Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Итак, мы нашли вспомогательный вектор Р: Р = сс Е+1' (3. 17) где 7 и 7 — сторонние и связанные заряды, охватываемые поверхностью Я. Появление связанных зарядов д усложняет дело, и формула (3.15) оказывается малополезной для нахождения поля Е в диэлектрике даже при «достаточно хорошей» симметрии. Действительно, зта формула выражает свойства неизвестного поля Е через связанные заряды д'. которые в свою очередь определяются неизвестным полем Е. Глава 3 поток которого сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых втой поверхностью: (3-18) Это утверждение называют теоремой Гаусса для поля вектора В.

Заметим, что вектор Р представляет собой сумму двух совершенно различных величин: з Е и Р. Поэтому он действительно вспомогательный вектор, не имеющий какого-либо глубокого физического смысла. Однако свойство поля вектора Р, выражаемое уравнением (3.18), оправдь1вает введение этого вектора: во многих случаях он значительно упрощает изучение поля в дизлектриках . Соотношения (3.17) и (3.18) справедливы для любого диэлектрика, как изотропного, так и анизотропного. Как видно из выражения (3,17), размерность вектора Р та же, что и вектора Р. Единицей величины Р служит кулон на квадратный метр (Кл~м'). дифференциальная форма уравненяя (3.18): (3.19) т. е. дивергенция поля вектора В равна объемной плотности стороннего заряда в той же точке. Это уравнение можно получить из (3.18) тем же способом, как это было проделано в случае поля Е (см. с.

24). Достаточно в проводимых там рассуждениях заменить Е на В и учесть лишь сторонние заряды. В тех точках, где дивергенция В положительна, мы имеем истое: ники поля В (р > О), а в тех точках, где она отрицательна, — свюки поля В (р с О). Связь между векторами Р и Е. В случае изотропных диэлектриков поляризованность Р = кз Е. Подставив это соотношение в (3.17), получим Р = г. (1 + я) Е, или Величину В часто насылают электрическим смещением влн алекмрической ивдувзиеа, однако мы не будем пользоваться етнмн терминами, чтобы лишний раз подчеркнуть вспомогательный характер еекмере и. Электркчеокое поле в диэлектрике Р = сеэЕ, (3.20) где е — диэлектрическая проницаемость вещества: е =1+ ж.

(3. 21) Диэлектрическая проницаемость е (как и ю) является основной электрической характеристикой диэлектрика. Для всех веществ е > 1, для вакуума е = 1. Значения е зависят от природы диэлектрика и колеблются от величин, весьма мало отличающихся от единицы (газы) до нескольких тысяч (у некоторых керамик). Большое значение е имеет вода (е = 81). Из формулы (3.20) видно, что в изотропных диэлектриках вектор Р коллинеарен вектору Е. В анизотропных же диэлектриках эти векторы, вообще говоря, не коллинеарны.

Поле вектора В наглядно можно изобразить с помощью линий вектора В, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий вектора Е. Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться как на сторонних, так и на связанных зарядах; мы говорим, что источниками и стоками поля Е являются любые заряды. Источниками же и стоками поля вектора.

Р являются только сторонние заряды: только на них могут начинаться и заканчиваться линии вектора Р. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора Р проходят не прерываясь. Замечание о поле вектора Р. Поле вектора В зависит, вообще говоря, кэк от сторонних, так и от связанных зарядов (как и поле вектора Е).

Об этом говорит уже соотношение В = еоеЕ. Однако в некоторых случаях поле вектора Р определяется только сторонними зарядами. Именно для таких случаев вектор Р является особенно полезным. Вместе с тем это дает повод довольно часто ошибочно думать, что поле Р якобы зависит всегда только от сторонних зарядов и неверно трактовать законы (3.18) и (3.19). Эти законы выражают только определенное свойство поля вектора Р, само же поле этого вектора они не определяют. Проиллюстрируем вышесказанное на нескольких примерах. Пример 1.

Точечный сторонний заряд с находится в центре шара радиусом а из однородного изотропкого диэлектрика про- Глава 3 ницаемости е. Найти напряженность Е поля как функцию расстояния г от центра данного шара. Симметрия системы позволяет для решения интересующего нас вопроса использовать теорему Гаусса для вектора В (воспальзоваться аналогичной теоремой для поля Е злесь не представляется возможным, поскольку нам не известен связанный заряд). Для сферы радиусом г с центром в тачке нахождения заряда 4 можно записать: 4ю'1)„= д.

