Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике (1079968), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Данилина системы 242 Кинетическая энергия тела, совершающего плоское движение, внн 'и Т= 2 2 (3) шиз тай (и !Д) зти 2 4 4 (4) 3. Кинетическую энергию системы вычисляем как сумму кинетических энергий отдельных тело Пгнмвг 1. Выразить кинетическую энергию механической системы с одной степенью свободы (рис. 126) через угловую скорость ее. Система состоит из двух однородных цилиндров 1 и 2, радиусом Л, соединенных двухзвенником АВС.
Невесомый стержень АВ жестко Рис. 126 Рис. 127 соединен с цилиндром 1. Массы цилиндров 1 и 2 равны еп и тз, масса однородного стержня ВС вЂ” тз. Качение цилиндра происходит без проскальзывания и сопротивления. На цилиндр 1 действует момент М, к оси С приложена горизонтальная сила Г ~~ . О Условие задачи содержит избыточные данные ЛХ, Е.
Они потребуются в дальнейшем для составления нелинейного уравнения движения этой системы в з 13.5, с. 307. где и — скорость центра масс тела, 1„— момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс. В частности, кинетическая энергия однородного цилиндра, катящегося без проскальзывания по неподвижной плоскости, вычисляется но формуле 12.2. Кинетическая энергия механической системы 243 Ркшкник 1. Составляем кинематические графы системы: А — р — ) С; С- — )Р; С вЂ” рК АВ 3 СП 2 2л — Н н-Н Зн,Г2 Записываем соответствующие им кинематические уравнения в про- екциях на оси х и у (рис.
127): (2) икр Точка К является МЦС цилиндра 2. С учетом кинематических связей ю к Р к р ю я ю я р О Р с р О из с и с т е м ы ( 2 ) п о л У ч а е м выражения скоростей точек С, Р и угловой скорости гсвс,. 3 . 1 Явс = РУ, Рс = 2аФз1пР Рс = — -аФзгпР Рв, = аРсозР. х 2 2 2. Вычисляем кинетическую энергию тел системы. Цилиндр 1 масса которого пгг, а момент инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс,,У = т Л г2, имеет кинетическую энергию 1,~~ ргЛ~гп1 1 2 4 Кинетическая энергия однородного цилиндра 2, катящегося без про- скальзывания по неподвижной поверхности (с. 242), Зхпг'сс .г г г , г 12 = = ЗгпгРс а 4 Кинетическая энергия плоского движения стержня ВС, центр масс которого находится в точке Р, 2 ,г ( г г ) Гагро уВСяВСя Игэ(но*+ рор) 'ПЗ'1 яВС, 2 2 2 24 = т гргагЯО+ япг р).
16" РСх рср— рд и!) р Кх рях — рАВяпгр — яв .ВСяп(2к —. гр), Ряр + АГАВ соз за + Я,,ВС соз(2гг — Р), рсх агвс. СР з1п(я — рг), р,р + ыв,СР соз(.з — аг), рс — а/СЛ 81п(Зкгг2), рср + асЛ сов(ЗяД). 244 Гл. 12. Динамика системы 3. Кинетическую энергию системы вычисляем как сумму кинетических энергий отдельных тел: Т = Т, + Т, +Та = Р (а'(Зт, + та)Яп Р+ т1Л (4+ шва'/б) . Пвимин 2. Однородный диск 1 массой т1 радиусом Л шарнирно соединен в точке А с вертикально движущимся штоком 2 массой т . Рис. 128 Рнс.
129 Диск катится по горизонтальному штоку 3 массой тз без проскальзывания; ОА = а: т = т = тз — — тп. Выразить кинетическую энергию механической системы (рнс. 128) через угловую скоростыр. РЕШЕНИЕ 1 1 1. Составляем кинематнческие графы системы: К вЂ” 10 — -1А, н/2 н 1 К вЂ” 1 О. Записываем соответствующие нм кинематическне уравне- н,'2 ния в проекциях на оси х и у (рис. 129) и, = и, — рЛяп(х/2) — раяп р, ио, — — и — рЛяп(я/2), ил„— — и „+ дЛсов(я/2) + расов1р, и „= и „+ 1рЛсов(х/2). (3) По условию задачи и - = О и и1„— — О. Используя эти соотношения (кннематические связи) получаем иэ (3) и „= 1Расов1Р, и,, = РЛвш~Р, ик, = Р(Л+ав1пР).
(4) 2. Вычисляем кинетическую энергию тел системы. Цилиндр 1, масса которого т„а момент инерции относительно осн вращения 1 = т Лз/2, имеет кинетическую энергию Я 1рз гп ф ф~Л~т хшЛ~т япзр Кинетическая энергия штока 2 — Тз = т из „/2 = (1/2)т.
1р~Л~ совз 1р, кннетическааэнеРгиЯштока3 — Т = т из /2 = тв1Р~(Л+авшР)~12. 12.2. Кинетическая энергия мехинической системы 245 3. Кинетическую энергию системы вычисляем как сумму кинетических энергий отдельных тел: Т = Т, + Т + Та — — 0.5~рот(1.5В + (Ть-~-а взвар) ). Условия задач. Выразить кинетическую энергию механической системы с одной степенью свободы через угловую скорость сз. Все диски (цилиндры) считать однородными. Качение происходит без проскальзывания. Механизм приводится в движение моментом ЛХ.
