Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1.2 видно, что 41 соз а г Йа и г = х/соз а, поатому Лгаа бЕ„= — —, = — сова т1а. 4пз г 4нс х Это выражение легко проинтегрировать: Е= — 2 1 созаба= 2з1па„ 4пзэх 4пе,х о где о — максимальное значение угла о, зш а„= 1/~6~ + х поэтому 1/21 1 2 4нлох Дя + хэ 4нза ~1з + хэ И здесь Е = д/4лз х' при х в 1, как поле точечного заряда. Глава 1 Геометрическое описание электрического поля.
Зная вектор Е в каждой точке, можно представить электрическое поле очень наглядно с помощью линий напряженности, или линий вектора Е. Эти линии проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е, а густота линий, т. е. число линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную линиям з данной точке, была бы пропорциональна модулю вектора Е. Кроме того, этим линиям приписывают направление, совпадающее с направлением вектора Е.
По полученной картине можно легко судить о конфигурации данного электрического полн — о направлении и модуле вектора Е з разных точках поля. Об общих свойствах поля Е. Определенное выше поле Е обладает, как выяснилось, двумя чрезвычайно важными свойствами, знание которых помогло глубже проникнуть в суть самого понятия поля и сформулировать его законы, а также открыло воэможность решить ряд вопросов весьма просто и изящно. Эти свойства — так называемые теорема Гаусса и теорема о циркуляции вектора Š— связаны с двумя важнейшими математическими характеристиками всех векторных полей: вожоком и циркуляцией. Как мы увидим, пользуясь только этими двумя понятиями, можно описать все законы не только электричества, но и магнетизма.
Перейдем к последовательному рассмотрению этих свойств. 5 1.2. Теорема Гаусса Поток вектора Е. Для большей наглядности воспользуемся геометрической картиной описания электрического поля (с помощью линий вектора Е) и еще, для упрощения рассуждений, будем считать, что густота линий Е равна модулю вектора Е, Тогда число линий, пронизывающих элементарную площадку ЭЯ, нормаль и которой составляет угол а с вектором Е, определяется согласно рис. 1.3 как Е ЙЯ сова. Эта величина и есть поток йФ вектора Е сквозь площадку оЯ. В более компактной форме йФ = .Е дЯ= Е дЯ, Электростатическое поле к вакууме Рис.
1.3 где ń— проекция вектора Е на нормаль и к площадке дЯ, дЯ вЂ” вектор, модуль которого равен ЙЯ, а направление совпадает с нормалью и к площадке. Заметим, что выбор направления вектора и (а следовательно, и бЯ) условен, его можно было бы направить и в противоположную сторону. Если имеется некоторая произвольная поверхность Я, то поток вектора Е сквозь нее 11.6) Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления нормали.
В случае замкнутых поверхностей принято нормаль и брать наружу области, охватываемой этими поверхностями, т. е. выбирать внккгнюю нормаль, что в дальнейшем будет всегда и подразумеваться. Хотя здесь речь шла о потоке вектора Е, понятие потока в равной степени относится к любому векторному полю. Теорема Гаусса. Поток вектора Е сквозь произвольную замкнутую поверхность Я обладает удивительным и замечательным свойством: ои зависит только от алгебраической суммы зарядов, охватываемых атой поверхностью.
А именно (1. 7) где кружок у интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутой поверхности. Это выражение и составляет суть теоремы Гаусса; поток вектора Е сквозь замннугпую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, депенной на га Глава 1 Доказавсельствзо всеорелсы. Сначала рассмотрим поле одного точечного заряда д. Окружим этот заряд произвольной замкнутой поверхностью Я (рис. 1.4) и найдем поток вектора Е сквозь элемент ЙЯ: 1 бФ = Е 88 = Е оЯ созп = — —, бЯ сова = — о11, (1.8) ( д Д 4хза г аз, где йь1 — телесный угол, опирающийся на элемент поверхности дЯ, с вершиной в точке расположения заряда д. Интегрирование этого выражения по всей поверхности Я эквивалентно интегрированию по всему телесному углу, т.
е. замене 611 на 4я, и мы получим Ф = д1'ес, как и требует формула (1.7). Рис. 1.5 Рис. 1.4 Заметим, что при более сложной форме замкнутой поверхности углы а могут быть больше х/2, а значит, соз а и о11 в (1.8) принимают, вообще говоря, как положительные, так и отрицательные значения. Итак, оа1 — величина алгебраическая: если о(1 опирается на внутреннюю сторону поверхности Я, то с)а1>О, если же на внешнюю сторону, то Ж с О. Отсюда, в частности, следует: если заряд д расположен вне замкнутой поверхности Я, то поток вектора Е через нее равен нулю. Для этого достаточно провести из заряда д коническую поверхность так, чтобы она оказалась касательной к замкнутой поверхности Я.
