Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В результате получим, что дивергенция вектора ) в некоторой точке равна убыли плотности заряда в единицу времени в той же точке: в ) = — др/дг. (5.6) Отсюда вытекает условие сини)ионариостпи (когда др/бт —. О): (5.7) Оно означает, что в случае постоянного тока поле вектора ) не имеет источников. Пестеэээий электрический тек 5 5.2. Закон Ома для однородного проводника Закон Ома, открытый экспериментально, гласит: сила тона, протпенающего по однородному проводнику, пропорциональна разности потенциалов на его концах (напряжению Е7): (5.8) где  — электрическое еопротпивление проводника.
Единицей сопротивления служит ом (Ом). Сопротивление )! зависит от формы и размеров проводника, от его материала и температуры, а также — это следует помнить — от конфигурации (распределения) тока по проводнику. В случае провода смысл сопротивления не вызывает сомыений, В более общем случае объемного распределения тока уже нельзя говорить о сопротивлении, пока не указаны или расположение подводящих к интересующему нас проводнику проводов, или конфигурация тока.
В простейшем случае однородного цилиндрического проводника сопротивление (5.9) где ! — длина проводника; Я вЂ” площадь его поперечного сечения; р — удельное электрическое сопротивление, Последнее зависит от материала проводника и его температуры. Выражают р в ом-метрах (Ом. м). Значения удельного электрического сопротивления для наиболее хороших проводниксв (медь, алюминий) составляют при -е комнатной температуре ыесколько единиц ыа 10 Ом м.
Закон Ома в дифференциальной форме. Найдем связь между плотностью тока ) и полем Е в той же точке проводящей среды. Ограничимся случаем изотропного проводника, в котором направления векторов 1 и Е совпадают. Выделим мысленно в окрестности некоторой точки проводящей среды элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными вектору ), а значит, и вектору Е.
Если поперечное сечение цилиндра ЙЯ, а его длиыа сИ, то на основа- з — м Гааза З нии (5.8) и (5.9) можно записать для такого элементарного цилиндра Ессс р сИ/сМ и после соответствующих сокращений получим, уже в вектор- ном виде, )= — Е=пЕ, 1 (5.10) где и = 1/р — идельнал электропроводимость среды.
Единицу, обратную ому, называют сименсом (См), поэтому единицей о является сименс на метр (См/и). Соотношение (5.10) и выражает закон Ома в дифференциальной форме. Оно не содержит дифференциалов (производных), а свое название получило потому, что в нем устанавливается связь между величинами, относящимися к одной и той же точке проводника. Иначе говоря, соотношение (5,10) выражает локальный закон Ома. Способы вычисления сопротивления К. Существует несколько таких способов, и все они, з конечном счете, основаны на использовании соотношений (5. 8) — (5. 10).
Целесообразность применения того или иного способа в каждом случае зависит от конкретной постановки задачи и от характера ее симметрии. Как это практически делается, показано на примерах задач 5.1 — 5.3 и 5.6. О заряде внутри проводника с током. Если ток постоянный, то избыточный заряд внутри однородного проводника всюду равен нулю. В самом деле, для постоянного тока справедливо уравнение (5.5). Перепишем его с учетом закона (5.10) в виде пЕсс8 = О, где интеграл взят по произвольной замкнутой поверхности Я внутри проводника. Для однородного проводника величину и можно вынести из-под интеграла: офЕсБ = О.
1зг Постокккый электрический ток Оставшийся интеграл согласно теореме Гаусса пропорционален алгебраической сумме зарядов внутри замкнутой поверхности Я, т. е. пропорционален избыточному заряду внутри этой поверхности. Но из последнего равенства сразу видно, что этот интеграл равен нулю (ибо и Ф О), а значит, равен нулю и избыточный заряд. В силу произвольности поверхности Я мы заключаем, что избыточный заряд в этих условиях всюду внутри проводника равен нулю. Избыточный заряд может появиться только на поверхности однородного проводника, в местах соприкосновения с другими проводниками, а также там, где проводник имеет неоднородности.
Электрическое поле проводника с током. Итак, при протекании тока на поверхности проводника (область неоднородности) выступает избыточный заряд, а это означает согласно (2.2), что снаружи проводника имеется нормальная составляющая вектора Е. Далее, из непрерывности тангенциальной составляющей вектора Е мы приходим к выводу о наличии и тангенциальной составляющей этого вектора вблизи поверхности проводника.
Таким образом, вектор Е вблизи поверхности проводника составляет (при наличии тока) некоторый не равный нулю угол а (рис. 5. 1); при отсутствии тока а = О. Ркс. 6.1 И еще. Если токи стационарны, то распределение электрических зарядов в проводящей среде (вообще говоря„неоднородной) не меняется во времени, хотя и происходит движение зарядов: в каждой точке на место уходящих зарядов непрерывно поступают новые.
Эти движущиеся заряды создают такое же кулоновское поле, что и неподвижные заряды той же конфигурации. Стало быть, электрическое поле стационарных токов — поле потенциальное. 1зз Глава 5 Вместе с тем электрическое поле в случае стационарных токов существенно отличается от электростатического — кулонов- ского поля неподвижных зарядов. Последнее внутри проводников при равновесии зарядов равно нулю. Электрическое поле у стационарных токов есть также кулоновское поле, однако заряды, его возбуждающие, находятся в движении.