Кривошип ОА имеет массу ты диск С вЂ” тз, ОА = АВ = = а, массой ползуна В, стержней АВ и ВС пренебречь. Механизм приводится в движение моментом ЛХ. Ползун А считать невесомым, кривошип ОА имеет массу зпн кулиса  — тз, диск Р— тз, ползун С тлп ОА = а. С 4 Шарнирный параллелограмм приводится в движение моментом ЛХ. Спарник АА' считать невесомым, звенья ОА и О'А' имеют одинаковую массу ть Ползун В вместе со стержнем ВС имеет массу тз, масса диска Р— тз, ползуна С вЂ” тм ОА = а, Диск О радиусом В массой тз соединен с невесомым стержнем ОА = а, на конце которого закреплен груз А массой тз.
Груз С имеет массу тз шкив Р— пм. Ся) И2 Гл, 12. Динамика системы 246 Ползун А массой тм скользящий по гладкой вертикальной поверхности, соединен с центром цилиндра О невесомым стержнем АО =- а. Цилиндр О имеет массу тг, диск О— тг, груз С вЂ” т4. Диск О радиусом В, имеющий массу гпм соединен с невесомым стержнем ОА. Механизм приводится в движение моментом М.
Массы дисков С О', О иО таите,ОА=-АВ=-а,мас- '6 сой ползуна В и стержня АВ пренебречь. Механизм приводится в движение моментом и. Кривошип ОА считать невесомым. В шарнире А сосредоточена масса ть Массы дисков С и Π— тг и тг; ОА = АВ = а, массой ползуна В и стержня АВ пренебречь. Механизм приводится в движение моментом М. Кривошип ОА считать невесомым. Ползун А имеет массу тм кулиса  — тг, массы дисков С и Р— тз и тсб ОА =- а. Однородный диск 1 массой тг радиусом В шарнирно соединен в точке А с вертикально движущимся штоком 2 массой пгг. Диск без сопротивления катится по горизонтальному штоку; ОА =- а. К горизонтальному штоку приложена сила г", к диску— момент ЛХ. 12.3.
Теорема об изменении кинетической энергии 247 10 Диск О радиусом Л массой тг соединен с однородным стержнем ОА = а массой тг. Масса диска П вЂ” тз. Массой ползуна и стержня ОС пренебречь. Ответы Чыа /2(тг/3 -~- бтг вгп и). Зыа /2(тг/3+ (тг + Зтз/8+ тз) яп гг). 4 а /2(2тг /3 Л (тг + тз/2 + т4) вш Чг).
Чы/2(В~ (Зтг/2 4- тг -~- тз -~- тл/2) -Р агтг -Р 2йатг яп Вг). фга~/2(тг + ( — тг + Зтг/2+ 2гпз + 4тл) яп гг). ~р~/2(ЗН~тг/2 Ч- (В Ч- 2а яп ф~(тг т Зтз/4)/2). Во~аз/2(тг -Р (2тг т Зтз/2) в|п Чг). вша /2(тг -~- (тг + тз/2 -~- Зтз/2) япг уг). ф~/2(тгй~/2 Р тга + аг(тг — тг) яп р). Чя/2(Зй~тг/2-Р тг(й~ -~- агг1в1пвг -~- а /3) -~-3/8тзН ). 1. Т= 2. Т= 3. Т= 4. Т= 5. Т= 8. Т= 9. Т= 10. Т= 12.3. Теорема об изменении кинетической энергии ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Механическая система, находящаяся в покое, под действиелз внешних сил приходит в двахсеггие. На некогпорое время одно из тел системы перемещается на заданное расстаояние. Найти скорости, приобретенные телами системы.
ПЛАН РЕШЕНИЯ 1. Выражаем кинетическую энергию системы через скорость и, тела, перемещение Н, которого задано. 2. Вычисляем сумму работ сил, приложенных к системе, на заданном перемещении. Перемещения точек приложения сил и углы поворота тел, к которым приложены моменты, выражаем через Н,. 3. Из теоремы об изменении кинетической энергии, Т, — т, ='~ АЗ+~А,'э где к2„1 А', ~„1 А' — работа внешних и внутренних сил, определяем скорость и,. 248 Гл. 12.
Динамика системы Пример. Механизм, состоящий из груза А, блока В и цилиндра С' радиусом В, установлен на неподвижной призме (рис. 130). Под действием сил тяжести из состояния покоя механизм пришел в движение. Даны массы тл — — 50 кг, тв — — 80 кг, тс — — 120 кг, радиусы В = 30 см, г = 10 см, йо — — г/2, угол сл = 75', радиус инерции блока 1 = 15 см, коэффициент трения качения цилиндра о наклонную плоскость 5 = 2 мм, коэффициент трения скольжения груза о горизонтальную поверхность 7" = 0.1. Трения на оси блока В нет.
Ниги, соединялощие блок с грузом и цилиндром, параллельны плоскостям, по которым перемещаются эти тела. Какую скорость развил груз А, переместившись на расстояние Ял — — 1.2 му РЕШЕНИЕ Применяем теорему об изменении кинетической энергии системы (1). Для рассматриваемой системы, состоящей из твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями, работа внутренних сил равна нулю: А' = О.
В начальном положе- э е нии все элементы механизма на- ходились в покое, скорости всех тел были равны нулю, поэтому Т = О. Кинетическая энергия Т„которую получила система после того, как груз переместился вдоль горизонтальной поверхности на расстояние Я , заРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
