Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Все пространство с одной стороны такой плоскости в электрическом отношении независимо от пространства с другой стороны ее. Указанным свойством замкнутой проводящей оболочки мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. 5 2.5. Общая задача злектростатики. Метод изображений Очень часто приходится встречаться с задачами, в которых распределение зарядов неизвестно, но заданы потенциалы проводников, их форма и относительное расположение. И требуется определить потенциал ф (г) в любой точке поля между проводниками. Наномним, что, зная ф (г), можно легко восстановить само поле Е (г) и по значению Е непосредственно у поверхности проводников найти распределение поверхностных зарядов на иих. уравнения Пуассона и Лапласа. Найдем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция ф — потенциал.
Для этого подставим в левую часть (1,20) вместо Е его выражение через е, т. е. Е - — %р. В результате получим общее дифференциальное уравнение для потенциала — уравнение Пуассона: У 'р = -рlао з (2.8) где у — оператор Лапласа (ппппасиап). В декартовых координа- тах он имеет вид бз бз бз р' = —,+ — + —,, ах' ду' дг' Проводяак э электростатическом поле т. е.
представляет собой скалярнсе произведение»-Ч (см. (1.19)). Если между проводниками нет зарядов (р О), то уравнение (2.8) переходит в более простое — уравнение Лапласа: (2.9) Определение потенциала сводится к нахождению такой функции <р, которая во всем пространстве между проводниками удовлетворяет уравнениям (2.8) или (2.9), а на поверхностях самих проводников принимает заданные значения «рь «рт и т.д. В теории доказывается, что эта задача имеет единственное решение. Это утверждение называют гпеоремой единсп«венное»пи. С физической точки зрения этот вывод довольно очевиден: если решение не одно, то будет не один потенциальный «рельеф», следовательно, в каждой точке поле Е, вообще говоря, неоднозначно — мы пришли к физическому абсурду.
По теореме единственности можно также утверждать, что заряд на поверхности проводника в статическом случае распределяется тоже единственным образом. Действительно, между зарядами на проводнике и электрическим полем вблизи его поверхности имеется однозначная связь (2.2): о = з»Е,, Отсюда сразу и следует, что единственность поля Е определяет и единственность распределения заряда на поверхности проводника. Решение уравнений (2.8) и (2.9) в общем случае — задача сложная и кропотливая. Аналитические решения этих уравнений получены лишь для немногих частных случаев. Использование же теоремы единственности весьма облегчает решение ряда электростатических задач. Если решение задачи удовлетворяет уравнению Лапласа (или Пуассона) и граничным условиям, то можно утверждать, что оно является правильным и единственным, каким бы способом (хотя бы путем догадки) мы ни нашли его. Пример.
Показать, что поле в пустой полости проводника отсутствует. Потенциал «р в полости должен удовлетворять уравнению Лапласа (2.9) и на стенках полости принимать какое-то значение «р«. Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее этому условию, можно угадать сразу: «р - «р«. Согласно теореме единственности других решений быть не может. Поэтому Е = -%р - О. Глава 2 Метод изображений. Это искусственный метод, позволяющий в ряде случаев (к сожалению, немногих) рассчитать электрическое поле достаточно просто. Рассмотрим идею этого метода на самом простом примере, когда точечный заряд д находится около безграничной проводящей плоскости (рис.
2.7, а). ! ! 6 Ч =-Ч -Я б) в) а) Рис. 2.7 Идея метода заключается в том, что мы должны найти другую задачу, которая решается просто и решение которой или часть его может быть использовано. В нашем случае такой простой задачей является задача с двумя зарядами д и -д. Поле этой системы известно (его эквипотенциали и линии вектора Е показаны на рис. 2.7, б).
Совместим со средней эквипотенциальной поверхностью (ее потенциал <р = О) проводящую плоскость и уберем заряд — д. Согласно теореме единственности поле в верхнем полупространстве останется прежним. Действительно, на проводящей плоскости и всюду в бесконечности ~р = О, точечный же заряд д можно рассматривать как предельный случай малого сферического проводника, радиус которого стремится к нулю, а потенциал— к бесконечности. Таким образом, з верхнем полупространстве граничные условия для потенциала остались теми же, стало быть, тем же осталось н поле в этой области (рис. 2.7, в). Заметим, что к этому выводу можно прийти, исходя и из свойств замкнутой проводящей оболочки (см.
