Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 28
Текст из файла (страница 28)
По определению, результирующий момент амперовых сил М=ф!г,бр1, (6.35) где г)Р дается формулой (6.29). Если провести расчет по формуле (6.36) — он довольно громоздок и мало интересен, по- атому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как М=(р„В], (6.36) где р — магнитный момент контура с током (для плоского контура р = оп)*. Если виток ие плоский, та егс магиитяый момент р - 1)ЙИ, гле интеграл берется пс псверхиссти Я, аетяиутсй ие контур с током.
Зтст ивтегрел ве зависит ст выбора псверхиссги Я, а зависит только ст ксвтуре, ае кстсрый сиа натянута. 176 Магаегаое поле в вакууме Из (6.36) видно, что момент М амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикулярен как вектору р, так и вектору В. Модуль вектора М равен М = р Ваша, где а — угол между векторами р и В. В тех случаях, когда р Ц В, момент сил М = О, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если р Ц В, то тоже М = О, но такое положение контура является неустойчивым: малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от начального положения.
Пример. Убедимся в справедливости формулы (6.36) на простейшем случае прямоугольного контура с током (рис. 6.14). Рве. 6.14 Кзк видно из данного рисунка, силы, действующие на стороны а, перпендикулярны им и вектору В, поэтому эти силы направлены горизонтально (на рисунке онн не показаны) и стремятся только растянуть (или сжать) контур. Стороны Ь перпендикулярны В, псатому на кюкдую из них действуег сила Г = 1ЬВ. Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор р оказался сонаправленным с вектором В. Стало быть, на контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары а з1п а на 7.
т. е. М = 1ЬВа з1па. Учитывая, что аЬ вЂ” аго площадь, ограниченная контуром, и 1Ьа = р, получим М = р„Вэ1па, что в векторной форме записывается как (6.36). 17В Глаза В В заключение необходимо отметить, что выражение (6.36) справедливо и для неоднородных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточно малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент М можно пренебречь. Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором р )( В) и, кроме того, под действием результирующей силы г втягиваться туда, где индукция В больше. 5 6.8. Работа при перемещении контура с током Когда контур с током находится во внешнем магнитном поле — мы будем предполагать, что оно постоянное, — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а поэтому при перемещении контура зти силы будут совершать работу.
В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током 1, определяется как (6.37) ЬА =16Ф, где 6Ф вЂ” приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении. Доказательство атой формулы проведем в три этапа. 1. Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис. 6.15) с подвижной перемычкой длины 1 находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка.
На перемычку согласно (6.29) действует амперова сила Р = ПВ. При перемещении перемычки вправо на бх эта сила совершает положительную работу (6.38) ЬА = г ох = 1В1ох = 1В63, где ЙЯ вЂ” приращение площади, ограниченной контуром. Для 177 Магиитиоа поле в вакууме определения знака магнитного потока Ф условимся всегда брать нормаль и к поверхности, ограниченной контуром, так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре право- винтовую систему (см.
рис. 6.15). При этом ток 1 будет всегда величиной положительной. Поток же Ф может быть как положительным, так и отрицательным, Но в нашем случае как Ф, так и йФ = В бЯ являются величинами положительными (если бы поле В было направлено на нас или перемычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях йФ < О). Как бы то ни было, в любом из этих случаев выражение (6.38) можно представить в виде (6.37). Рис. 6.16 2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля В. Чтобы убедиться в этом, разложим вектор В на три составляющие: В = В„+ В, + В„. Составляющая В,— вдоль перемычки — параллельна току в ней и поэтому не оказывает на перемычку силового действия. Составляющая „— вдоль перемещения — дает силу, перпендикулярную перемещению, работы она не совершает.
Остается лишь составляющая „— перпендикулярная плоскости, в которой перемещается перемычка. Поэтому в формуле (6.38) вместо В надо брать только В„. Но В„йЯ = бФ, и мы опять приходим к формуле (6.37). 3. Теперь перейдем к рассмотрению любого контура при произвольном перемещении его в постоянном неоднородном магнитном поле (контур может при атом и произвольным образом деформироваться). Разобъем мысленно данный контур на бесконечно малые элементы тока и рассмотрим бесконечно малые перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в котором перемещается каждый элемент тока, можно считать однородным, Для такого перемещения к каждому элементу тока применимо выражение бА = 1сГФ для элементарной работы, где под ЙФ надо понимать вклад в приращение потока сквозь 176 Г аэ Чтобы найти работу амперовых сил при полном перемещении контура с током ат начального положения 1 до конечного 3, достаточно проинтегрировать выражение (6.37): з А= ~16Ф.
