Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Решение. Поверхностная плотность зарядов на проводнике и = 1)„= )) сова. Плотность тока найдем по закону Ома: ) = Е/р. Иэ уравнения непрерывности (5.5) следует, что нормальные составляющие вектора ) равны, а так как в диэлектрике 1„= 0 (тока нет), то и в проводнике 1„= О. Стало быть, вектор ) в проводнике касателен его поверхности. Это же относится н к вектору Е внутри проводника. С другой стороны, из теоремы о циркуляции вектора Е следует, что тангенциальные составляющие его по разные стороны границы раздела одинаковы, а значит, Х = Е, (Ю/ез ) з(п а, где Е, — тангенциальная составляющая поля Е в диэлектрике.
Постеевлый электрический тек Учитывая все зто, получим Е Эз1па / Р сюдр 5.5. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и л толщиной ), и ) с проницаемостями с и с н удельными сопротивлениями р, и р,. Конденсатор находится под постоянным напряжением 1/, причем электрическое поле направлено от слоя 1 к слою Л. Найти поверхностную плотность сторонних зарядов на границе раздела диэлектрических слоев.
Решение. Искомая поверхностная плотность зарядов и = 2)м — 2)м = а а. Е, — е,дЕ, Для определения Е, и Е воспользуемся двумя условиями: из того факта, что /, = / . следУет Е,/Р, - Е /Рэ и, кРоме того, Е,), + + Е,1 = У. Решив два последних уравнения, найдем Е, и Е . Их подстановка в (1) приводит к следующему результату: а = ~эРэ е'Р' з г/ г~ 2)э Отсюда видно, что а = 0 при з,р, = з рэ. 5.6.
Неоднородный проводник. Длинный проводник круглого сечения площадью Я сделан из материала, удельное сопротивление которого зависит только от расстояния г до оси проводника как р = = а/г', где а — постоянная. По проводнику течет ток Е Найти: 1) напряженность Е поля в проводнике; 2) сопротивление единицы длины проводника. Решение. 1. Напряженность Е поля по закону Ома связана с плотностью тока /, а / — с током 1, поэтому можно записать .Г = с~ /2лгдг = ~ (Е/Р) 2птг)г. Напряженность Е одинакова во всех точках сечения данного проводника, т. е.
не зависит от г. В этом легко убедиться, взяв прямоугольный контур внутри проводника так, чтобы одна сторона контура совпадала, например, с осью проводника, н затем применив к этому контуру теорему о циркуляции вектора Е. Глава 5 15О Таким образом. Е можно вынести из-под интеграла и мы получим в результате интегрирования Е = 2ла1/Я~. 2. Сопротивление единицы длины проводника можно определить с помощью формулы В = У/1.
Поделив обе части этого равенства на ллину 1 участка проводника, к которому относятся В и К найдем В = Е/1 = 2иа/Я~. 5,7. Закон Ома для неоднородного участка цепи. В схеме (рис. 5.14) известны э. д. с. Ь' и Ез источников, сопротивления В и В, а также емкость С конденсатора. Внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы. Найти заряд на обкладке 1 конденсатора. Рис, 5.14 Решение. В соответствии с законом Ома для замкнутой цепи, содержащей сопротивления В и В, запишем (В+ Вь)1 = Š— Еь, где положительное направление выбрано по часовой стрелке.
С другой стороны, для неоднородного участка аВЬ цепи В1 = ьр ьрь + о а для участка аСЬ е+ ьрь 'р! = Рь ьр„° Решив совместно зти три уравнения, получим В % ьр2 (Ь ЕО)' Постоянный электрический ток 1б1 Заряд на обкладке 1 определяется Формулой д, - С(<р, — ф ). Поэтому окончательный результат Видно, что прн 6 > 6 заряд д, > О, и наоборот.
8.8. Работа источника э. д. с. Стеклянная пластина целиком заполняет зазор между обкладками плоского конденсатора, емкость которого при отсутствии пластины равна С. Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения У. Найти механическую работу, которую необходимо совершить против электрических сил, чтобы извлечь пластину из конденсатора. Решение.
Согласно закону сохранения энергии А, +А =ЛИ', где А „— совершенная внешними силами механическая работа против злектрических сил; А„— работа источника в этом процессе; ЛИ' — соответствующее приращение энергии конденсатора (мы считаем. что участие других видов энергии в изменении энергии системы пренебрежимо мало).
Найдем МУ и Аиг Из формулы для энергии конденсатора (И" = = СУ'/2 = дУ/2) следует, что при У = сопз$ пИг = вС У'/2 = Лс(//2. (2) Так как емкость конденсатора при извлечении пластины уменьшается (ЬС < О), то уменьшается и заряд конденсатора (Ьд < О). Последнее означает, что заряд прошел через источник против направления действия сторонних сил и источник совершил отрицательную работу: (2) Из сравнения Формул (3)и (2) следует А = 2огУ. После подстановки последнего выражения в (1) получим А„,„= — ~М~, или А„=(з — 1)Сз(/'/2.
