Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Возьмем положительное направление оси Х, например, как показано на рис. 1.17. Так как в направлении вектора р приращение проекции Е будет отрицательным„то Г„< О, а значит, вектор Г направлен влево — в сторону, где напряженность поля больше. Если же вектор р на этом рисунке повернуть на 9О' так, чтобь1 центр диполя совпадал с осью симметрии поля, то нетрудно сообразить, что в таком положении проекция Г = О. Момент сил, действующих на диполь. Рассмотрим, как ведет себя диполь во внешнем электрическом поле в своей системе центра масс — будет он поворачиваться или нет. Для этого мы должны найти момент внешних сил относительно центра масс диполя'.
Рис. 1.18 " Относительно центра месс, чтобы иснлвчить момент сил инерции. На рис. 1.16 показаны направления силы Г, действующей на диполь в поле положительного точечного заряда д, при трех разных расположениях диполя. Убедитесь самостоятельно„что это действительно так. Электроотаткоеокое поле в вакууме По определению момент сил Р, = дЕ, и Г = — дЕ относительно центра масс С (рис. 1.13) равен М = (глр,) + (г Г ) = (г„, дЕ,) — (г, дЕ ) где г, и г — радиусы-векторы зарядов +д и — д относительно точки С. При достаточно малом расстоянии между зарядами диполя Е = Е и М=(г — г, дЕ), Остается учесть, что г,— г = 1 и д1 = р, тогда М = ~рЕ). (1.41) Этот момент сил стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент р установился по направлению внешнего поля Е.
Такое положение диполя является устойчивым. Итак, в неоднородном электрическом поле диполь будет вести себя следующим образом: под действием момента сил (1.41) диполь будет стремиться установиться по полю (р))Е), а под действием результирующей силы (1.39) — переместиться в направлении, где Е по модулю больше. Оба движения будут совершаться одновременно. Энергия диполя в поле.
Мы знаем, что энергия точечного заряда с во внешнем поле равна ту = ур, где <р — потенциал поля в точке нахождения заряда д. Диполь — это система из двух зарядов, поэтому его энергия во внешнем поле )т'= аЛ, + ЧЛ = Ч(Ю Ю ) где <р, и <р — потенциал внешнего поля в точках расположения зарядов +д и -д. С точностью до величины второго порядка малости где д<р/д) — производная потенциала по направлению вектора ). Согласно (1.32) дд/д1 = — Ек поэтому ~р, — ~р = — Е,1 = — Е1 и (1.42) Из этой формулы следует, что минимальную энергию ()т = — рЕ) диполь имеет в положении рЦЕ (положение устойчивого равновесия).
При отклонении из этого положения возникает мо- Глаза 1 мент внешних сил, возвращающий диполь к положению равно песня. Задачи 1.1. Очень юнкий диск равномерно заряжен с поверхностной платно- стью о > О. Найти напряженность Е электрического поля на оси этого диска в точке, из когорой диск виден под телесным углом О. Увс. 1.20 Ряс.
1.19 Решение. Из соображений симметрии ясно, что вектор Е на оси диска должен совпадать с направлением этой оси (рис. 1.19). Поэтому достаточно найти составляющую 6Е, в точке А от элемента заряда на площади ЙЯ и затем проинтегрировать полученное выражение по всей поверхности диска. Нетрудно сообразить (рис. 1.19), что 1 обЕ ЙЕ, = — — зсовЗ. (1) 4лзо гз В данном случае бВ соз 8,/г' = бΠ— телесяый угол, под которым площадка бБ видна из точки А, и выражение (1) можно переписать так: ЙЕ, = — обй.
1 4хз Отсюда искомая величина 1 Е = — ой. 4хза Заметим„что на больших расстояниях от диска О - Б/г'. где Я вЂ” площадь диска, и Е= д/4яз,г' — как поле точечного заряда Электростатическое поле в вакууме д = оЯ. В непосредственной же близости от точки О телесный угол () = 2л и Е = о/2эо. 1.2. Тонкое непроводящее кольцо радиусом В заряжено с линейной плотностью Л = Л совр. где Л вЂ” положительная постоянная, ~р— аэимутальный угол.
Найти напряженность Е электрического поля в центре кольца. Решение. Заданное распределение заряда показано на рис. 1.20. Иэ симметрии этого распределения ясно, что вектор Е в точке О направлен вправо и модуль этого вектора равен сумме проекций на направление Е векторов ЙŠ— от элементарных зарядов бо. Проекция вектора ЙЕ на вектор Е есть 1 Йд бЕ сезар = — — совр, 4лзо Вз где бо = ЛВйр = Л В осе ор дср. Проинтегрировав (1) по ор от О до 2л, найдем модуль вектора Е: эл Ло Г 2 Ло Е= 1 соз <рбв = —.
4лсоВ 4эо.В о Заметим, что этот интеграл проще всего вычислить, зная, что (соэ' ф = 1/2. Тогда эл соэ дблр =(соз <р) 2л = л. о 1.3. Полубесконечная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд Л на единицу длины. Найти модуль и направление напряженности поля в точке, которая отстоит от нити на расстоянии у и находится на перпендикуляре к нити, проходящем через ее конец. Решение. Задача сводится к нахождению Е и Š— проекций У вектора Е (рис. 1.21, где предполагается Л > О). Начнем с Е„. Элемент заряда на участке г(х нити дает следующий вклад в Е„: Лбх ЙЕ = — эш а.
