Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

На этом же рисунке изображен и график аависимости Ф от г. График е(г) должен иметь такой вид, чтобы производкая де/дг, взятая с обратным знаком, соответствовала графику функции Е (г). При этом должно быть учтено и условие нормировки: Ф -э 0 при г — > ос.

Следует обратить внимание на то, что график д (г) является кеврермзяым. В местах конечных разрывов функции Е (г) график Ф (г) испытывает лишь изломы. 2. В данном случае согласно теореме Гаусса 4кг В= — к(г — а )р, 2 4 3 3 3 где р — объемная плотность стороннего заряда. Отсюда Ю р г — а з з Е= — =— ,г Соответствующие графики азвисимостей Е(г) и Ф(г) показаны на рис. 3.12, б. ЗА. Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью р > 0 по шару радиусом а из однородного диэлектрика с проницаемостью з.

Найти: 1) модуль вектора Е как функцию Элегаряческое поле з диэлектрика расстояния г от центра шара, изобразить примерные графики функции Е (г) и потенциала ьр (г'); 2) поверхностную и объемную плотности связанных зарядов. Решение. 1. Для определения Е воспользуемся теоремой Гаусса для вектора Р, поскольку задано распределение лишь сторонних зарядовг Р р Е= — = — г, ееа Зазаа г< а, 4нг Р= — пг р, 4 3 Р= — г, Р 3 э г>а,зягР= — на р, Р= —, г 4 э Ра 3 Зг' Р ра' 1 аа Заа г' Графики функций Е (г) и чэ (г) показаны на рис. 3.13. 2.

Поверхностная плотность связанного ааряда а — 1 ра и' = Р„= — —. 3 Для нахождения объемной плотности свяаанных зарядов достаточно повторить рассуждения, которые привели нас к формуле (3.11), и мы получим а — 1 Р= Р. з Этот результат можно получить и иначе — с помощью уравнения (3.9). А именно, так как Р = юз Е и и не зависит от координат (внутри шара), то р' = -ээг Р = — ма а а ° Е, Решение. По определению емкость С = д/~р. Найдем потенциал Чэ проводника, мысленно сообщив ему ааряд э)г ь ар=~~Е,аг= 1 ~" —,а)г+ — ' ~ ~ а) .

р (г 4нза зг 4паа ь где а Ч Е = р + р'. Поатому р' = -ю (р + р')„откуда и следует (1). 3.5. Емкость проводника. Найти емкость шарового проводника радиусом а, окруженного примыкающим к нему слоем однородного диэлектрика с наружным радиусом Ь и проницаемостью а. Изобразить примерные графики зависимостей поля Е(г) и потенциала ьр(г), где г — расстояние от центра шара, если проводник заряжен положительно. Глава 3 После интегрирования этого выражения получим: с ~ ) з — 11 4лзсеп ф= — + —, С= 4леое(п Ь ! (+(е ()оЯ Графики зависимостей Е ( г) и ф ( г) показаны на рис. 3.14.

О с О а Рис. 3.13 Рис. 3.14 3.6. Емкость конденсатора, Сферический конденсатор с радиусами обкладок а и Ь, где а < Ь, ааполнен ивотропным, но неоднородным диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния г до центра системы как е - а/г. а — постоянная. Найти емкость такого конденсатора. Решение. Согласно определению емкости конденсатора (С = фУ) задача сводится к нахождению разнести потенциалов У при заданном ааряде д: где предполагается, что внутренняя обкладка имеет заряд д>0. Определим Е с помощью теоремы Гаусса для вектора Ги 4лг В=о, Е— д 1 с ее, 4лз, ег' 4лес аг После подстановки последнего выражения в (1) и соответствующего интегрирования найдем: д Ь 4 а 4эхса а !и (Ь/а) 3.7.

Теорема Гаусса и принцип суперпознцин. Имеется диэлектри- ческий шар, который сохраняет состояние поляризации после Электрическое поле в дизлектрнке выключения внешнего электрического поля. Если шар поляризован однородно, то напряженность полн внутри него Е' = -Р/Зас, где Р— поляризованность. 1. Получить зту формулу, считая что так поляризованный шар есть результат малого сдвига всех положительных аарядов диэлектрика относительно всех отрицательных зарядов.

2. Воспользовавшись этой формулой, найти напряженность Ес поля в сферической полости внутри безграничного статически поляризованного (Р) диэлектрика, если вдали ст полости напряженность в дизлектрике равна Е. Решение, 1. Представим такой шар в виде двух шаров одинакового радиуса„имеющих равномерно распределенные заряды с плотностями р и -р. Пусть в результате малого сдвига центры шаров сместились относительно друг друга на расстояние 1 (рис. 3.15). '1Ъгда в произвольной точке А внутри шара Е' = Е' + Е' = — (г, — г ) = — —, р) Зас ' Зсс Рис.

3.15 где испольаовено, что напряженность поля внутри равномерно заряженного шара Е = рг/Зе, это непосредственно следует из теоремы Гаусса. Остается учесть, что согласно (3.4) р1 Р. 2. Создание сферической полости в диэлектрике эквивалентно удалению шарика из поляризованного вещества. Поэтому по принципу суперпоаиции поле Е внутри дизлектрнка может быть представлено как сумма Е = Е' + Е .

Отсюда Еа = Е Е = Е+Р/Зао. Глава 3 Т. е. поле в сферической полости больше поля Е в диэлектрике на величину Р/3а . 3.8. Граничные условия. Вблизи точки А (рис. 3.16) границы раздела диэлектрик — вакуум напряженность электрического поля в вакууме ранна Е„, причем вектор Е составляет угол ар с нормалью к поверхности раадела в данной точке. Проницаемость диэлектрика з. Найти отношение Е/Е, где Š— напряженность поля внутри диэлектрика вблизи точки 4.

