — — + з1п —;, 4 6' 5 м/с, х = 2 м. — 2хз+ 5х+ 3, 1 м/с, х = 1 м. 2.
у= 4. у = Зеь~ь — Зх, 5 1п(х/2 + 1), 5 м/с, х=3м. 3. у= 7м/с, х= 4м. 34 х+2 8 м/с, х = 5 м. Зу'Зх+ 1, 12 м/с, х = 6 м. 5. у= 18 7 х+3 4м/с,х=2м. 7. у= 8. у= з1п(х/3) + 2' Зм/с, х,= 1м. Гл. 6. Кинематика точки 144 х хз 9. у = 4 сов —, + —, 6 5' ю=5м/с,х=Зм. 2 х х 10. у = 3 в|в —, + сов —, 3 '3' и=4м/с,х=4м. Ответы У У сов1о) м7с~ 17м м/с 6.5. Движение точки в полярных координатах ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
Задай закон двилсейия точки в йолярйых координатах: Р=р(1), р= р(1). Найти скорость и ускорение точки в полярных, декартовых и ес- тественных координатах в заданный момент времени. ПЛАН РГШЕНИЯ 1. Вычисляем полярные координаты точки в заданный момент времени: р = РЯ, Р = рЯ. 2.
Дифференцируя 11) по времени 1, находим производные полярного радиуса р и полярного угла: р = др/д1, 15 = др(<~. 3. Вычисляем компоненты скорости в полярных координатах: 12) ир=р, и, =Рр. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 1.000 1.157 1.000 -1.665 -0.694 1.032 — 1.047 0.840 0.880 0.133 -4.000 0.491 -0.200 0.267 0.198 — 0.082 0.404 — 0.336 0.302 — 0.619 0.707 0.707 3.269 3.784 3.536 3.536 3.605 -6.001 6.573 -4.561 8.349 8.619 2.072 -2.169 3.063 2.573 3.
753 3.304 3,965 0.528 0.707 0.654 0.707 0.515 0.822 0.696 0.691 0.766 0.751 0.991 1.000 -2.595 1.250 1.532 4.011 2.839 0.867 1.552 — 2.113 1.274 -1.000 2.242 -1.250 0.920 5.781 — 2.750 0.828 — 1.848 2.400 -9.562 1.414 3.429 1. 768 1. 787 7.037 3.953 1.199 2.413 3. 198 9.646 0.707 7.291 14.142 27.422 9.095 36.430 7.507 6.629 7.818 1.659 6.5, Движение точки в полярна х координатах 145 4. Находим модуль скорости и = Я + юз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
