Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

с)х — приращение коордиыаты х. В этом случае ЕсП Е)с(»=Е„с(х, где ń— проекция вектора Е ыа орт 1 (а не на перемещение сП). Сопоставив последнее выражение с формулой (1.24), полу- чим Е„= -дср/дх, (1.29) Рассуждая аналогично, можно получить соответствующие вы- ражения для проекций Е„и Е,. А определив Е, Е„, Е„, легко найти и сам вектор Е: (ар. ар. др Е =-~ — 1+ — 1+ — )с. = ~дх ду дг (1. 30) Величина, стоящая в скобках, есть не что иное, как градиеккт коясекц,кала ср (бгас( ср или с7ср). Мы будем пользоваться вто- где символ частной производной подчеркивает, что функцию ср (», у, г) ыадо дифференцировать только по х, считая у и г при этом постоянными.

32 Глава 1 рым, более удобным обозначением и рассматривать формальыо Утр как произведение символического вектора Ч на тр. Тогда уравнение (1.30) можно представить в более компактыой форме: (1.31) т. е. напряженность Е поля равна со знаком минус градиенту потенциала.

Это и есть та формула, с помощью которой можно восстановить поле Е, зная функцию тр(г). Пример. Найти напряженность Е поля, потенциал которого имеет внд: 1) тр (х, у) = — аху, а — постоянная, 2) тр(г) = — аг, а— постоянный вектор, г — радиус-вектор интересующей нас точки поля. 1. Воспольтовавшись формулой (1.30), получим Е = а (у( Е х1). 2.

Представим сначала функцию тр как ~р = — а х — а„у — а,э, где а„, а„, а, — постоянные. После этого с помощью формулы (1.30) найдем Е = а„! + в„) + а )т = а. Видно, что поле Е является в данном случае однородным. Получим еще одну полезную формулу. В соотношении (1.24) запишем правую часть как Е с(! = Е,<И, где тЫ = ~с(1~ — элементарный путь; Е, — проекция вектора Е на перемещение с(!. Отсюда (1.32) т. е. проекция вектора Е на ыаправление перемещеыия т(! равна со знаком минус производной потенциала по данному направлению (это подчеркыуто символом частной производной).

Эквипотеициальиые поверхности, Введем понятие эквипотпенциальной поверхностпи — поверхности, во всех точках которой потенциал тр имеет одно и то же значение. Убедимся в том, что вектор Е направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону умеыьшения потеыциала тр. В самом деле, из формулы (1.32) следует, что проекция вектора Е на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. А это значит, что вектор Е нормалеы к данной поверхности.

Далее, возьмем перемещение Й! по нормали к поверхности в сторону уменьшения тр, тогда д<р<0 и согласно (1.32) Е,>0, т. е. вектор Электростатическое поле в вакууме Е направлен в сторону уменьшения ф, или в сторону, противоположную вектору асср. Эквипотенциальные поверхности наиболее целесообразно проводить так, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы одинаковой.

Тогда по густоте зквипотевциальных поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще (окруче потенциальный рельефэ), там напряженность поля больше. Далее, ввиду того, что вектор Е всюду нормален к эквипотенциальной поверхности, линии вектора Е ортогональны этим поверхностям. С$ то то Рпс. 1.13 На рис. 1.13 показана двухмерная картина электрического поля: пунктиром — зквипотенцнали, сплошными линиями— линии вектора Е. Такое изображение придает большую наглядность. Сразу же видно, в какую сторону направлен вектор Е, где напряясенность больше, где меньше, где больше крутизна потенциального рельефа. С помощью таких картин можно получить и качественные ответы на ряд вопросов: куда начнет двигаться заряд при помещении его в ту или иную точку, где больше градиент потенциала (по модулю), в какой точке поля на заряд будет действовать большая сила и др.

О преимуществах потенциала. Ранее было отмечено, что электростатическое поле исчерпывающим образом характеризуется векторной функцией Е (г). Какая же польза от введения потенциала7 Существует несколько весомых причин, убедительно свидетельствующих о том, что потенциал — понятие действительно весьма полезное, и не случайно, что этим понятием широко пользуются не только в физике, но и в технике, Глава 1 1. Зная потенциал ср(г), можно предельно просто вычислить работу сил поля при перемещении точечного заряда д' из точки 1 в точку 2: А, = д'(~Р,— (Рз), (1.

ЗЗ) где ~р, и ~рз — потенциалы в точках 1 и 2. Значит, искомая работа равна убыли потенциальной энергии заряда д' в поле при перемещении его из точки 1 в точку 2. Расчет работы сил поля по Формуле (1.33) оказывается не только проще, но в некоторых случаях и единственно возможным.

Пример. Заряд у распределен по тонкому кольцу радиусом а. Найти работу сил поля при перемещении точечного заряда д' из центра кольца на бесконечность. Так как неизвестно, как распределен заряд д по кольцу, то ничего нельзя сказать о напряженности Е поля этого заряда. А это значит, что непосредственно вычислить работу как интеграл ) о'Е б! здесь непросто.

С помощью же потенциала эта задача решается элементарно. В самом деле, так как все элементы кольца находятся на одном и том же расстоянии а от центра кольца, то потенциал в этой точке ~р = д/4яз а. А потенциал на бесконечности ~р = О.