(1) 4лс гз Приведем это выражение к виду, удобному для интегрирования. В нашем случае бх г да/соз а, г = р/соз а. Тогда Л ЙЕ = э1п а сна. 4лзоу Глава 1 Проинтегрировав это выражение по а от 0 до х/2, найдем Ех = )'/4пзоу Для нахождения проекции Е достаточно обратить внимание на то, у что ЙЕ„отличается от с1Е просто заменой з1п а в (1) на соз а.
Тогда 4Ег =) сахаба/4песу и Ед =Х/4пзоу. Мы получили интересный результат: Е„= Е„независимо от у. т. е. вектор Е ориентирован под углом 45' к нити, Модуль вектора Е Е = )) Ех + Ер = ) ьГ2/4яеоу. 1.4. 'Георема 1"аусса. Напряженность электрического поля зависит только от координат х и у как Е = а(х1+у))/(х +уз) где а — постоянная; 1 и ) — орты осей Х и У. Найти заряд внутри сферы радиусом В с центром в начале координат.
бх Рис. 1.21 Рнс. 1.22 Решение. Искомый заряд равен согласно теореме Гаусса потоку вектора Е через указанную сферу, деленному на ем В данном случае для определения потока можно поступить так. Заметив, что поле Е является осесимметричным (полем заряженной равномерно нити), приходим к выводу, что поток через сферу радиусом В равен потоку через боковую поверхность цилиндра того же радиуса и высотой 2В. расположенного, как показано на рис. 1.22. Тогда д=е фЕ68=е ЕВ, где Е, = а/В и Я = 2яВ 2В = 4пВ'. И окончательно, д = 4песаВ. Электростатическое поле в вакууме 1.5. Система состоит из равномерно заряженной сферы радиусом В и окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью р = а/г, где а — положительная постоянная, г — расстояние от центра сферы. Найти заряд сферы, при котором напряженность Е электрического полн вне сферы не будет зависеть от г.
Чему равно Е7 Решение. Пусть искомый заряд сферы равен д. тогда, воспользовавшись теоремой Гаусса, запишем для сферической поверхности радиусом г (снаружи сферы с зарядом д)о Е - 4лг = — + — ~ — йлг дг. д 1 га со со г о н Проинтегрировав, преобразуем предыдущее уравнение к вощу Е - 4хг = (д — 2паЯ )йо + 4яаг /2со. Напряженность Е не зависит от г при условии, когда выражение в скобках равно нулю. Отсюда о) = 2паВ н Е = а/2зо. 1.6. Найти напряженность Е электрического поля в области пересечения двух шаров, равномерно заряженных разноименными по знаку зарядами с объемной плотностью р и -р, если расстояние между центрами шаров определяется вектором ) (рис. 1.23). Рис.
1.24 Рно. 1.23 Решение. С помощью теоремы Гаусса нетрудно показать, что напряженность электрического поля внутри равномерно заряженного шара Е = ( р!3з,) г, где г — радиус-вектор относительно центра шара. Поле в области пересечения шаров можно рассматривать как суперпозицию по- Глава 1 лей двух равномерно заряженных шаров. Тогда в произвольной точкеА (рис. 1.24) этой области Е = Е + Е = р (г — г )/Зе, = р ! /Зе .
Таким образом, поле в области пересечения таких шаров является однородным. Этот вывод справедлив независимо от соотношения радиусов шаров и расстояния между их центрами. Он справедлив, в частности, и тогда, когда один шар находится целиком внутри другого, или, другими словами, когда в шаре имеется сферическая полость (рис. 1.26).
1.7. Воспользовавшись решением предыдущей задачи, найти напряженность Е полн внутри сферы, по которой распределен заряд с поверхностной плотностью о = ос соз 6, где о — постоянная, 6 — полярный угол. Решение. Рассмотрим два шара одинакового радиуса, имеющих равномерно распределенные цо объему заряды с плотностями р и — р., Пусть центры шаров смещены относительно друг друга на расстояние 1 (рис.
1.26). "Гогда согласно решению предыдущей задачи поле в области пересечеиия этих шаров будет однородным: Е = (Р/Зес)!. (1) В нашем случае объемный заряд отличается от нуля только в поверхностном слое. При очень малом ! мы придем к представлению о поверхностной плотности заряда на сфере. 'Голщина заряженного слоя в точках, определяемых углом 6 (рис. 1.26), равна ! соэ 6. Значит, на единицу площади в этом месте приходится заряд с = р)соэ 6 = оэ соэ 6, где и„= р1, и выражение (1) можно представить как Е = — (и,/Эе,))г, где )г — орт оси Я, от которой отсчитывается угол 6.
1.8. Потенциал. Потенциал некоторого электрического пола имеет вид д = а (ху — з'). Найти проекцию вектора Е на направление вектора а = ! + Зя в точке М(2, 1, -3). Решение. Сначала найдем вектор Е: Е = — %р = — а (у 1+ х ! - 2г Ц. Искомая проекция а — а(у ! + х ! — 2з )г)(1 + 3 й) — а(у — бз) к Е а 6+3' ,(Гбб Электростатическое поле в вакууме В точке М вЂ” а(1 + 18) 19 Ло Йо ' 1.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