Решение. Напряженность поля внутри диэлектрика ч)Ез + Ез Воспользовавшись условиями (3.22) и (3.24) на границе раздела диэлектриков, найдем: Е„= Ес эшаз, Е = В„/азс = Ес„/з = (Е /а')сова где Š— нормальная составляющая вектора Е в вакууме. ПодОа ставив эти выражения в (1), получим 2 — жп а,+, <!, Е, з соз ас з т. е. Е < Е . 3.9. Точечный заряд е находится в вакууме на расстоянии 1 от плоской поверхности однородного диэлектрика, заполняющего все полупрострзнство. Проницаемость двэлектрика з.

Найти: 1) поверхностную плотность связанных зарядов как функцию расстояния г от точечного ааряда с, исследовать полученный результат; 2) суммарный свяаанный ааряд на поверхности диэлектрика. Рис. 3.16 Рис. Здт Электрическое иоле в диэлектрике Решение. 1. Воспольауемся непрерывностью нормальной составляющей вектора В на границе диэлектрика (рис. 3.17): Е,„= ЕЕ,„ нли ! д и' ~ ! с и' ~ — — — созб+ — — е — — — соэб — —, 4хео г' 2ео ~ 4нео го 2ео ) где слагаемое а'/2ео — это составляющая напряженности полн, создаваемая вблизи рассматриваемого участка плоскости, на котором поверхностная плотность заряда равна а'. Иа последнего уравнения следует, что Š— 1 ф о' =— с+1 2ш' Здесь учтено.

что соз б = 1/г. При 1-о О величина а -г О, т. е. если заряд д находится на самой границе раадела, то поверхностный заряд на плоскости отсутствует. 2. Рассмотрим тонкое кольцо на границе раздела с центром в точке О (рис. 3.17). Пусть внутренний н внешний радиусы этого кольца г' н г' + Йг'. Поверхностный связанный заряд в пределах данного кольца дд' = сг . 2ю'йг'. Иа рисунка видно, что г' = 1' + г', откуда г о)г гдг', и выражение для о(с' с учетом (1) приобретает внд Š— 1 о)г сЪ~ = — — с1 — ° Е+1 г Проинтегрировав это уравнение по г от 1 до оо, получим Š— 1 3.10.

Точечный заряд д находится на плоскости, отделяющей вакуум от безграничного однородного диэлектрика с проницаемостью е. Найти модуль векторов В н Е во всем пространстве. Решение. В данном случае иэ условия непрерывности нормальной составляющей вектора В следует, что Ез„= еЕ,„. Вклад в нормальную составляющую вектора Е будет давать только по. верхнсстный заряд о' вблизи интересующей нас точки. поэтому предыдущее равенство можно переписать так: а'/2ео = Е( — а'/2ео). Отсюда сразу видно, что а' = О. Глаза 3 Итак, в данном случае поверхностный связанный заряд отсутствует (кроме точек, непосредственно прилегающих к точечному стороннему заряду д).

Значит„электрическое поле в окружающем пространстве — зто поле точечного заряда д + с', и Е зависит только от расстояния г до этого заряда. Но заряд с нам не известен, поэтому воспользуемся теоремой Гаусса для вектора В. Ваяв в качестве замкнутой поверхности сферу радиусом г с центром в точке нахождения заряда о, запишем 'Ю, + г„,э1) = д, где 2)а и 2) — модули вектора В соответственно в вакууме и диэлектрике на расстоянии г от заряда ф Кроме того, из условия непрерывности тангенциальной составляющей вектора Е следует, что 2) = е2)а.

Иэ последних двух условий находим, что 2к(1+ е) г 2я(1+ е) Г и напряженность электрического поля во всем пространстве 2)а ч Е= — = еа 2к(1+ е) еаг Видно, что при е 1 эти формулы переходят в известные нам выражения для 21 и Е точечного заряда в вакууме. Поле Е Поле 11 Рис. 3.18 Полученные результаты графически представлены на рис. 3.18. Следует обратить внимание на то, что поле Р в данном случае определяется не только сторонними зарядами (иначе оно имело бы вид поля точечного заряда). Глава Ф Энергия электрического поля ю 5 4.1.

Электрическая энергия системы зарядов Энергетический подход к взаимодействию. Энергетический подход к взаимодействию электрических зарядов является, как мы увидим, весьма плодотворным по своим практическим применениям, а кроме того, открывает возможность по-иному взглянуть и на само электрическое поле как физическую реальность. Прежде всего мы выясним, как можно прийти к понятию о энергии взаимодействия системы зарядов. 1. Сначала рассмотрим систему, состоящую из двух точечных зарядов 1 и 2. Найдем алгебраическую сумму элементарных работ сил г, и г, с которыми эти заряды взаимодействуют. Пусть в некоторой К-системе отсчета за время ог заряды совершили перемещения Й1, и 6),. Тогда работа этих сил Мз =2'~б)~+~'тб~г Учитывая, что Р, = — Р, (по третьему закону Ньютона), пере- пишем предыдущее выражение: б с2 ~$И~! й 2)' Величина в скобках — это перемещение заряда 1 относительно заряда 2 Точнее, это есть перемещение заряда 1 в К'-системе отсчета, жестко связанной с зарядом 2 и перемещающейся вместе с ним поступательно по отношению к исходной К- системе.

Характеристики

Список файлов книги