Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Окааывается, это отношение стремится к некоторому пределу при Я вЂ” э О, причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориентация контура задается вектором и нормали к плоскости контура, причем направление в связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную величину, которая ведет себя как проекцня некоторого вектора на направление нормали п к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ролюром воля В и обо- 169 Мапштнае поле в вакууме значают символом го( В. Таким обрааом, фВ 61 1)ш = (го(В) я-э Я где справа стоит проекция вектора гоь В на нормаль и.
(6. 24) Итак„э каждой точке векторного поля В имеется вектор гог В, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора гог В определяется тем направлением нормали и площадки Я, при котором достигается максимальное значение величины (6.24), являющееся одновременно модулем вектора гог В. В математике получают выражение для гог В в координатном представлении. Для наших целей важно другое: оказывается, бюрмально гоГ В можно рассматривать как векторное произведение оператора 17 на вектор В, т.
е. как ЧхВ. Мы будем пользоваться последним, более удобным обозначением: оно сраау же позволяет ааписать векторное произведение 1?хВ с помощью определителя: е„е е, (6.25) а7ах 27ау а76з В„ В„ В, ЧхВ= где е„, е„, е — орты осей декартовых координат. Данное выражение справедливо для ротора не только поля В, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля Е. Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора В. Согласно (6.24) уравнение (6,17) можно представить в виде ~В 61 = Ндл я-о Я нли (ЧхВ)„= р ~ . Отсюда 17 х В = )гэ ).
(6.26) Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора В. Видно, что ротор поля В совпадает по направлению с вектором )— плотностью тока в данной точке, а модуль ~7хВ равен р ~. В электростатическом поле циркуляция вектора Е равна нулю, по- этому Глава 6 у х е = О. (6.27) Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, является потенциальным. в противном случае поле является еоленоиальным. Значит, елептроетатичееное поле есть поле потенциальное, маенитное нее иоле — соленоидальное. 5 6.6.
Сила Ампера Закон Ампера. Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Действие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате магнитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу. Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока (электроны в металле, например) равна р. Выделим мысленно элемент объема е(Р' проводника.
В нем находится заряд — носитель тока, равный ре))'. Тогда сила, действующая на элемент сИ' проводника, может быть записана по формуле (6.1) в виде оР = р[иВ[ сП', где и — скорость упорядоченного движения зарядов. Так как ) = рп, то бу =[)В[ ау (6.28) Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (6.8) Зог=1о1 и ое = 1[о),В[, (6.29) где е(1 — вектор„совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника. Формулы (6.28) и (6.29) выражают закон Ампера.
Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным или линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок. Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами Ампера.
Магаатаее воле в вакууме Пример. Сила взаимодействия параллельпых токов. Найти амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода с токами 1, и 1, если расстояние между проводами равно Ь. Расчет силы произведем на единицу длины этой системы. Каждый элемент тока 1 находится в магнитном поле тока 1,. а именно в поле В, = (р /4х)21,/Ь согласно (6.19). Угол между элементом тока 1, и вектором В, прямой, поэтому, как следует из формулы (6.29), ва единицу длины проводника с тоном 1, действует сила Р = 1,В„или ~~о ~~~э (6.30) 4х Ь Для силы, действующей на единицу длины проводника с током 1,, получается, разумеется, то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притягиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и электрическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности проводников. Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, то она может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотношения магнитной и электрической составляющих полной силы (см.
задачу 6. 7). Сила, действующая на контур с током. Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (6.29) как (6.31) где интегрирование проводится по данному контуру с током 1. Если магнитное поле однородно, то вектор В можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла $ 61. Зтот интеграл представляет собой замкнутую цепочку элементарных векторов 61, повтому он равен нулю. Значит, и Г = О, т. е.
результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле. 1тв Глава 6 Коли же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (6.31), вообще говоря, отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения (6.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плоский и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называют элементарным.
Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью мазнишнозо моменгпа р . По определению (6.32) р =18в, где 1 — ток; Я вЂ” площадь, ограниченная контуром„. и — нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 6.1Ц. В магнитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом р . Рис.
6.11 Довольно кропотливый расчет по формуле (6.31) с учетом ма- лости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле: ЭВ р — р ап' (6.33) где р — модуль магнитного момента контура; дЪ|дп — производная вектора В по направлению нормали и или по надравлению вектора р„. Последнее выражение аналогично (1.39) для силы, действующей на электрический диполь в электрическом поле. Магвятяоо полс э вакууме Из формулы (6.33) видно, что, как и в случае электрического диполя: 1) в однородном магнитном поле г = О, ибо дВ/дп = О; 2) направление вектора г, вообще говоря, не совпадает ни с вектором В, ни с вектором р; вектор г совпадает лишь с направлением элементарного приращения вектора В, взятого в направлении векгпора р в месте расположения контура.
Сказанное иллюстрирует рис. 6.12, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока 1с. Здесь же показан и вектор результирующей силы г, которая действуег на контур в каждом случае (полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так). ье — — с фР. 1о р„ ) Ф вЂ” — — ЮР 7=0 ряс. В.13 Если нас интересует проекция силы Е на некоторое направле- ние Х. то достаточно записать выражение (6.33) в проекциях на это направление, и мы получим дВ, г"„= р дп (6.34) где дВ„/дп — проиаводная соответствующей проекции вектора В опять же по направлению нормали и к контуру (или по р„). Пример.
Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент р„, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор р — в направлении вектора В. Выберем положительное направление 174 Глава 6 оси Х, как показано ва рис.
6.13. так кзк в направлении вектора р приращение проекции В„будет отрицательным, та Р < О. Значит. вектор Р направлен влево — в сторону, где В больше. Если же контур с током (и вектор р ) повернуть на 90' так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля В, то в этом положении г = О, а вектор Р будет направлен перпендикулярно оси Х.
причем в ту же сторону, чта н р . $ 6.7. Момент сил, действующих на контур с током Рассмотрим плоский контур с током 1 в однородном магнитном поле В. Выше (см. с. 171) мы выяснили, что результирующая сила (6.31), которая действует на контур с таком в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результирующая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил не зависит от точки О, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так, можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
