Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Действительно, перемещение оп заряда 1 в К- системе может быть представлено как перемещение 61, К'- Глаза 4 102 системы плюс перемещение с!Г,, заряда 1 относительно этой К'-системы: о1, = 61, + ЬГ,. Отсюда 61, — сП, = ЙГ, и ЬАы =Р~д(~ Итак, оказывается, что сумма элементарных работ з произвольной К-системе отсчета всегда равна элементарной работе, которую совершает сила, действующая на один заряд, в системе отсчета, где другой заряд покоится. Иначе говоря, работа ЬА,, не зависит от выбора исходной К-системы отсчета. Сила Р„действующая на заряд 1 со стороны заряда 2. консервативная (как сила центральная). Поэтому работа данной силы на перемещении д1', может быть представлена как убыль потенциальной энергии заряда 1 з поле заряда 2 или как убыль потенциальной энергии взаимодействия рассматриваемой пары зарядов: ЬАга = — д)(;,, где И'и — величина, зависящая только от расстояния между этими зарядами.
2. Теперь перейдем к системе нз жрех точечных зарядов (полученный для этого случая результат легко будет обобщить на систему из произвольного числа зарядов). Работа, которую совершают все силы взаимодействия при элементарных перемещениях всех зарядов, может быть представлена как сумма работ всех трех пар взаимодействий, т. е. 6А = ЬА„+ 6А„+ ЬА, Но для каждой пары взаимодействий, как только что было показано, 6 ~„= — й)Уз, поэтому ЬА = — й (И'„+ И'о + Я'з ) = — 6)У „ где И' — эиерзия взаимодействия данной системы зарядов, 1Уи + ~ ~ з Е )Ун Каждое слагаемое этой суммы зависит от расстояния между соответствующими зарядами, поэтому энергия И' данной системы зарядов есть функция ее конфигурации, Подобные рассуждения, очевидно, справедливы и для системы из любого числа зарядов.
Значит, можно утверждать, что ка- газ Эыергыя электрического поля ждой конфигурации произвольной системы зарядов присуще свое значение энергии гУ, и работа всех сил взаимодействия при изменении этой конфитурации равна убыли энергии гзгз (4.1) Энергия взаимодействия. Найдем выражение для энергии М~. Сначала рассмотрим опять систему из трех точечных зарядов, длн котоРой мы показали, что гзг = И"зз + з'з'зэ + И;э. ПРеобРазуем эту сумму следующим образом. Представим каждое слагаемое гг', з симметричном виде: )зг = ()зг -~ гг"ы)/2, поскольку)у,=)у; .
Тогда (~ и + уы + узз + ~ з~ + ~ зз + ~~ зз )/2 ' Сгруппируем члены с одинаковыми первыми индексами: зз' = ((зз", + Иг, ) + (И', + гзг ) + ()(Гп + я' ц/2. Каждая сумма в круглых скобках — это энергия И'; взаи- модействия з-го заряда с остальными зарядами.
Поэтому по- следнее выражение можно переписать такз Ж + ))гз + ~гз) ! 1 %"з Обобщение полученного выражения на систему из произвольного числа зарядов очевидно, ибо ясно, что проведенные рассуждения совершенно не зависят от числа зарядов, составляющих систему. Итак, энергия взаимодействия системы точечных зарядов )у= ~ ~~,з~и;. (4.
2) Имея в виду, что )Г = урп где зз, — з-й заряд системы; гр,— потенциал, создаваемый в месте нахождения з'-го заряда всеми оспзальнылзи зарядами системы, получим окончательное выражение для энергии взаимодействия системы точечных зарцдовз Глава 4 Пример. Четыре одинаковых точечных заряда с находятся в вершинах тстраэдра с ребром а (рис. 4.1).
Найти энергию взаимодействия зарядов этой системы. Энергия взаимодействия каждой пары зарядов здесь одинакова и равна И", = д'/4хз а. Всего таких взаимодействующих пар, как видно из рисунка, шесть, поэтому энергия взаимодействия всех точечных зарядов данной системы Я' = 61т; = 62~/4хзса. Иной подход к решению этого вопроса основан на использовании формулы (4.3). Потенциал и в месте нахождения одного из зарядов, обусловленный полем всех остальных зарядов, равен и - Захе„а.
Поэтому тУ = - э с,е, = — 4се =— б2' Полная энергия взаимодействии. Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов Йд=рдУ и переходя от суммирования в (4.3) к интегрированию, получаем (4.4) где ф — потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемам 61'. Аналогичное выражение можно записать для распределения зарядов, например, по поверхности; для этого достаточно в формуле (4.4) заменить р на с и сП' на 48. Можно ошибочно подумать (и ато часто приводит к недоразумениям), что выражение (4.4) — это только видоизмененное 105 Эяоргвя электрического ноля выражение (4.3), соответствующее замене представления о точечных зарядах представлением о непрерывно распределенном заряде.
