Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Из последних двух формул следует, что электрическая энергия распределена в пространстве с объемной плотностью (4. 10) Заметим, что эта формула справедлива только в случае иэотлропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение Р = кз,Е. Для анизотропных диэлектриков дело обстоит сложнее. Еще об обосновании формулы (4.9).
Энергия уединенного заряженного проводника, кэк известно, есть И" = ур/2. Покажем, что эта так, исходя из идеи о локализации энергии в поле. Рассмотрим произвольный положительно заряженный проводник. Выделим мысленно бесконечно малого сечение трубку, ограниченную линиями вектора Е (рис. 4.2), н з ней возьмем элементарный объем сП'= с1ЯЖ В этом объеме заключена энергия Эаергяя электрическою поля Рис. 4.2 Теперь найдем энергию, локализованную во всей выделенной нами трубке. Для втого проинтегрируем последнее выражение.
учитывая, что произведение В дЯ одинаково во всех сечениях трубки, и поэтому его можно вынести за знак интеграла: йИ = ~ Е61= — <р, Ю63 г ЮбЯ 2 2 л где А — начало трубки. Остается сделать последний шаг — проинтегрировать полученное выражение по всем трубкам, и мы найдем энергию, локализованную во всем поле. Принимая во внимание, что потенциал е одинаков у торцов всех трубок (они ведь начинаются на поверхности проводника), запишем где интегрирование проводится по замкнутой поверхности, совпадающей с одной из эквипотенциальных поверхяостей. По теореме Гаусса этот интеграл равен заряду с на проводнике, и мы получим окончательно И' = ур/2, что и требовалось доказать. рассмотрим два примера, иллюстрирующих возможности и преимутцества, которые дает использование идеи о локализации энергии в поле.
Пример 1. Точечный заряд с находится в центре шарового слоя иэ однородного диэлектрика с проницаемостью с..нутрвнн- 110 Глава 4 ний и наружный радиусы слоя равны соответственно а и Ь. Найти электрическую энергию, заключенную з данном, диэлектрическом слое. Мысленно выделим з диэлектрике очень тонкий концентрический сферический слой радиусом от г до г + бг. Энергия,локализованная в этом слое: г гПФ = — 4нг бг, еое Е 2 где Е = е/4з,з . Проинтегрировав предыдущее выражение по г от а до Ь„получим Пример 2.
Найти работу, которую надо совершить против электрических сил, чтобы удалить диэлектрическую пластинку из плоского заряженного конденсатора. Предполагается, что заряд о конденсатора остается неизменным и диэлектрик заполняет все пространство между обкладками. Емкость конденсатора без диэлектрика равна С. Работа против электрических сил в этой системе пойдет на приращение ее электрической энергии: б 2 ! где и', — энергия поля между обкладками конденсатора при наличии диэлектрика; И', — то же, но при отсутствии диэлектрика. Имея в виду, что модуль вектора П не изменится э результате извлечения пластины, т.
е. В, = 22, = о. запишем где У = ЯЬ и С = е Я/Ь; Я и Ь вЂ” площадь каждой обкладки и расстояние между ними. Работа поля при поляризации диэлектрика. Анализируя формулу (4.10) для объемной плотности энергии, мы замечаем, что при одном и том же значении Е величина ю при наличии диэлектрика оказывается в е раз болыпе, чем при отсутствии диэлектрика.
На первый взгляд это кажется странным: ведь ыт Зяереяя еленернеееяоее оолн напряженность поля в обоих случаях мы поддерживаем одной и той же. Как мы сейчас увидим, все дело в том, что при создании поля в диэлектрике оно совершает дополнительную работу, связанную с поляризацией. И под энергией поля в диэлектрике следует понимать всю энергию, которую нужно затратить на возбуждение электрического поля, а она складывается из собственной электрической энергии и той дополнительной работы, которая совершается при поляризации диэлектрика. '1тобы в этом убедиться, подставим в (4,10] вместо Э величину а Е + Р, тогда се.Е' ЕР и= — '+ 2 2 (4. 11) Первое слагаемое здесь совпадает с плотностью энергии поля Е в вакууме.
Остается проверить, что едополнительнаяе энергия ЕР/2 связана с поляризацией диэлектрика. Й( 1 1, Й1, -е- ' -е Рнс. 4.3 Подсчитаем работу, которую совершает электрическое поле на поляризацию единицы объема диэлектрика, т. е. на смещение зарядов р' и р соответственно по и против поля — при возрастании напряженности от Е до Е + ЙЕ. Пренебрегая членами второго порядка малости, запишем ЬА=р', ЕЙ1,+р' ЕЙ1 где Й1, и Й1 — дополнительные смещения при увеличении по- ля на ЙЕ (рис. 4.3). Учитывая, что р' = — р', получаем 6А = р', (Й1, — Й1 ) Е = р', Й1.
Е, где Й1 = Й1. — Й1 — дополнительное смещение положительных зарядов относительно отрицательных. Согласно (3.4) р,'Й1 = ЙР, и ЬА= ЕЙР. (4. 12) 112 Глаза 4 Так как Р = гее,Е, то М=Е.юе с)Е=сг ' =сс — . Отсюда вся работа на поляризацию единицы объема диэлек- трика (4.13) что совпадает со вторым слагаемым формулы (4.11). Таким образом, объемная плотность энергии и = Е))/2 включает в себя собственную энергию поля е Е'/2 и энергию ЕР/2, связанную с поляризацней вещества. 5 4.4. Система двух заряженных тел Представим себе систему из двух заряженных тел в вакууме.
