Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Надо просто найти приращение брг при условии, что о = сопя(, а это — чисто математическая операция. Заметим, что если перемещения проводить при постоянном потенциале на проводниках, то соответствующий расчет приводит к другой формуле для силы: г' = +дй'/дх . Однако' — и зто важно — результат расчета Г„, по этой формуле или по (4.16) оказывается одинаковым, как и должно быть. Поэтому мы ограничимся в дальнейшем использованием только формулы (4.16) и будем применять ее для любых условий, включая и такие, где при малых перемещениях о Ф сопвФ.
Нас это не должно смущать: производную дИ'/дх мы в подобных случаях будем вычислять при д = сопзс. Пример. Найти силу, действующую на одну из обкладок плоского конденсатора в жидком диэлектрике, если расстояние между обкладками Ь, емкость конденсатора в этих условиях С и на нем поддерживается напряжение У. В данном случае при мысленном раздвижении обклздок постоянным оказывается напряжение У. а заряд д конденсатора меняется (это видно из соотношения С = д/У). Несмотря на зто, расчет силы мы будем проводить з предположении, что с - сопвс, т. е. по формуле (4.16). Здесь наиболее подходящим выражением для энергии конденсатора является следующее: )у = — = Ч Ч Х, 2С 2квея Глава 4 ыб где е — проницаемость диэлектрика, Я вЂ” площадь каждой обкладки, х — расстояние ме1кду ними (х = л).
Рис. 4.4 Выберем далее положительное направление оси Х, как по- казано на рис. 4.4, Согласно (4.16) сила, действующая на верхнюю обкладку конденсатора: а)у! д' оХ ') 2ЕЕсЯ Здесь знак минус указывает на то, что вектор р направлен з отрицательную сторону оси Х, т. е. сила имеет характер притяжения. Учитывая, что д = оЯ = Е~Я = ее ЕЯ и Е - У/Ь, преобразуем (1) к виду Силы в жидком диэлектрике. Из Формулы (1) предыдущего примера видно, что сила взаимодействия обкладок плоского конденсатора в жидком диэлектрике в е раз меньше, чем в вакууме (где е = 1). Этот результат, как показывает опыт, можно обобщить: при заполнении всего пространства, где есть электрическое поле, жидким или газообразным диэлектриком силы взаимодействия между заряженными проводниками (при неизменных зарядах на них) уменьшаются в е раз: (4.17) Е = Ер/е.
1 !%%! Р= 4пео ег (4. б) Отсюда следует, что два точечных заряда о, и д,, находящиеся на расстоянии г друг от друга внутри безграничного жидкого или газообразного диэлектрика, взаимодействуют с силой Эяергяя электрического поля т. е. тоже в г раз меньшей, чем в вакууме. Эта формула выражает закон Кулона для точечных зарядов в безграничном диэлектрике. Следует обратить особое внимание на то, что в последнем законе под точечными подразумеваются сторонние заряды, сосредоточенные на лгакроскоиических телах, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Таким образом, закон (4,18) в отличие от закона Кулона в вакууме имеет весьма ограниченную область применения: диэлектрик должен быть однородным, безграничным, обязательно жидким или газообразным, а взаимодействующие тела — точечными в макроскопическом смысле.
Интересно, что в однородном жидком или газообразном диэлектрике, заполняющем все пространство, где есть поле, как напряженность Е, так и сила Р, действующая на точечный заряд д, в з раз меньше Е,и Г, при отсутствии диэлектрика. А зто значит, что сила Р, действующая на точечный заряд д, определяется в этом случае такой же формулой, как и в вакууме: (4.19) где Š— напряженность поля в дизлекгприке в том месте, куда помещают сторонний заряд д.
Только з этом случае по силе Г формула (4.19) позволяет определить поле Е в диэлектрике. Следует обратить внимание, что на сам сторонний заряд — он сосредоточен на каком-то небольшом теле — будет действовать другое поле — не то, что в самом диэлектрике. И тем не менее, формула (4.19) дает, как это ни удивительно, верный результат. Поверхностная плотность силы. Речь пойдет о силе, действующей на единицу поверхности заряженного проводника в жидком или газообразном диэлектрике. Рассмотрим с этой целью плоский конденсатор в жидком диэлектрике. Пусть конденсатор заряжен и отключен от источника напряжения— чтобы заряд конденсатора и поле Е внутри него не менялись при раздвигании обкладок. Вернемся к рис. 4.4.
Энергия конденсатора — это энергия поля внутри него. В соответствии с (4.9) она равна )т" = (Е1)/2) Ях, Глаза 4 118 г„= — дИ'/дх~, = — ЕВВ/2, откуда поверхностная плотность силы ЕГ (4.20) Мы получили интересный и важный результат, имеющий общий характер (в жидком илн газообразном диэлектрике). Оказывается, поверхностная плотность силы, действующей на проводник, равна объемной плотности электрической энергии вблизи поверхности.