Отсюда находим П, и по фюрмуле (3.20) искомую напряженность Е: Е, (г с а) = — —,, Е, (г > а) =— Ч 4яео ег~ 4пеи гз Графики зависимостей Ю(г) и Е(г) показаны на рис. 3,.4. ЯВ Линии Б б) Линии Е а) Рис. 3.5 Рис. 3.6 Пример 2. Пусть система состоит из точечного заряда д > 0 и произвольного куска однородного изотропного диэлектрика (рис. 3.6), где Я вЂ” некоторая замкнутая поверхность. Выясним,что произойдет с полеьт векторов К и )), а также с их потоками сквозь поверхность Я, если диэлектрик удалить. Элмсгряческое поле з диэлектрике В любой точке пространства поле Е обусловлено как зарядом д, так и связанными зарядами поляризованного диэлектрика.

Так как в нашем случае Р = зссЕ, то это относится и к полю вектора В: оно также определяется как сторонним зарядом о, так и связанными зарядами диэлектрика. Удаление диалектрика приведет к изменению поля Е, а значит, и поля В. Изменится и поток вектора Е сквозь поверхность Я,так как внутри этой поверхности исчезнут отрицательные связанные заряды. Поток же вектора В сквозь поверхность Б остается прежним„несмотря на изменение самого поля В. Пример 3. Рассмотрим систему, в которой нет сторонних зарядов, но имеются только связанные заряды. Такой системой может быть, например, шар из злектрета гсм. сноску на с. 73).

На рис. 3.6, а показано поле Е такой системы. Что можно сказать о соответствующем поле вектора Р7 Прежде всего отсутствие сторонних зарядов означает, что нет источников поля Р: линии вектора Р нигде не начинаются н нигде не кончаются. Но поле Р есть, оно показано яа рис.

3.6, б. Вне шара направления линий вектороз Е и В совпадают, внутри же шара их направления противоположны: здесь соотношение Р = есеЕ уже несправедливо, и В = е Е + Р. 5 3.5. Условия на границе Рассмотрим поведение векторов Е и Р сначала на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Пусть для большей общности на границе раздела этих диэлектриков находится поверхностный сторонний заряд. Искомые условия нетрудно получить с помощью двух теорем: теоремы о циркуляции вектора Е и теоремы Гаусса для вектора Р: Условие для вектора Е. Пусть поле вблизи границы раздела в диэлектрике 1 равно Е„а в диэлектрике 2 — Е,.

Возьмем небольшой вытянутый прямоугольный контур, ориентировав его так, как показано на рис. 3.7. Глава 3 Гв' Рис. 3.7 Рис. 3.3 Стороны контура, параллельные границе раздела, должны иметь такую длину, чтобы в ее пределах поле Е в каждом диэлектрике можно было считать одинаковым, а «высота» контура должна быть пренебрежимо малой.

Тогда согласно теореме о циркуляции вектора Е Е„Е + Ел. Е = О, где проекции вектора Е взяты на направление обхода контура, указанное на рисунке стрелками. Если на нижнем участке контура проекцию вектора Е взять не на орт т', а на общий орт 2, то Еиг = — Е„и из предыдущего уравнения следует, что (3.22) т.

е. тангенциальная составляющая вектора Е оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела (не претерпевает скачка). Условие для вектора Р. Возьмем очень малой высоты цилиндр, расположив его на границе раздела двух диэлектриков (рис. 3.8). Сечение цилиндра должно быть таким, чтобы в пределах каждого его торца вектор Р был одинаков. Тогда согласно теореме Гаусса для вектора Р Р,„ЛЯ + Р,и ЬЯ = а ЬЯ, где а — поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела. Взяв обе проекции вектора Р на общую нормаль и (она направлена от диэлектрика 1 к диэлектрику 2), получим Ю„, = -Р„, и предыдущее уравнение можно привести к виду (3. 23) Злектриееекое поле в лиелектрике (3.24) в этом случае нормальные составляющие вектора 0 скачка не испытывают, они оказываются одинаковыми по разные стороны границы раздела.

Таким образом, если на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков сторонних зарядов нет, то при переходе этой границы составляющие Е, и П„изменяются непрерывно, без скачка. Составляющие же Е„и Ют претерпевают скачок. Преломление линий Е и Р. Полученные нами условия для составляющих векторов Е и В на границе раздела двух диэлектриков означают, как мы сейчас увидим, что линии этих векторов испытывают на этой границе излом, преломляются (рис. 3.9).

Найдем соотношение между углами а, и аи Если сторонних зарядов на границе раздела нет, то согласно (3.22) н (3.24) Е, = Е„, з Е„= с,Е,„. Из рис 3.9 следует, что (бог Ек/Ев 1аа, Еи/Е,„ Отсюда с учетом предыдущих условий получаем закон пре- ломления линий Е, а значит, и линий Еч Сбпг еаза, е, (3.23) Это означает, что в диалектрике с бблыпим значением с линии Е н Р будут составлять ббльший угол с нормалью к границе раздела (на рис. 3.9 г., > з,). Из этого соотношения видно, что нормальная составляющая вектора Р, вообще говоря, претерпевает скачок при переходе границы раздела.

Характеристики

Список файлов книги