Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Если участок цепи содержит источник э. д. с., то на носители тока будут действовать не только электрические силы„но и сторонние. В этом случае выделяемое в неподвижном проводнике тепло будет равно по закону сохранения энергии алгебраической сумме работ электрических и сторонних сил. Это же относится и к соответствующим мощностям: тепловая мощность должна быть равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил.
Проще всего в этом можно убедиться„умножив выражение (5.15) на 1: (ч! Ю2) ~ + 5Т ' (5.22) е Здесь слева стоит выделяющаяся на участке тепловая мощность Я; при наличии сторонних сил величина 9 определяется той жд формулой (5.19), что и для однородного участка цепи. Последнее же слагаемое справа представляет собой мощность, развиваемую сторонними силами на данном участке. Заметим еще, что последняя величина (Р1) является алгебраи- Постониный электрический ток ческой: в отличие от В1' она изменяет знак при изменении направления тока Х. Таким образом, уравнение (5.22) означает, что тепловая мощность, выделяемая на участке цепи между точками 1 и Я, равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил.
Сумму этих мощностей, т. е. правую часть (5.22), называют мощностью тока на рассматриваемом участке цепи. Тогда можно сказать, что в случае неподвижного участка цепи мощность выделяемой на этом участке теплоты равна мощности тока. Применив (5.22) ко всей нераэветвленной цепи (тогда <р, = <рт), получим (5.23) т. е. общее количество выделяемой за единицу времени во всей цепи джоулевой теплоты равно мощности только сторонних сил. Значит, теплота производится только сторонними силами.
Роль же электрического поля сводится к тому, что оно перераспределяет эту теплоту по различным участкам цепи. Получим теперь уравнение (5.22) в локальной форме. Для этого умножим обе части уравнения (5.11) на 1, а также учтем, что о = 1/р и р)о =Я„„[см.
(5.20)]. Тогда удельная тепловая мощность тока в неоднородной проводящей среде (5.24) $ 5.6. Переходные процессы в цепи с конденсатором О переходных процессах. Так называют процессы при переходе от одного установившегося в цепи режима к другому. Примером таких процессов является зарядка и разрядка конденсатора, на них мы и остановимся более подробно в этом параграфе. До сих пор мы рассматривали только постоянные токи. Оказывается, однако, что полученные законы во многих случаях можно применять и к изменяющимся токам.
Это касается всех тех случаев, когда изменение тока происходит не слишком Глава з быстро. В этих случаях мгновенное значение тока будет практически одно и то же во всех поперечных сечениях цепи. Такие токи и соответствующие им поля называют квазистационарными (более точный критерий квазистационарности дан в э" 11.1). Именно квазистационарные токи можно описывать законами постоянного тока, если только их применять к мгновенным значениям величин. А теперь обратимся к процессам разрядки и зарядки конденса- тора, предполагая токи в этих процессах квазистационарными. Раарядка конденсатора. Если обкладки заряженного конденсатора емкости С замкнуть через сопротивление В, то через него потечет ток.
Пусть 1, д, (/ — мгновенные значения тока, заряда положительной обкладки и разности потенциалов между обкладками (напряжения). Считая ток 1 положительным, когда он течет от положительной обкладки к отрицательной (рис. 5.10), запишем 1 = — дд/сИ. Согласно закону Ома для внешнего участка цепи, содержащего сопротивление К Учитывая, что 1 = — с1д/Й8 и (/ = о/С, преобразуем предыдущее уравнение к виду (5,25) В этом дифференциальном уравнении переменные разделяются, и после интегрирования мы получим (5.2б) Я=воз где дэ — начальный заряд конденсатора, а т — постоянная, имеющая размерность времени: (5.
27) Эту постоянную называют временем релаксации. Из (5.26) видно, что т есть время, за которое эарэд конденсатора уменьшается в е раз. 14б Постовввий овоктричосвисй тои Рис. б.1г Рис. б.11 р с. б.1О Проднфференцнровав (5.26) по времени, найдем закон измене- ння тока: (5.28) где 1о = до/т — сила тока в момент 1 = О. На рис. 5.11 показан график зависимости д(1) — заряда на конденсаторе от времени. График зависимости Х(1) имеет такой же вцд. Зарядка конденсатора. Рассмотрим цепь, содержащую последовательно соединенные конденсатор С, сопротивление В н нсточннк э. д. с. 5' (рнс. 5.12).