В действительности это не так — оба выражения отличаются по своему содержанию. Происхождение этого различия — в разном смысле потенциала гр, входящего в оба выражения, что лучше всего пояснить на следующем примере. Пусть система состоит из двух шариков, имеющих заряды д, и д,. Расстояние между шариками значительно больше их размеров, поэтому заряды д, и д, можно считать точечными. Найдем энергию И' данной системы с помощью обеих формул. Оогласно формуле (4.3) Иг = (%грг + Чггрг)/2 = %гР~ = ггггрг где гР, — потенциал, создаваемый зарядом г), в месте нахожде- ниЯ заРЯда г)г; аналогичный смысл имеет и потенциал <Р,. Согласно же формуле (4.4) мы должны разбить заряд каждого шарика на бесконечно малые элементы р Йг' и каждый из них умножить на потенциал гР, создаваемый не только зарядами другого шарика, но и элементами заряда этозо шарика.
Ясно, что результат будет совершенно другим, а именно: (4.5) И~~ + Игг + Иа ~ где И', — энергия взаимодействия друг с другом элементов заряда первого шарика; И; — то же, но для второго шарика; И;, — энергия взаимодействия элементов заряда первого шарика с элементами заряда второго шарика. Энергии И', и И', называют собственными энергиями зарядов д, и д, а И'„— энерзией вэаимодействия заряда дг с зарядом д . Таким образом, мы видим„что расчет энергии Иг по формуле (4.3) дает только И'и.
а расчет по формуле (4.4) — волную энерзию вэаимодействияг кроме И; еще и собственные энергии Иг, и Иг,. Игнорирование этого обстоятельства зачастую является источником грубых ошибок. К данному вопросу мы еще вернемся в 3 4.4, а сейчас получим с помощью формулы (4.4) несколько важных результатов. 106 Глава 4 5 4.2. Энергия заряженных проводника и конденсатора Энергия уединенного проводника. Пусть проводник имеет заряд д и потенциал ф.
Поскольку значение ~р зо всех точках, где имеется заряд, одинаково, <р можно вынести из-под знака интеграла в формуле (4.4). Тогда оставшийся интеграл есть не что иное, как заряд д на проводнике, н (4.6) Эти три выражения написаны с учетом того„что С = д/ср. Энергия конденсатора. Пусть д и <р, — заряд и потенциал положительно заряженной обкладки конденсатора. Согласно формуле (4.4) интеграл можно разбить на две части — для одной и другой обкладок.
Тогда )У = (4.„э, + 4 ч ) /2 Так как д = -у,, то и =у (э, — э )/2 =у(//2, где д = д, — заряд конденсатора, У вЂ” разность потенциалов на его обкладках. Приняв во внимание, что С = д/У, получим следующие выражения для энергии конденсатора: (4. 7) Здесь надо заметить, что эти формулы определяют полную энергию взаимодействия: не только энергию взаимодействия зарядов одной обкладки с зарядами другой, но и энергию взаимодействия зарядов внутри каждой обкладки. А если есть диэлектрик? Мы сейчас убедимся, что формулы (4.6) и (4.7) справедливы и при наличии диэлектрика. С этой целью рассмотрим процесс зарядки конденсатора как перенос заряда малыми порциями йу* с одной обкладки на другую. Энергия олокгрнчооного ноля Элементарная работа, совершенная нами при этом против сил поля, запишется как зА =(/ бц =«о/С)бЗ', где г/' — разность потенциалов между обкладками в момент, когда переносится очередная порция заряда <Ьу.
Проинтегрировав зто выражение по д от 0 до с, получим А = дг/2С, что совпадает с выражением для полной энергии конденсатора. Значит, совершаемая нами работа против сил электрического поля целиком идет на создание энергии гг заряженного конденсатора. Кроме того, полученное выражение для работы А справедливо и в том случае, когда между обкладками конденсатора имеется произвольный диэлектрик. Этим самым мы доказали справедливость формул (4.7) и при наличии диэлектрика.
Все сказанное относится, очевидно, и к формулам (4.6). 5 4.3. Энергия электрического ноля О локализации энергии. Формула (4.4) определяет электрическую энергию гг' любой системы через заряды и потенциалы. Но, оказывается, энергию И' можно выразить также и через величину, характеризующую само электрическое поле, — через напряженность Е.
Убедимся в этом сначала на простейшем примере плоского конденсатора, пренебрегая искажением поля у краев пластин (краевым эффектом). Подстановка в формулу И =Сг/'/2 выражения С = зз,Я/Й дает Л поскольку (//Ь = Е и ЯЬ =г" (объем между обкладками кон- денсатора), то Ъ'г = зо з Е ' г'/2.
(4.8) Глава 4 Полученная формула справедлива для однородного поля, заполняющего объем Ъ'. В общей теории доказывается, что энергию )т можно выразить через Е (в случае если диэлектрик иэотропный) по формуле (4.9) Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в объеме аИ Зто подводит нас к весьма важной и плодотворной физической идее о локалиэаю(ии энергии в самом попе.
Данное предположение нашло опытное подтверждение в области переменных во времени полей. Только там встречаются явления, которые можно истолковать на основе идеи о локализации энергии в поле. Именно переменные поля могут существовать независимо от возбудивших нх электрических зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. И опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию — уже это заставляет нас признать, что носителем энергии является само поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
