Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Если и > О,то и Е > О,а значит, вектор Е направлен от заряженной плоскости, как на рис. 1.7; если же а < О, то Е„ < О, а значит, вектор Е направлен к заряженной плоскости. Тот факт, что Е не зависит от расстояния до плоскости, означает, что соответствующее электрическое ноле является однородным (как слева, так и справа от плоскости). Полученный результат справедлив только для бесконечной плоской поверхности, ибо только в этом случае могут быть использованы приведенные соображения симметрии.

Однако он приближенно справедлив и для области, прилегающей к средней части конечной равномерно заряженной плоской поверхности, вдали от ее краев. Пример Зто поле можно легко найти как суперпоаицию полей, соадаваемых каждой из плоскостей в отдельности (рис. 1.8).

Здесь верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряэкенной плоскости, нижние — от отрицательно заряженной плоскости. Между плоскостями напряженности складываемых полей имеют одинаковое направле- Пример 3. Поле двух параллельных плоскостей, заряженных равномерно разноименными зарядами с плотностями и и — а. Глава 1 20 ние, повтому результат (1.10) просто удвоится, и результирующая напряженность поля между плоскостями Е и/еа, (1.11) где под и подразумевается модуль поверхностной плотности заряда. Вие этой области, как легко видеть, поле равно нулю.

'ракии образом, поле в данном случае сосредоточено между плоскостями и является однородным в этой области. Е-О Е= О Рнс. 1В Полученный результат приближенно справедлив н для пластин конечных размеров, если только расстояние между пластинами значительно меньше их линейных размеров (плоский конденсатор). Здесь заметные отклонения поля от однородности наблюдаются только вблизи краев пластин (этим при расчетах часто пренебрегают). Пример 4. Поле бесконечного круглого цилиндра, заряженного равномерко по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд Х.

Из соображений симметрии следует, что поле здесь имеет радиальный характер, т. е. вектор Е в кюкдой точке перпендикулярен осн цилиндра, а модуль вектора Е зависит только от расстояния г до оси цилиндра, Это подсказывает, что замкнутую поверхность здесь надо взять в форме козксиального прямого цилиндра (рис. 1.9). Тогда поток вектора Е сквозь торцы этого цилиндра равен нулю, а через боковую поверхносп Е„2пг)ь где Е, — проекция вектора Е на радиус-вектор г, совпадающий по направлению с нормалью и к боковой поверхности цилиндра радиусом г и высотой Л. По теореме Гаусса для случая г > а имеем Е„.

2хгл = М/ес, откуда Е, = (г>с). (1.12) 2ясег Электростатическое поле в вакууме При Х > О и Е > О, т. е. вектор Е направлен ст заряженного цилиндра, и наоборот. Если г < а, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому в этой области Е - О независимо от г. Таким образом, внутри равномерно заряженного по поверхности круглого бесконечного цилиндра поля нет. Рис.

1.9 Пример 5. Поле сферической поверхности. заряженной равномерно зарядом ф Это поле, очевидно, центрально-симметричное: направление вектора Е в любой точке проходит через центр сферы, а модуль вектора Е должен зависеть только от расстояния г до центра сферы. Ясно, что при такой конфигурации поля в качестве замкнутой поверхности надо взять концентрическую сферу. Пусть ее радиус г > а, тогда по теореме Гаусса Е„4хг'= ((/е .

откуда Е, = (г>а), Д (1.13) 4ха,г где Е, — проекция вектора Е на радиус-вектор г, совпадающий по направлению с нормалью и к поверхности в каждой ее точке. Знак заряда д и здесь определяет знак проекции Еи а следовательно„и направление самого вектора В: от заряженной сферы (при д > 0) или к ней (при д < 0).

Если г < а, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому в этой области всюду Е - О, т. е. внутри равномерно заряженной сферической поверхности влектрическое поле отсутствуег. Вне атой поверхности поле убывает с расстоянием г по такому же закону, как у точечного заряда. Глава 1 Пример 6. Поле равномерно заряженного шара.

Пусть заряд д равномерно распределен по шару радиусом а. Поле такой системы, очевидно, также центрально- симметричное, поэтому и здесь для нахождения поля следует а качестве замкнутой поверхности взять концентрическую сферу. Нетрудно сообразить, что для поля вне шара получится тот же результат, что и в предыдущем примере (см.

(1.13)). Внутри же шара выражение для поля будет другим. Сфера радиусом г < а охватывает заряд д' = 4(г/а)' . ибо в нашем случае заряды относятся как объемы„а последние как кубы радиусов. Поэтому согласно теореме Гаусса з Е„4нг = — д еа откуда Е, = †, г (г < а), (1.14) 1 (( 4нев а т. е. внутри равномерно заряженного шара напряженность растет линейно с расстоянием г от его центра. График зависимости Е от г показан на рис.

1.10. Рве. 1.10 Общие выводы. Полученные в этих примерах результаты можно было бы найти и непосредственно интегрированием с помощью формулы (1.5). Однако, как можно было убедиться, использование теоремы Гаусса позволило нам решать зти задачи несравненно более простым путем. 23 Электростатическое поле к вакууме Простота, с которой были решены рассмотренные задачи, может создать иллюзорное впечатление о силе метода, основанного на применении теоремы Гаусса, и о возможности находить с помощью этой теоремы решения многих других задач.