2 2.4), поскольку оба полупространства, разделенные проводящей плоскостью, в электрическом отношении независимы друг от друга, удаление заряда — д никак не скажется на поле в верхнем полупространстве, оно останется прежним. Итак, в рассматриваемом случае поле отлично от нуля только в верхнем полупространстве, и для вычисления этого поля 59 Проводник в элзктростатичэском поле достаточно ввести фиктивный заряд-изображение д' = -д, противоположный по знаку заряду о, поместив его по другую сторону проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, что и заряд д. Фиктивный заряд о' создает в верхнем полупространстве точно такое же поле, как и индуцированные заряды на плоскости.
Именно это подразумевают, когда говорят, что фиктивный заряд заменяет собой «действие«всех индуцированных зарядов. Надо только иметь в виду, что «действие» фиктивного заряда распространяется лишь на то полупространство, в котором находится действительный заряд д.
В другом полупространстве поле отсутствует. Резюмируя, можно сказать, что метод изображений по существу основан на подгонке потенциала под граничные условия: мы стараемся найти другую задачу (конфигурацию зарядов), у которой конфигурация поля в интересующей нас части пространства была бы той же. Если это удается сделать с помощью достаточно простых конфигураций, то метод изображений оказывается весьма эффективным.
Рассмотрим еще один пример. а) б) ! Рнс. 2.8 Пример. Точечный заряд «( находится между двумя проводящими взаимно перпендикулярными полуплоскостими (рис. 2.8, а). Найти расположение точечных фиктивных варядов, действие которых на заряд д будет эквивалентно действию всех индуцированных аарядов на данных полуплоскостях. Нужно найти систему из точечных зарядов, у которой эквипотенциальные поверхности с <р = О совпадали бы с проводящими полуплоскостями. Одним и двумя фиктивными аарядами здесь не обойтись, таких зарядов должно быть три (рис. 2.8, б).
Только при такой конфигурации системы из четырех зарядов можно осуществить необходимую «подгон- Глава 2 куз — обеспечить, чтобы на проводящих полуплосксстях потенциал был равен нулю. Именно зти три фиктивных заряда и создают то же поле внутри зпрямого углаз, что и заряды, индуцированные на проводящих полуплоскостях. Найдя зту конфигурацию точечных зарядов (другую задачу), можно затем просто решить ряд других вопросов, например найти потенциал и напряженность поля в любой точке внутри зпрямого углаз, силу, действующую на заряд д, и др. 5 2.6. Электроемкость. Конденсаторы Электроемкость уединенного проводника. Рассмотрим какой- либо уединенный проводник, т. е. проводник, удаленный от других проводников, тел и зарядов.
Опыт показывает, что между зарядом д такого проводника и его потенциалом д (потенциал на бесконечности мы условились считать равным нулю) существует прямая пропорциональность: ф о~ д. Следовательно, д/д не зависит от заряда д, для каждого уединенного проводника зто отношение имеет свое значение. Величину С = д/д (2.10) Называют электроемкос|пью уединенного проводника (сокращенно емкосшью). Она численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу. Емкость зависит от размеров и формы проводника. Пример.
Найти емкость уединенного проводника, имеющего 4юрму шара радиусом й. Для этого, как видно из формулы (2.10)„надо мысленно зарядить денный проводник зарядом 4 и вычислить его потенциал <р. Согласно (1.23) потенциал шара ! Г д ! д д = ~ Е,г!« = — ! —, б~ = — —. 4пзо ! г' 4пзз Л Я После подстановки полученного результата в (2.10) найдем (2.11) С = 4пзо)!. За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообгцении ему заряда 1 Кл. Эту единицу емкости называют (рарадом (Ф).
Прововввк в электростатическом поле 61 Фарад — очень большая величина: емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар радиусом Я млн. км, что в 1500 раэ больше радиуса Земли (емкость Земли С = 0,7 мФ). На практике чаще всего приходится встречаться с емкостями в интервале от 1 мкФ до 1 пФ. Конденсаторы. Если проводник не уединен, то его емкость будет существенно увеличиваться при приближении к нему других тел. Это обусловлено тем, что поле данного проводника вызывает перераспределение зарядов на окружающих телах— появление индуцированных зарядов. Пусть заряд проводника д > О. Тогда отрицательные индуцированные заряды оказываются ближе к проводнику, нежели положительные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