Таким образом, извлекая пластину иа конденсатора, мы (внешние силы) совершаем положительную работу (против электрических сил), при этом источник э. д. с. совершает отрицательную работу и энергия конденсатора уменьшается: А„,„>0, А„„<О, ЛИг<0 Глава Ь 5.9. Переходные процессы. Цепь состоит из источника постоянной э. д. с. б и последовательно подключенных к нему сопротивления В и конденсатора С. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало. В момент г = 0 емкость конденсатора быстро (скачком) уменьшили в ц раз. Найти ток в цепи как функцию времени. Решение. Запишем закон Ома для неоднородного участка цепи 1ВЛ2 (рис.
Ь.16): =Ф! Ф7 б=( — р Учтем, что (/ = о/С, где С - С/и, тогда Продифференцируем это равенство по времени. принимая во 1 С 2 Рнс. 6.16 Рнс. ЬЛЬ внимание, что в нашем случае (д уменьшается) йд/бс = — Л бЕ л — = — — 11 Й( С Интегрирование последнего уравнения дает 1 Вг 1и — = —, 1' ЛС где 1 определяется условием (1). Действительно, л1 =цд/с — В, причем д„= бС вЂ” заряд конденсатора до изменения его емкости. Поэтому Ь.10. Конденсатору емкостью С сообщили заряд о„и затем в момент г = О его замкнули на сопротивление В.
Найти зависимость от времени г количества теплоты, выделившегося на сопротивлении. Постоянный электрический ток Решение. Искомое количество теплоты или Я1 = ~Х/С. Продифференцируем (2) по времени: бХ ! 3Х йг Л вЂ” = — Х, де С Х Х)С Проинтегрировав последнее уравнение, получим 1 )п — = —, 1 ВС 1=1е н о (3) где 1 определяется условием (2) при о = д .
т. е. 1с = ~Хе/ВС. После подстановки (3) в (1) и соответствующего интегрирования получим () ЧО () -ьялс) 2С откуда видно, что прежде всего надо найти зависимость 1(Ф) Воспользуемся с атой целью законом Ома для участка цепи ХХ)2 (рис. 5.1б): Глава б Магнитное поле в вакууме чу % 6.1. Сила Лоренца. Поле В Сила Лоренца. Опыт показывает, что сила Г, действующая на точечный заряд д, зависит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости ч. Соответственно этому силу Г разделяют на две составляющие — электрическую Г, (она не зависит от движения заряда) и магнитную Г„ (она зависит от скорости заряда).
В любой точке пространства направление и модуль магнитной силы зависят от скорости ч заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору ч; кроме того, в любом месте магнитная сила перпендикулярна определенному в данном месте направлению и, наконец, ее модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению. Все эти свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля. Характеризуя это поле вектором В, определяющим выделенное в каждой точке пространства направление, запишем выражение для магнитной силы в виде Г„= д]чВ]. (6Л) Тогда полная электромагнитная сила, действующая на заряд д: Г = д Е+ д (тВ].
(6.2) Ее называют силой Лоренца. Последнее выражение является уннверсальнымг оно справедливо как для постоянных, так и Магнитное поле в вакууме для переменных электрических и магнитных полей, причем при любых значениях скорости т заряда. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и направления векторов Е и В.
Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей (в случае электричес- 1 кого поля мы так и поступили) . Следует подчеркнуть, что на покоящийся электрический заряд мазнитмое поле не действует. В этом существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле действует только на движущийся заряд. Вектор В характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд и, следовательно, является в этом отношении аналогом вектора Е, характеризующего силовое действие электрического полн.
Важной особенностью магнитной силы является то, что она всегда перпендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом ие совершаепт. Это значит, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остается неизменной, как бы частица ни двигалась. В нерелятивистском приближении сила Лоренца (6.2), как и любая другая сила, не зависит от выбора системы отсчета (инерциальной). Вместе с тем магнитная составляющая силы Лоренца меняется при переходе от одной' системы отсчета к другой (из-за т). Поэтому должна меняться н электрическая составляющая оЕ.
Отсюда следует, что разделение полной силы à — силы Лоренца — на электрическую и магнитную зависит от выбора системы отсчета. Без указания системы отсчета такое разделение не имеет смысла. Магнитное поле равномерно движущегося заряда. Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле В точечного заряда о„движущегося с посто- Разработан рял способов измерения поля В, но все они, в конечном счете, базируются на явлениях, в основе которых лежит уравнение (6.2). 156 Глава 6 янной нерелятивистской скоростью у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