Следовательно, работа А = о'<р = е'е/4ялэа. 2. Во многих случаях оказывается, что для нахождения напряженности Е электрического поля легче сначала подсчитать потенциал ~р и затем взять градиент от него, нежели вычислять Е непосредственно. Это весьма существенное преимущество потенциала. Действительно, для вычисления <р нужно взять один интеграл, а для вычисления Š— знри (ведь это вектор). Кроме того, обычно интегралы для определения д проще, чем для Е„.

Е„, Ег Сразу же заметим, что это не касается сравнительно небольшого числа задач с достаточно хорошей симметрией. В этих случаях нахождение поля Е непосредственно или с помощью теоремы Гаусса часто оказывается значительно проще. 5 1.7. Электрический диполь Поле диполя. Элекнзрический диполь — это система из двух одинаковых по модулю разноименных точечных зарядов +д и Злектростатвческое поле в вакууме — д, находящихся на некотором расстоянии 1 друг от друга.

Когда говорят о поле диполя, то предполагают сам диполь точечным, т. е. считают расстояния г от диполя до интересующих нас точек поля значительно больше Е Поле диполя обладает осевой симметрией„поэтому картина поля в любой плоскости, проходящей через ось диполя, одна и та же и вектор К лежит в этой плоскости. Найдем сначала потенциал поля диполя, а затем его напряженность. Согласно (1.25) потенциал поля диполя в точке Р (рис. 1.14, а) определяется как Так как г ~ 1, то, как видно из рис. 1.14, а, г — г = 1 сов 9 и гтг = г', где г — расстояние от точки Р до диполя (он точечный!). С учетом этого т=— 1 р сов 9 (1.34) 4пе, где р = ф — электрический момент дииоля.

Этой величине сопоставляют вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному: (1. 35) р=Ф где д > О и 1 — вектор, направленный в ту же сторону, что и р. Из формулы (1.34) видно, что поле диполя зависит от его электрического момента р. Как мы увидим далее, и поведение диполя во внешнем поле также зависит от р. Следовательно, р является важной характеристикой диполя. Следует также обратить внимание на то, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием г быстрее, чем потенциал поля точечного заряда ( 1/г' вместо 1/г). Для нахождения поля диполя воспользуемся формулой (1.32), вычислив с помощью нее проекции вектора Е на два взаимно перпендикулярных направления — вдоль ортов е, и е (рис.

1.14, б): Е,= — — = д~р 1 2р сов 9 д~р 1 р зш 9 Ее = — — =— (1.36) дг 4ае, гз г дЗ 4ва, Глава 1 Отсюда модуль вектора Е Е = 1(Е2 + Е2 = — 1+ 3 соэвб. (1.37) 2 2 1 Р 6=4 а В частности, при 6=0 и б=л/2 мы получим выражения для е„ Рис. 1.14 напряженности поля соответственно на оси диполя (Е„) и перпендикулярно ей ~Е1): 1 3р 1 р (1.38) 4ие, г " 4лсс гв т.

е. при одном и том же г напряженность Е вдвое больше Еь Рис. 1.15 Сила, действующая на диполь. Поместим диполь во внешнее неоднородное электрическое поле. Пусть Е, и К вЂ” напряженности внешнего поля в точках, где расположены положительный и отрицательный заряды диполя. Тогда результирующая сила Г, действующая на диполь, равна (рис. 1.15, а): Электростатическое поле в вакууме Р = дЕ, — дЕ = д(Е, — Е ).

Разность Е, — Š— это приращение ЛЕ вектора Е ыа отрезке, равном длине диполя 1, в направлении вектора 1. Вследствие малости этого отрезка можно записать ЬЕ=Ес — Е = — 1= — 1. 6Е дЕ д( После подстановки этого выражения в формулу для Р по- лучим, что сила, действующая на диполь: дк Г=р —, д( (1.39) Ркс. П1б где р = ф — электрический момент диполя. Входящую в это выражение производную принято называть производной вектора по ыаправлению.

Знак частыой производной подчеркивает, что эта производная берется по определенному направлению — ыаправлению, совпадающему с вектором 1 или р. Простота формулы (1.39), к сожалению, обманчива: производная дЕ/д/ является довольыо сложной математической операцией. Мы не будем останавливаться на этом более подробно, а обратим внимание на существо получеыного результата. Прежде всего отметим, что в одыородном поле дЕ/д( = О, поэтому и г = О. Значит, сила действует на диполь, вообще говоря, только в неоднородном поле.

Далее, направление вектора Р в общем случае не совпадает ни с вектором Е, ни с вектором р. Вектор Е совпадает по направлению лишь с элементарным приращением вектора Е, взятым в направлении вектора 1 или р (рис. 1.15, б). Глава 1 Если нас интересует проекция силы Г на некоторое направле- ние Х, то достаточно записать равенство (1.39) в проекциях на это направление, и мы получим дЕ„ д1 (1.4О) где дЕ„/д1 — производная соответствующей проекции вектора Е опять же по направлению вектора 1 или р. Пусть диполь с моментом р расположен вдоль оси симметрии некоторого неоднородного поля Е.

Характеристики

Список файлов книги