Первоначально конденсатор не заряжен (ключ Е разомкнут). В момент С = О ключ замкнули, и в цепи пошел ток, эаряясающнй конденсатор. Увеличивающиеся заряды на обкладках конденсатора будут все в большей степени препятствовать прохождению тока, постепенно уменыпая его. Теперь ток в цепи будем считать положительным, когда он течет в направлении к положительно заряженной обкладке конденсатора: 1 = ссд/с(а Применим закон Ома для неоднородного участка цепи к участку 15В2с В1 = сЭ вЂ” сЭг + о. где под В понимается полное сопротивление этого участка, включая внутреннее сопротивление источника э.
д. с. Ъ'чнтывая, что 1 = с)д/с)1 н сэ — ср, = У = с(/С, перепишем предыдущее уравнение в виде ссд  — д/С 61 В Глава б 146 Разделение переменных дает лад й-о1С Проинтегрировав это уравнение с учетом начального условия (д = 0 при 1 = О), получим ЯС)п 1 — — ) =-т, 6С) откуда д =д (( — е ~). (5.29) Здесь д = оС вЂ” предельное значение заряда на конденсаторе (при 1 — э ), т = ВС. Закон изменения тока со временем 1= — =1 е пЧ Ф (5.30) где 1, =Д/В.
Графики зависимостей д(1) и Х(1) показаны на рис. 5.13. Рис. 5.13 Задачи 5.1. Сопротивление проводящей среды. Металлический шар радиусом а окружен концентрической тонкой металлической оболочкой радиусом Ь. Пространство между этими электродами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением р. Найти сопротивление межэлектродного промежутка. Решение. Выделим мысленно тонкий сферический слой между радиусами г и г + бг. Линии тока во всех точках этого слоя идут Постоянный электрический ток перпендикулярно ему, поэтому такой слой можно рассматривать как цилиндрический проводник длиной дг с плошадью полез речного сечения 4лг.
Воспользовавшись формулой (5.9), запишем б. дВ =р —,. 4лг' Проинтегрировав это выражение по г от а до Ь, получим В=— 5.2. Два металлических шарика одинакового радиуса а находятся в однородной слабо проводящей среде с удельным сопротивлением р. Найти сопротивление среды между шариками при условии, что расстояние между шариками значительно больше их размеров. Решение. Мысленно зарядим шарики +д и -д. Поскольку шарики находятся далеко друг от друга, электрическое поле вблизи поверхности каждого из них определяется практически только зарядом прилегающего шарика, причем его заряд можно считать распределенным равномерно по поверхности. Окружив шарик с положительным зарядом концентрической сферой, непосредственно прилегающей к его поверхности, запишем выражение для тока.
протекающего через эту сферу: 1 = 4ла'1, где 1 — плотность тока. Воспользовавшись законом Ома () - Е/р) и формулой Е - д/4лс,а', получим 1 = и/эор . Теперь найдем разность потенциалов между шариками: П = д~ — д 2д/4лзаа. Искомое сопротивление В = Щ1 = р/2ла. Этот результат справедлив независимо от значения диэлектрической проницаемости среды.
5.3. Два проводника произвольной формы находятся в безграничной однородной слабо проводящей среде с удельньпз сопротивлением р и диэлектрической проннцаемостью э. Найти значение произведения ВС для данной системы, где  — сопротивление среды между проводниками, С вЂ” взаимная емкость проводников при наличии среды.
Глава б Решение. Зарядим мысленно проводники зарядами + д и — д. Так как среда между ними слабо проводящая, то поверхности проводников являются эквипотенциальными и конфигурация поля такова же, как и при отсутствии среды. Окружим, например, положительно заряженный проводник замкнутой поверхностью Я, непосредственно прилегающей к поверхности проводника, и вычислим отдельно В и С: У У 0 В= — = 1 Ф 1„48 пу Е„Д8 д ()) В„48 зз,фж„48 С У (1 У где интегралы взяты по данной поверхности Я.
Прн вычислении В был использован закон Ома ) = пЕ, а при вычислении С— теорема Гаусса. Произведение полученных выражений ВС = зэз/и = зззр. 5.4. Ъ'елозин на границе проводника, Проводник с удельным сопротивлением р граничит с диэлектриком, проницаемость которого з. В некоторой точке А у поверхности проводника электрическая индукция равна 1), причем вектор В направлен от проводника и составляет угол а с нормалью к поверхности. Найти поверхностную плотность зарядов на проводнике н плотность тока вблизи точки А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