Тогда интегрирование выражения (1.8) по поверхности Я эквивалентно интегрированию по 11 (рис. 1.5): внешняя сторона поверхности Я будет видна из точки д под углом 11 > О, а внутренняя под углом — 11 (оба угла по модулю равны). В сумме получим нуль, и Ф = О, что также совпадает с утверждением (1.7). На языке линий вектора Е это означает, что сколько линий входит в объем, ограниченный поверхностью Я, столько и выходит. Элоктроататквеокао кола в вакууме Теперь обратимся к случаю, когда электрическое поле создается системой точечных зарядов д,, д и т. д. В этом случае согласно принципу суперпозиции Е = Е, + Е, + ..., где Е, — поле, создаваемое зарядом дг и т.д.
Тогда поток вектора Е можно записать так: фйг)Я = ф(Е,+Ее+...)г)Я=фЕ,с)8+фЕзг)8+...= Ф +Фз+ .. Для завершения доказательства теоремы остается учесть случай, когда заряды распределены непрерывно с объемной плотностью, зависящей от координат. В этом случае можно считать, что каждый элементарный объем дЪг содержит «точечный» заряд р дК Тогда в правой части (1Л) я =~р) (1.9) где интегрирование проводится только по объему, заклю- ченному внутри замкнутой поверхности Я. Необходимо обратить внимание на следующее важное обстоятельство: в то время как само поле Е зависит от конфигурации всех зарядов, поток вектора Е сквозь произвольную замкнутую поверхность Я определяегся только алгебраической суммой зарядов зкужрк поверхности Я. Это значит, что если передвинуть заряды, то поле Е изменится всюду, в частности, и на поверхности Я, изменится, вообще говоря, и поток вектора Е через Я.
Однако если передвижка зарядов произошла без пересечения поверхности Я, поток вектора Е через эту поверхность останется прежним, хотя, повторяем, само поле Е может измениться, причем весьма существенно. Удивительное свойство электрического поля! гиа..Мог а кг Согласно предыдущему каждый интеграл в правой части равен д,/зо, если заряд д, находится внутри замкнутой поверхности Я, и нулю, если снаружи поверхности Я. Поэтому в правой части останется алгебраическая сумма только тех зарядов, которые находятся внутри поверхности Я. Глава 1 $ 1.3.
Применения теоремы Гаусса Поскольку поле Е зависит от конфигурации всех зарядов, теорема Гаусса, вообще говоря, не дает возможности найти это поле. Однако в ряде случаев теорема Гаусса оказывается весьма эффективным аналитическим инструментом: она позволяет получить ответы на некоторые принципиальные вопросы, не решая задачи, а также находить и само поле Е, причем чрезвычайно простым путем. Рассмотрим несколько примеров, а затем сформулируем некоторые общие выводы о том, в каких случаях применение теоремы Гаусса оказывается наиболее целесообразным.
Пример 1. О невозможности устойчивого равновесия заряда в электрическом поле. Пусть в вакууме имеется система неподвижных точечных зарядов, находящихся в равновесии. Рассмотрим один иэ этих зарядов — заряд ф Может ли состояние его равновесия быть устойчивым? Рне. 1.6 Чтобы ответить на этот вопрос, окружим заряд д небольшой замкнутой поверхностью Я (рис.
1.б). Допустим, для определенности, что с > О. Тогда для того чтобы равновесие заряда д было устойчивым, необходимо, чтобы во всех точках поверхности Я поле Е, образованное всеми остальными зарядами системы, было направлено к заряду д: только в этом случае при любом малом смещении заряда с иэ положения равновесия на него будет действовать возвран)аюк)ая сила, и положение равновесия действительно будет устойчивым. Но такая конфигурация поля Е вокруг заряда с противоречит теореме Гаусса: поток вектора Е сквозь поверхность Я отрицателен, согласно же теореме Гаусса он должен быть равным нулю, поскольку этот поток создается зарядами, расположенными вне поверхности Я.
А равенство потока вектора Е нулю означает, что в каких-то точках поверхности Я вектор Е направлен внутрь, а в каких-то обязательно наружу. От- Электростатическое поле в вакууме 1О сюда и следует, что устойчивое равновесие заряда в лю- бом электростатическом поле невозможно. 2. Поле равномерно заряженной плоскости. Пусть поверхностная плотность заряда равна о.
Из симметрии задачи очевидно, что вектор Е может быть только перпендикулярным заряженной плоскости. Кроме того, ясно, что в симметричных относительно этой плоскости точках вектор Е одинаков по модулю и противоположен по направлению. Такая конфигурация поля подсказывает, что в качестве замкнутой поверхности следует выбрать прямой цилиндр, расположенный, как на рис. 1.7, где предполагается о > О. Поток сквозь боковую поверхность этого цилиндра равен нулю, и поэтому полный поток через всю поверхность цилиндра будет 2ЕЛЯ, где ЬЯ вЂ” площадь каждого торца.
Внутри цилиндра заключен заряд сйЯ. Согласно теореме Гаусса 2ЕЬЯ = пЬЯ/зм откуда Е = и/2е . Точнее это выражение следует записать так: Е„= и/2ео, (1.10) где Š— проекция вектора Е на нормаль п к заряженной плоскости, причем вектор п направлен от этой плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