Пусть одно тело создает в окружающем пространстве поле Е„ а другое — поле Е,. Результирующее поле Е = Е, + Е, и квадрат этой величины Ег = Ег+Ег+2Е Е Поэтому полная энергия 1)с данной системы согласно (4.9) равна сумме трех интегралов: Ег Ег И" = ~ — '' сП" + ~ ' с)Р+ ~ еоЕсЕгсП', (4.14) что совпадает с формулой (4.5) и раскрывает полевой смысл входящих в нее слагаемых. Первые два интеграла в (4,14] представляют собой собственную энергию первого и второго заряженных тел (И', и Й;), последний интеграл — энергию их взаимодействия (Й;,).
Отметим следующие важные обстоятельства в связи с формулой (4.14). 1. Собственная энергия каждого заряженного тела — величина существенно положительная. Положительной является всегда Эяергяя електряеескоео поля и полная энергия (4.9) — это сразу видно из того, что под интегралом находятся существенно положительные величины. Энергия же взаимодействия может быть как положительной, так и отрицательной.
2. При всех возможных перемещениях заряженных тел, не изменяющих конфигурации зарядов на каждом теле, собственная энергия тел остается постоянной, и поэтому ее можно считать аддитивной постоянной в выражении для полной энергии еУ. В этих случаях изменения И' определяются всецело толысо изменениями взаимной энергии Й;г В частности, именно так ведет себя энергия системы двух точечных зарядов при изменении расстояния между ними. 3. В отличие от вектора Е энергия электрического поля — величина не аддитивная, т.
е. энергия поля Е, являющегося суммой полей Е, и Е„вообще говоря, не равна сумме энергий обоих полей из-за взаимной энергии И;г В частности, при возрастании всюду Е в п раз энергия поля увеличивается в и' раз. 5 4.5. Силы нри наличии диэлектрика Электрострикция. Опыт показывает, что на диэлектрик в электрическом поле действуют силы (их иногда называют нондеромоясорными). Эти силы возникают и в тех случаях, когда диэлектрик в целом не заряжен. Причиной их возникновения является в конечном счете действие неоднородного электрического поля на дипольные молекулы поляризованного диэлектрика (как известно, на диполи в неоднородном алектрическом поле действует сила, направленная в сторону возрастания данного поля).
Причем эти силы обусловлены неоднородностью не только макрополя, но и микрополя, создаваемого в основном ближайшими молекулами поляризованного диэлектрика. Под действием указанных электрических сил поляризованный диэлектрик деформируется. Это явление называют алекисросисрикцкей. Вследствие электрострикции в диэлектрике возникают механические напряжения.
Все это приводит к тому, что на проводник, находящийся в поляризованном диэлектрике, действует не только элек- 114 Глава 4 окая сила, зависящая от зарядов на проводнике, но и дополнительная механическая сила со стороны диэлектрика. В общем случае влияние диэлектрика на результирующую силу, испытываемую проводником, не может быть учтено никакими простыми соотношениями, и задача вычисления сил с одновременным исследованием механизма их возникновения, как правило, оказывается весьма сложной.
Однако во многих случаях эти силы можно вычислить достаточно просто без детального анализа их происхождения — с помощью закона сохранения энергии. Энергетический метод определения сил. Этот метод является наиболее общим. Он позволяет, отвлекаясь от причин возникновения сил, автоматически учитывать все силовые взаимодействия (электрические и механические) и поэтому приводит к правильному результату.
Покажем, в чем суть энергетического метода расчета сил. Наиболее просто обстоит 'дело в случае, когда заряженные проводники отключены от источников напряжения. В этом случае заряды на проводниках остаются постоянными, и мы можем утверждать„что работа А всех внутренних сил системы при медленных перемещениях проводников и диэлектриков совершается целиком за счет убыли электрической энергии И' системы (или ее поля). Здесь предполагается, что при указанных перемещениях не происходит преобразования электрической энергии в другие формы, или, точнее, считается, что такие преобразования пренебрежимо малы. Таким образом, для бесконечно малых перемещений можно записать (4.15) где символ ц подчеркивает, что убыль энергии системы долж- на быть вычислена при постоянных зарядах на проводниках.
Уравнение (4.15) является исходным для определения сил, действующих на проводники и диэлектрики в электрическом поле. Делается это, например, так. Пусть нас интересует сила, действующая на данное тело (проводник или диэлектрик). Совершим бесконечно малое поступательное перемещение дх этого тела в интересующем нас направлении Х. Тогда работа искомой силы г на перемещении бх есть 6А = Р,сх, где Г.— Энергия злектрячееяеге палы 11б проекция силы г на положительное направление оси Х. После подстановки последнего выражения для бА в (4.15) и деления на дх получим (4.16) Следует обратить внимание вот на что. Сила, как известно, зависит только от положения тел и распределения зарядов в данный момент. Она не может зависеть от того, как будет развиваться энергетический процесс в том случае, если система придет в движение под действием сил. Л это значит, что для вычисления Р„по формуле (4.16) нет надобности подбирать такой режим, при котором обязательно все заряды проводников оставались бы постоянными (о = сопев).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
