Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Сплошными линиями на рисунке показаны линии вектора Е, пунктирными — пересечения эквипотенциальных поверхностей с плоскостью рисунка. По мере удаления от этой системы эквипотенциальные поверхности становятся все более близкими к сферическим, а линии вектора Е приближаются к радиальным, и само поле становится все более близким к полю точечного заряда о — полному заряду данной системы. Поле у поверхности проводника.
Напряженность электрического поля непосредственно у поверхности проводника связана, как мы сейчас увидим, простым соотношением с локальной плотностью заряда на поверхности проводника. Эту связь можно легко установить с помощью теоремы Гаусса. Рис. 2.3 Проводпкк к элоктроотатпчооком поле Пусть интересующий нас участок поверхности проводника граничит с вакуумом. Линии вектора Е перпендикулярны поверхности проводника, поэтому в качестве замкнутой поверхности возьмем небольшой цилиндр, расположив его так, как показано на рис. 2.3.
Тогда поток вектора Е через эту поверхность будет равен только потоку через онаружныйо торец цилиндра (потокн через боковую поверхность и внутренний торец равны нулю), и мы имеем Е,ДЯ = аЛЯ/зм где ń— проекция вектора Е на внешнюю нормаль и (по отношению к проводнику), ЛЯ вЂ” площадь сечения цилиндра, и — локальная поверхностная плотность заряда на проводнике. Сократив обе части этого равенства на Лу, получим (2.2) Если а > О, то и Е„ > О, т. е. вектор Е направлен от поверхности проводника — совпадает по направлению с нормалью и; если же и < О, то Е„< Π— вектор Е направлен к поверхности проводника. В связи с соотношением (2.2) может возникнуть ошибочное заключение, что Е вблизи проводника зависит только от локальной плотности и заряда. Это не так.
Напряженность Е определяется всеми зарядами рассматриваемой системы, как и само значение и. 5 2.3. Силы, действующие на поверхность нревОдникэ Рассмотрим случай, когда заряженный участок поверхности проводника граничит с вакуумом. На малый элемент ЛЯ поверхности проводника действует сила (2.3) Ь Р = си~Я Е, где пбЯ вЂ” заряд этого элемента, Ео — напряженность поля, создаваемого всеми остальными зарядами системы в месте нахождения заряда пАУ. Сразу же заметим, что Ео не равно напряженности Е поля вблизи данного элемента поверхности проводника, однако между ними имеется простая связь. Найдем ее, т.
е. выразим Ео через Е. Глава 2 Пусть Š— напряженность поля, создаваемого зарядом на площадке ЛЯ в точках, очень близких к этой площадке— здесь она ведет себя как бесконечная равномерно заряженная плоскость. Тогда согласно (1.10) Е, = и/2е,. Результирующее поле как внутри, так и вне проводника (вблизи площадки ЛЯ) является суперпозицией полей Е, и Е .
По разные стороны площадки ЛЯ поле Е, практически одинаково, поле же Е, имеет противоположные направления (рис. 2.4, где для определенности взято и ~ О), Из условия Е = 0 в проводнике следует, что Е;-Ео, тогда снаружи проводника у его поверхности .Е=Ео+Ео=2Ео. Итак, (2. 4) Ео = Е/2 и уравнение (2.3) примет вид ЛР = — оЛЯ ° Е. 1 2 (2.5) Разделив обе части этого уравнения на ЛЯ, получим вы- ражение для силы, действующей на единицу поверхности про- водника: ! Р =-оЕ. 2 (2.0) Это выражение можно переписать и в другой форме, ибо входящие в него величины и и Е являются взаимно связанными. Действительно, согласно (2.2) Е„а/я, или Е = (о/гс)п, где Проводник в энектросгатнчэснем поле 53 и — внешняя нормаль к элементу поверхности в данной точке проводника.
Поэтому о' з,Е' О 25 2 (2. 7) где учтено, что о = зьЕ„и Е „=Е . Величину Рнг называют лог г верхностной плотносгпью сил. Независимо от знака о, а значит, и направления Е, сила Г„, всегда направлена, как видно из (2.7), наружу проводника, стремясь его растянуть. Пример.
Найти выражение для электрической силы, действующей в вакууме на проводник з целом, полагая, что известна напряженность Е полн во всех точках у поверхности проводника. Умножив (2.7) на сБ, получим выражение для силы бГ, действующей на элемент поверхности бвг б Р = — зэЕ'бЕ~ 1 2 где 68 = ндЯ. Результирующая сила, действующая на весь проводник, определяется интегрированием этого уравнения по всей поверхности проводника: Р = — '" (БЕ'Ж. 2 т' р 2.4.
