Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 20
Текст из файла (страница 20)
С помощью теоремы Гаусса находим ! Я+ДО 1 Яо Е1 = — — „Еэ —— 4пес г' " ' 4пзс г' В результате интегрирования получим Замечание. Если эту работу искать через потенциал как А = д(~р,— — срэ), где й — потенциал, создаваемый зарядом дс в месте нахождения заряда д. ответ будет другим — неверным. Связано это с тем, что при таком подходе не учитывается та дополнительная работа, которую совершают электрические силы при изменении конфигурации заряда д на расширяюк!ейея оболочке. 4.6.
Точечный заряд д находится в центре сферического незаряженного проводящего слоя, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно о и Ь. Какую работу произведут электрические силы в данной системе, если заряд д переместить из его первоначального положения через малое отверстие (рис. 4.6) на очень большое расстояние от сферического слояу Рнс.
4.6 Решение. Будем исходить из тато, что работа электрических сил равна убыли электрической энергии системы. Последняя же, как известно, локализована в самом поле. Поэтому вопрос сводится, по существу, к выяснению, как изменится само поле в результате этого процесса. Нетрудно сообразить, что поле вокруг заряда д изменится только в сферическом слое с внутренним и наружным радиусами а и Ь. В самом деле, в начальном положении заряда поля здесь не было, а в конечном положении поле з этом слое есть (ведь сам сферический проводящий слой будет находиться далеко от заряда д). 122 Глана 4 Следовательно, искомая работа ь А 11 )(г ~г г еоЕ 2 а Имея з виду, что Е = д/4яз,г' и буы4п~гдг, получим после интегрирования д' а — Ь А = — с О.
8кес аЬ 4.7. Работа при раздвижении пластин конденсатора. Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна Б. Какую работу А' против электрических сил надо совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками от х, до х„если при этом поддерживать неизменным: 1) заряд конденсатора, равный с; 2) напряжение на конденсаторе, равное У? Чему равно приращение электрической энергии конденсатора в обоих случаях? Решение. 1. Искоман рабата А = сЕ~ (хг — х,) = — (хт — х~) Ч 2аа~ где Е, — напряженкость коля, создаваемого одной обкладкой (Е = и/2з ).
Именно в этом поле перемещается заряд, находящийся на другой обкладке. Данная рабата целиком идет на приращение электрической энергии: ЕИ' = А'. 2. В этом случае сила, действующая на каждую обкладку конденсатора, будет зависеть ог расстояния между ними. Запишем элементарную работу силы, действующей на обкладку при ее перемещении на йх относительно другой обкладки: е~ЯУ пх 6А'=дЕ ах= О 2 х' где учтено, что с = СУ, Е, = У/2х и С = е,Б/х. После интегрирования получим Приращение электрической энергии конденсатора (С, — С,)Г?' есЯ(1'1 1 11 2 2 ~х, х~ 123 Энергня электрического поля Заметим, что Арг'= -А'. Таким образом, раздвигая обкладки, мы совершим положительную работу (против электрических сил), анергия же конденсатора при этом уменьшается. Чтобы понять, в чем тут дело.
надо обратиться к источнику, поддерживающему неизменной разность потенциалов на конденсаторе. Этот источник тоже совершает работу А,, причем согласно закону сохранения энергии А , + А =- ЛИ'.откуда видно,чтоА„ = ой' — А' = -2А' < О. 4.8. Силы, действующие между проводниками в диэлектрике. Плоский конденсатор опустили в горизонтальном положении в жидкий диэлектрик с проницаемостью с, который заполнил зазор между пластинами.
Ширина зазора Л. Затем конденсатор подключили к псстоннному напряжению (/. Найти силу /', действующую на единицу поверхности пластины со стороны диэлектрика. Решение. Результирующая сила /, которая действует на единицу площади каждой из пластин, может быть представлена как где /„— электрическая сила, действующая на единицу площади со стороны другой пластины (она представляет собой не что иное, как силу на единицу площади прн отсутствии диэлектри ка).
В нашем случае где Š— напряженность поля в месте нахождения одной из пластин, создаваемая зарядами друзой пластины. Имея в виду, что с = Р = сг (//Л.получим после подстановки (2) в (1): /'= /с () 1/с) = з (с ВзоУ /2Л Например, при В=800 В, Л = 1,0 мм и с = 81 (вода) /' = 7 кПа (0,07 атм). 4ЯЛ Сила, действующая на диэлектрик. В цилиндрический конденсатор вводят цилиндрический слой однородного диэлектрика с проницаемостыо с, который заполняет практически все пространство между обкладками, Средний радиус обкладок В, зазор между ними д, причем 4~В.
Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения (/. Найти силу, втягивающую диэлектрик в конденсатор. Решение. Воспользовавшись формулой И' д'/2С для энергии конденсатора, найдем согласно (4.1б), что искомая сила Глава 4 дй' д' дС/дх У' дС дх, 2 С' 2 дх Емкость данного конденсатора при условии д « В определяется формулой для плоского конденсатора, поэтому если диэлектрик вдвинут на глубину х, а длина конденсатора 1, то сэох 2лВ с,(1 — х) 2лВ с, 2лВ о' о („,.1 х) о( После подстановки (2) в (1) получим В, = з, (с — 1) лВ(/'/о). 4.10. Конденсатор состоит из двух неподвижных пластин, имеющих форму полукруга радиусом В, н расположенной между ними подвижной пластины из диэлектрика с проницаемостью с. Пластина может свободно поворачиваться вокруг оси О (рнс.