(6.39) Если при этом перемещении поддерживать ток 1 постоянным, то А=1(Ф, -Ф), (6.40) где Ф, и Фэ — магнитные потоки сквозь контур в начальном и конечном положениях. гвким образам, работа амперовых сил в этом случае равна произведению силы тока на приращение магнитного потока сквозь контур. Выражение (6.40) дает не только величину, но и знак совершаемой работы. Пример. Плоский контур с током 1 поворачивают в магнитном поле В из положения, при катарам нормаль к контуру в П В, в положение, при катарам в () В (напаминаем, чта направление нормали в связано с направлением тока правилом правого винта).
Площадь, ограниченная контуром, равна Я. Найти рабату амперовых сил при указанном перемещении, считая, что так 1 поддерживается постоянным. Согласно (6. 40) А = 1[ВЯ вЂ” ( — ВЯ)) = 21ВЯ. В данном случае работа А > О, при обратном же повороте АсО, Следует отметить, чта работа (6.40) совершается яе за счет энергии внешнего магнитного поля (ана ве меняется), а за счет источника э. д. с., поддерживающего так в контуре. (На аб этом более подробно будет рассказано в гл. 9.) Задачи 6.1. Непосредственный расчет индукции В. Ток 1 течет по тонкому проводнику, изогнутому, как показано на рис. 6.16.
Найти маг- контур от данного элемента контура. Сложив такие элементар- ные работы для всех элементов контура, снова получим выра- жение (6.37), где бФ есть приращение магнитного потока сквозь весь контур. 179 Магвитиое поле в вакууме нитную индукцию В в точке О.
Необходимые денные указаны на рисунке. Рис. 6.11 Рнс. 6.16 Решение. Искомая величина В = В + В, где  — магнитное поле от прямолинейного участка контура;  — от его криволинейной части. Согласно закону Био — Сезара (см. пример 1 на с. 159) «о В, ('ро/ а ба р,/, = — (бас* 4па сов а, 2па о ~~о г(2п 2ао)н Ро~ ~ 4п а 2па В реаультате В = (п — а, +1бао))го//2па. Полезно убедиться, что при а — > О мы приходим к известному выражению (6.13). 6.2. 'Гонкий провод с изоляцией образует плоскую спираль из большого числа Ж плотно расположенных витков, по которым течет постоянный ток В Радиусы внутреннего и внешнего витков равны а и Ь (рнс. 6.17).
Найти: 1) магнитную индукцию В в центре спирали — точке О; 2) магнитный момент спирали при данном токе. Решение. 1. Вклад в магнитную индукцию от одного витка радиуса г равен согласно (6.13) Глава 6 а от всех витков (2) где ЙФ вЂ” число витков в интервале (г, г + дг). дФ = з)г. К Ь вЂ” а (3) После подстановки (1)и (3) в (2) и последующего интегрирования по г от а до Ь получим п,Х)У , Ь 2(Ь вЂ” а) а 2.
Магнитный момент одного витка радиуса г есть р = Ххг', а всех витков р = ) Рыб№ где ЙФ определяется формулой (3). Ин- тегрирование дает яХЯ Ь вЂ” а~ хХЖ з ю Р = — — = — (а +аЬ+Ь ). Ь вЂ” а 3 3 а в Рве. 6.19 Р блб Поэтому для нахождения поля В в точке О достаточно найти сумму проекций элементарных векторов ЙВ откаждой нити тока на направление вектора В: 6.3, '1ок Х течет по длинному прямому проводнику, имеющему форму желоба с поперечным сечением в виде тонкого полукольца радиусом В (рис, б 13).
Найти магнитную индукцию В на оси О. Решение. Прежде всего выясним, куда направлен вектор В в точке О. Для этого мысленно разобьем весь проводник на элементарные нити с током бХ. Тогда, ясно, что любые две симметричные нити дадут в сумме вектор аВ, направленный вправо (рис. 6,19). Значит, туда же будет направлен и вектор В. Магнитное поле в вакууме 161 Согласно (6.11) о)В = ро 1У/2оой, (2) где б/ - (2/и)йр (см. рис.
6.19). После подстановки (2] в (1) получим я В =, ~ вшор о)ог = )ооо ° Оооо 2коВ коВ о 6.4. Теорема о циркуляции В н принцип суперпозиция. Внутри однородного длинного прямого провода круглого сечения имеется круглая цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода и смещена относительно последней на расстояние 1. По проводу течет постоянный ток плотности 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