Свойства замкнутой проводящей оболочки Таким образом, если в полости нет электрических зарядов, электрическое поле в ней равно нулю. Внешние заряды, в частности заряды на наружной поверхности проводника, не Мы выяснили, что в состоянии равновесия избыточных зарядов внутри проводника нет — вещество внутри проводника электрически нейтрально. А поэтому удаление вещества из некоторого объема внутри проводника (создание замкнутой полости) поля нигде не изменит, т.
е. никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Это значит, что избыточный заряд распределяется на проводнике с полостью так же, как и на сплошном — по его наружной поверхности. Глава 2 создают в полости внутри проводника никакого электрического поля. Именно на атом основана электростатическая зап)ита — экранирование тел, например измерительных приборов, от влияния внешних электростатических полей. Практически сплошной проводник-оболочка может быть заменен достаточно густой металлической сеткой.
Доказать отсутствие электрического поля в пустой полости можно и иначе. Возьмем замкнутую поверхность 8, которая охватывает полость и целиком находится в веществе проводника. Так как поле Е всюду в проводнике равно нулю, то и поток вектора Е через 8 тоже равен нулю. Отсюда согласно теореме Гаусса равен нулю и суммарный заряд внутри 8. Это, правда, не исключает ситуации, показанной на рис.
2.5, когда на поверхности самой полости имеются равные количества положительного и отрицательного зарядов. Такое предположение, однако, запрещает другая теорема — теорема о циркуляции вектора Е. В самом деле, пусть контур Г пересекает полость по одной из линий вектора Е и замыкается в веществе проводника. Ясно, что линейный интеграл вектора Е вдоль этого контура не равен нулю, чего согласно теореме о циркуляции быть не может. Рис. 2.5 Рис. 2.6 Теперь обратимся к случаю, когда полость не пустая, а в ней есть какой-то электрический заряд д (может быть и не один).
Представим себе также, что все внешнее пространство заполнено проводящей средой. Поле в ней при равновесии равно нулю, значит, среда электрически нейтральна и не содержит нигде избыточных зарядов. Так как всюду в проводнике Е = О, то равным нулю будет и поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность, окружающую Проводппп в алектроьтатпччспом поле полость. По теореме Гаусса это означает, что алгебраическая сумма зарядов внутри этой замкнутой поверхности также будет равна нулю. Таким образом, алгебраическая сумма индуцированных зарядов на поверхности полости равна по модулю и противоположна по знаку алгебраической сумме зарядов внутри этой полости. При равновесии заряды, индуцированные на поверхности полости, располагаются так, чтобы полностью скомпенсировать снаружи полости поле зарядов, находящихся внутри полости. Поскольку проводящая среда внутри всюду электрически нейтральна, то она не оказывает никакого влияния на электрическое поле.
Поэтому, если ее удалить, оставив только проводящую оболочку вокруг полости, от этого поле нигде не изменится и вне оболочки оно останется равным нулю. Таким образом, поле зарядов, окруженных проводящей оболочкой, и зарядов, индуцированных на поверхности полости (на внутренней поверхности оболочки), равно нулю во всем внешнем пространстве. Мы приходим к следующему важному выводу: замкнутая проводящая оболочка Разделяет все пространство на внутреннюю и внешнюю части. в электрическом отношении совершенпо не зависящие друг от друга. Это надо понимать так: после любого перемещения зарядов внутри оболочки никаких изменений поля во внешнем пространстве не произойдет, а значит, распределение зарядов на внешней поверхности оболочки останется прежним.
То же относится и к полю внутри полости (если там есть заряды) и к распределению индуцированных на стенках полости зарядов — они также останутся неизменными в результате перемещения зарядов вне оболочки. Все сказанное справедливо„разумеется, только в рамках электростатнки. Прпмер. Точечный заряд д находится внутри электрически нейтральной оболочки, наружной поверхностью которой является сфера (рис. 2.6). Найти потенциал д в точке Р, находящейся пне оболочки на расстоянии г от центра О наружной поверхности. Поле в точке Р определяется только зарядами, нндуцированными па наружной поверхности оболочки — сфере, ибо, как было показано, поле точечного заряда у и зарядов, ин- Глава 2 дуцированных на внутренней поверхности оболочки, равно всюду нулю вне полости. Далее, заряд на наружной оболочке вследствие ее симметрии распределяется равномерно, поэтому д о= 4хзс г Частным случаем замкнутой проводящей оболочки является безграничная проводящая плоскость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