К сожалению, это не так. Число задач, легко решаемых с помощью теоремы Гаусса, весьма ограничено. Уже при решении задачи о нахождении поля такого симметричного распределения заряда, как у равномерно заряженного диска, теорема Гаусса оказывается бессильной. В этом случае конфигурация поля достаточно сложная, и замкнутой поверхности, обладающей необходимой для простоты вычисления потока вектора Е формой, здесь нет. Использование теоремы Гаусса для расчета полей эффективно лишь в тех случаях, где поле обладает специальной симметрией (чаще всего плоской, цилиндрической или сферической).

Симметрия, а следовательно, и конфигурация поля должны быть такими. чтобы, во-первых, можно было найти достаточно простую замкнутую поверхность Я и, во-вторых, вычисление потока вектора Е свести к простому умножению Е (или Е„) на площадь поверхности 3 или ее часть.

Если этого нет, задачу о нахождении поля приходится решать или непосредственно с помощью формулы (1.5), или с помощью других методов, с которыми мы ознакомимся ниже. 5 1.4. Теорема Гаусса в дифференциальной форме Замечательное свойство электрического поля, которое выражает собой теорема Гаусса, побуждает представить эту теорему в иной форме, расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета. В отличие от формы (1.7) — ее называют икспезрольной — мы будем искать дифференциальную форму теоремы Гаусса, в которой устанавливается связь между объемной плотностью заряда р и излсеиекиялси напряженности Е в окрестности данной точки пространства.

Для этого представим сначала заряд 7 в объеме К, охватываемом замкнутой поверхностью Я. как д,„,, = (Р) )'. где (Р) среднее по объему к' значение объемной плотности заряда. За- Глава 1 тем подставим зто выражение в уравнение (1.7) и разделим обе части его на К, В результате получим †()) Е 68 = (р)/е,. 1 .Г (1.15) Теперь устремим объем $' к нулю, стягивая его к интересую- щей нас точке поля. Очевидно, при этом (р) будет стремиться к значению р в данной точке поля, а значит, отношение в ле- вой части уравнения (1.15) будет стремиться к р/еэ, Величину, являющуюся пределом отношения $ Е 66 к T при Г->0, называют дивергенцией поля Е и обозначают о)ч Е. Та- ким обрааом, по определению 61чЕ= 1пп — ~)Е68. 1 Г о К (1. 16) Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля.

Из определения (1.16) следует, что дивергенция является скалярной функцией координат. Чтобы получить выражение для дивергенции поля Е, надо согласно (1.16) взять бесконечно малый объем $; определить поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность, охватывающую этот объем, и найти отношение этого потока к объему. Полученное выражение для дивергенции будет зависеть от выбора системы координат (в разных системах координат оно оказывается разным).

Например, в декартовой системе координат дЕ, дЕе дЕ, 61вЕ= *+ — "+ — '. дх ду дг (1.17) ЖтЕ = р/е,. (1.18) Это уравнение и выражает теорему Гаусса в дифференциаль- ной форме. Написание многих формул и действия с ними значительно уп- Итак, мы выяснили, что при У вЂ” +0 в выражении (1.15) его пра- вая часть стремится к р/ер, а левая — к 6(ч Е. Следовательно, дивергенция поля Е связана с плотностью заряда в той же точке уравнением вб Электростатическое иоле в вакууме рощаются, если ввести векторный дифференциальный опера- тор 17 (енаблае). В декартовых координатах он имеет вид ,9 .Э а Ч =1 — +) — +$с —, = ах ау аг' (1.19) где 1, ), й — орты осей Х, У, Я.

Сам по себе вектор Ч смысла не имеет. Он приобретает смысл только в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую символически умноясается. Так, например, если вектор т7 умножить скалярно на вектор Е, то получим Ч ° Е=ЧЕ+ЧЕ+ЧЕ = — Е+ — Е+ — Е, а а а а а " э х у а это есть не что иное, как с)1ч Е, согласно (1.17). Таким образом, дивергенция поля Е может быть записана как б)ч Е или т7 ° Е (в обоих случаях читается как «дивергенция Ее).

Мы будем пользоваться вторым, более удобным обозначе- нием. Тогда„например, теорема Гаусса (1.18) будет иметь вид 'т' . Е = Р7Е (1.20) В тех тачках поля, где дивергенция Е положительна, мы имеем исувочиики поля (положительные заряды), а в тех точках, где она отрицательна, — суиоки (отрицательные заряды). Линии вектора Е выходят из источников поля, а в местах стоков они заканчиваются. В дифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой: дивергенция поля Е в данной точке зависит только от плотности электрического заряда р в той же точке и больше ни от чего. Вто одно из замечательных свойств электрического поля. Например, в разных точках поля точечного заряда поле Е отличается друг от друга.

Вто же относится, вообще говоря, и к пространственным производным дЕ,/дх, дЕ„7ду, дЕ,7дг. Однако, как утверждает теорема Гаусса, сумма этих производных, которая определяет.дивергенцию Е, оказывается во всех точках поля (вне самого заряда) равной нулю. Гз 1 5 1.5. Циркуляция вектора Е. Потенциал Теорема о циркуляции вектор» Е.

Характеристики

Список файлов книги