4.7), ее толщина Ь, что практически равно расстоянию между неподвижными пластинами. Между пластинами конденсатора поддерживается постоянное напряжение (/. Найти момент сил М относительно оси О, действующий на подвижную пластину в положении, показанном на рисунке. Решение. Работа, которую совершает момент сил М при повороте пластины на элементарный угол бп, равна убыли электрической анергни системы при с = сонэ( [см. (4,16)): М, о)а = — оПФ~, где )У = д'/2С. Поэтому ЛФ~ од дС/да Ы1 2 С' В данном случае С = С, + С„где С, и С, — емкости частей конденсатора без диэлектрика и с диэлектриком. Площадь сектора с углом и определнется как Я = аВ'/2, поэтому С = эоаВ'/2Ь + ззо (л — а) В'/2Ь.
зоВ' Отсюда — = о (1 — з). Подставим ато выражение в формудп 2Ь лу (1) и учтем, что С д/У, тогда (/2 В2 зоВ (/ М вЂ” — о (1 — з) — — (э — 1) о < О 2 2Ь 4Ь Знергяа электрического пела 12$ Отрицательное значение М, показывает, что момент этих сил действуег по часовой стрелке (против положительного направления отсчета угла сн см. рис.
4.7). Этот момент стремится втянуть диэлектрик внутрь конденсатора. Заметим, что М, не зависит от угла а. Однако в положении равновесия, когда и = О, момент М, - О. Это расхождение связано с тем, что при малых углах а нельзя пренебрегать краевыми эффектами, как мы делали при решении атой задачи. Глава 5 Постоянный электрический ток к 5 5.1.
Плотность тока. Уравнение непрерывности Электрический ток. В этой главе мы ограничимся рассмотрением тока проводимости в проводящей среде, главным образом в металлах. Электрический ток, как известно, представляет собой перенос заряда через ту или иную поверхность Я (например, через сечение проводника). Носителями тока з проводящей среде могут быть электроны (з металлах), либо ионы (в электролитах), либо другие частицы.
При отсутствии электрического поля носители тока совершают хаотическое движение и через любую воображаемую поверхность Я проходит в обе стороны в среднем одинаковое число носителей того и другого знака, так что ток через поверхность Я равен нулю.
При включении же электрического поля на хаотическое движение носителей накладывается упорядоченное движение с некоторой средней скоростью и и через поверхность Я появится ток, Таким образом, электрический ток — это, по существу, упорядоченный перенос электрических зарядов. Количественной мерой электрического тока служит сила люка 1, т.е. заряд, переносимый сквозь рассматриваемую поверхность Я в единицу времени: 1 = сЩ/бг. Единицей силы тока является амаер (А).
Плотность тока. Электрический ток может быть распределен по поверхности, через которую он протекает, неравномерно. Поэтому для более детальной характеристики тока вводят вектор плотности тока ). Модуль этого вектора численно равен Постоннный эоентрнчоснзй ток отношению силы тока с(1 через элементарную площадку, расположенную в данной точке перпендикулярно напранлению движения носителей, к ее площади дЯ~. / = И/дЯ~, За направление вектора ) принимают направление вектора скорости и упорядоченного движения аолохсизселэкых носителей (или направление, противоположное направлению вектора скорости упорядоченного движения отрицательных носителей).
Если носителями являются как положительные, так и отрицательные заряды, то плотность тока определяется формулой (5.1) )=р,з.+р з где р и р — объемные плотности положительного и отрицательного зарядов-носителей; и, и и — скорости их упорядоченного движения. В проводниках же, где носителями являются только электроны (р < 0 и и. = 0), плотность тока (5.2) )=Р з Поле вектора ) можно изобразить графически с помощью линий тока (линий вектора )), которые проводят так же, как и линии вектора К. Зная вектор плотности тока в каждой точке интересующей нас поверхности Я, можно найти и силу тока через эту поверхность как поток вектора ): (5.3) Сила тока 1 является величиной скалярной и алгебраической. Ее знак, как видно нз формулы (5.3), определяется, кроме всего прочего, выбором направления нормали в каждой точке поверхности Я, т.
е. выбором направления векторов с)Я. При изменении направления всех векторов ЙЯ на противоположное величина 1 меняет знак. Уравнение непрерывности. Представим себе в некоторой проводящей среде, где течет ток„замкнутую поверхность Я. Для замкнутых поверхностей векторы нормалей, а следовательно, и векторы д8 принято брать наружу, поэтому интеграл $) 66 дает заряд, выходящий в единицу времени наружу из объема Ъ". Глава б охватываемого поверхностью Я. В силу закона сохранения заряда этот интеграл равен убыли заряда в единицу времени внутри объема Т': (5.
4) Это соотношение называют уравнением некрерыености. Оно является, по существу, выражением закона сохранения электрического заряда. В случае стационарного (постоянного) тока распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным, т. е. в правой части (5.4) Йд/г)Ф = О. Следовательно, для постоянного тока (5. 5) иначе говоря, линии вектора ) в этом случае нигде не начинаются и нигде не заканчиваются.
Мы говорим, что в случае постоянного тока поле вектора ) не имеет источников. Дифференциальная форма уравнения непрерывности. Преобразуем последние два уравнения к дифференциальной форме. Для этого представим заряд д как ) р ЙК и правую часть (5.4) как Здесь взят знак частной производной р по времени, поскольку р может зависеть не только от времени,пои от координат. Итак, Дальнейшее следует проделать так же,как зто было сделано для потока вектора Е в э 1.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