Направлена эта сила всегда по нормали к поверхности, причем наружу проводника (стремяоь его растянуть) независимо от знака поверхностного заряда. Задачи 4.1. Энергия взаимодействия. Точечный заряд д находится на расстоянии 1 от безграничной проводящей плоскости. Найти энергию взаимодейетвия И' этого заряда с зарядами, индуцированными на плоскости. Решение. Мысленно «заморозим» распределенный по плоскоети заряд, и в этих условиях переместим точечный заряд д з бесконечность. Заряд д при этом будет перемещатьея в потенциальном поле, которое эквивалентно полю неподвижного точечного фиктивного заряда -д, расположенного на неизменном расстоянии 1 по другую сторону от плоскости.
И мы сразу можем написать 1 д~ И' = — — —. 4яе, Л 4.2. Собственная, взаимная и полная энергии. Система состоит из двух концентрических металлических оболочек радиусами В, и Я» с соответствующими зарядами д, и о. Найти собственную энергию И«, и )У«каждой оболочки, энергию Й' юаимодействия оболочек и полную электрическую энергию И«данной системы, если В,> Вг Решение, Собственная энергия каждой оболочки еогласно (4.6) равна ур/2, где «р — потенциал оболочки, обусловленный только где Я вЂ” площадь каждой обкладки, х — расстояние между ними (Ях — объем, занимаемый полем). Согласно (4.16) сила, действующая на верхнюю обкладку, Эяергия электрического поля 11Я зарядом д на ней, т.
е. !р = д/4лл В, где  — радиус оболочки. Таким образом, собственная энергия каждой оболочки г 1 Ч1,2 И 1г 4язо 2В1,г Энергия же взаимодействия заряженных оболочек равна заряду д одной из них, умноженному на потенциал !р„который создает заряд другой оболочки в месте нахождения заряда дг И' = ур. В нашем случае (В, > В,) Ч2 1 Ч1Ч7 )т' = д, — — = — —. ' 4пео Вг 4пеа Вг Полная электрическая энергия системы 2 2 И1+ 2+ вэ + + Ч! Ч2 Ч1Ч2 4яло (2В! 2В, В, 4.3.
Два небольших металлических шарика радиусами В, и В, находятся в вакууме на расстоянии, значительно превышающем их размеры, и имеют некоторый определенный суммарный заряд. При каком отношении д,/д, зарядов на шариках электрическая энергия системы будет минимальнойг Какова при этом разность потенциалов между шарикамиу Решение. Электрическая энергия данной системы 2 г ~ = ~К!+ ~зг+ И!г - ' + 7 + 1 Д! Ч Ч!Чг 4пео ~2В 2Вг где И', и Игг — собственные электрические энергии шариков (ур/2)! И'„— энергия их взаимодействия (Ч,ор, или дггр,)1 1 — расстоание межДУ шаРиками. Так как Д, = Д вЂ” До гДе Ч вЂ” сУммарный заряд системы, то 1 ~ д,' (д - д!)' Ч1(д - д,) 4лза ~ 2В! 2В2 Энергия И' будет минимальной при дИ'/дд, = О.
Отсюда В, В, д В, + В, д' д В, + В, ' где учтено, что В, и В, значительно меньше 1 и д /дг = В/В ° Потенциал каждого шарика (их можно рассматривать как изолированные) ор оо д/В, поэтому из предыдущего равенства следует, что <р, = <р„т. е. разность потенциалов при таком распределении равна нулю. 4.4. Локализация энергии в иоле. Заряд 4 распределен равномерно по объему шара радиусом В.
Полагая диэлектрическую проницаемость всюду равной единице„найти собственную электрическую энергию шара н отношение энергии Игп локализованной внутри шара, к энергии И', в окружающем пространстве. Решение. Прежде всего найдем с помощью теоремы Гаусса поле внутри и вне шара: Е,= г(г<В) Е,= — — (г>В). Д 4язоВ' 4язо г' Теперь вычислим собственную электрическую энергию шара: И'=Иг, +Иг, = ~ 4лг Дг+ ~ — 4хг Дг= — ~ — +! . "ао4 г Г аоЕ * ((' 2 .Р 2 Зж,В~ 5 о л Отсюда следует, что Зд' И, И' = — —, 4хсо 5В Иго Интересно, что отношение И",/Иго не зависит от радиуса шара. 4.б.
Имеется сферическая оболочка. заряженная равномерно зарядом д. В центре ее расположен точечный заряд д„Найти работу электрических снл этой системы при расширении оболочки— увеличении ее радиуса от В, до В,. Решение. Работа электрических сил равна убыли электрической энергии системы: А =1Ф; — И;. Чтобы найти разность И; — И;, заметим, что при расширении оболочки (рис. 4.б) электрическое поле, а следовательно, и локализованная в нем энергия изменились только в заштрихованном сферическом слое. Значит, Иг — Иг = ) — о(Ео — Ео)4яг' дг л~ где Е, и Е, — напряженность полн (в заштрихованном слое на 121 Энергия электрическогополя расстоянии г от центра системы) до и после расширения оболочки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