Поэтому поле Е у стационарных токов существует и внутри проводников с током. 5 5.3. Обобщенный закон Ома Сторонние силы. Если бы все действующие на носители тока силы сводились к силам электростатического полн, то под действием этих сил положительные носители перемещались бы из мест с большим потенциалом к местам с меньшим потенциалом, а отрицательные носители двигались бы в обратном направлении. Это вело бы к выравниванию потенциалов, и в результате все соединенные между собой проводники приобрели бы одинаковый потенциал — ток прекратится. Иными словами, при наличии лишь кулоновских сил стационарное поле должно быть полем статическим.
Чтобы этого не произошло, в цепи постоянного тока наряду с участками, где положительные носители тока движутся в сторону уменьшения потенциала д, должны иметься участки, на которых перенос положительных носителей происходит в сторону возрастания ф, т, е против сил электрического поля. Перенос носителей на этих участках возможен лишь с помощью сил не электростатического происхождения.
Это так называемые сторонние силы. Таким образом, для поддержания постоянного тока необходимы сторонние силы, действующие либо на отдельных участках цепи, либо во всей цепи. Физическая природа сторонних сил может быть весьма различной. Они могут быть обусловлены, например, химической и физической неоднородностью проводника — таковы силы, возникающие при соприкосновении разнородных проводников (гальванические элементы, аккумуляторы) или проводников различной температуры (термоэлементы) и др. Постонккый електэннескнй ток Обобщенный закон Ома. Для количественной характеристики сторонних сил вводят понятие поля сторонних сил и его напряженность Е*. Этот вектор численно равен сторонней силе, действующей на единичный положительный заряд.
Теперь обратимся к плотности тока. Если под действием электрического поля Е в проводнике возникает ток плотности 1 = пЕ, то очевидно, что под совместным действием поля Е и полн сторонних сил Е* плотность тока — ссло Это уравнение обобщает закон (5.10) на случай неоднородных участков проводящей среды. Оно выражает обобщеккый закок Ома в локальной форме. Закон Ома для неоднородного участка цепи. Неоднородным называют участок цепи, на котором действуют сторонние силы.
Рассмотрим частный, но практически важный случай, когда электрический ток течет вдоль ксоккин кроеодов, В этом случае направление тока будет совпадать с направлением оси провода и плотность тока 1' может считаться одинаковой во всех точках сечения провода. Пусть площадь сечения провода равна Я, причем Я может быть и не одинаковой по длине провода. г 2 ~ — = ~ Есй + ~ Е* сП. (5.12) ! с Преобразуем подынтегральное выражение у первого интеграла: заменим и на 1/р и )с(1 на 1, Ж, где 1с — проекция вектора 1 на направление вектора сП. Далее учтем, что 1, — величина алгебраическая; она зависит от того, как направлен вектор 1 по отношению к сП: если 1 1! с(1, то 1, >О, если же 1 !1 сП, то 1с < О.
И последнее, заменим 1, на Х/Я, где 1 — сила тока, величина тоже алгебраическая (как и 1с). Поскольку для постоянного Разделим уравнение (5.11) на и, полученное выражение умножим скалярно на элемент оси провода сП, взятый по направлению от сечения 1 к сечению 2 (его мы примем за положительное), и затем проинтегрируем по длине провода от сечения 1 до сечения 2: Глаза б тока 1 одинаково во всех сечениях цепи, эту величину можно вынести за знак интеграла. В результате получим ? ? (5.13) Выражение ро?/З определяет не что иное, как сопротивление участка цепи длиной ?(?, а интеграл от этого выражения— полное сопротивление В участка цепи между сечениями 1 и 2. Теперь обратимся к правой части (5.12).
Первый интеграл здесь — это разность потенциалов ~>? — ?(?„а второй интеграл представляет собой электродвизкуи)ую силу (э, д. с.) 5, действующую на данном участке цепи: ? Е? = ~ Е" с?(. (5.14) ? Эта величина, как и сила тока 1, является алгебраической: если э. д, с. способствует движению положительных носителей тока в выбранном направлении, то (??г ь О, если же препятствует, то 5„< О. После всех указанных преобразований уравнение (5.12) будет иметь следующий вид? (5.15) Это уравнение выражает интегральную форму закона Омов для неоднородного участка цепи в отличие от уравнения (5.
11), представляющего тот же закон в локальной форме. Пример. Рассмотрим участок цепи, показанный на рис. 5.2. Сопротивление отлично от нуля только на отрезке Я. Нэ нижней части рисунка представлен ход потенциала ?р вдоль данного участка. Выясним, что здесь происходит. Иэ того факта, что потенциал на отрезке 1? уменьщается слева направо, следует, что 1 > О, т. е. ток течет з положительном направлении (от 1 к 2). В данном случае ?р, а ?р?, но ток течет от точки 1 к точке 2 — з сторону болылего значения потенциала. Это возможно лишь потому, что на данном участке имеется э. д.
с. о, действующая з положительном направлении (от 1 к 2). Пестоявиый электрический ток 135 и Рис. 5.2 Рис. Ь.З Вернемся к (5.15). Из этого уравнения следует, что для замк- нутой цепи точки 1 и 2 совпадают, р, = д, и оно приобретает более простой вид: (5.16) где В представляет собой уже полное сопротивление замкну- той цепи„а 6 — алгебраическую сумму отдельных з. д. с.
в данной цепи. сопротивление источника, а д, — д, — разность потенциалов на его клеммах. Если источник разомкнут, то 1 = О и 5 = ~р — о,, т. е. э.д.с. источника можно определить как разность потенци- алов на его клеммах в разомкнутом состоянии. Разность потенциалов на клеммах данного источника э. д. с.„ замкнутого на внешнее сопротивление, всегда меньше его э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
