Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Однако если сторонние заряды на границе раздела отсутствуют (о = О), то Глава 3 Поле Е Поле Р Рис. 3.9 Рис. 3.10 Пример. Изобразим графически поля Е и В у границы раздела двух однородных диэлектриков 1 и Л„считая, что е > е, и что стороннего заряда на этой поверхности нет. Так как г > е„то согласно(3.25» а > а, (рис. 3.10). Далее„из равенства тангенциальной составляющей вектора Е нетрудно сообразить с помощью рис. 3.9, что по модулю Е, < Е,, т. е. линии вектора Е в диэлектрике 1 должны быть гуще, это и показано на рис. 3.10. Из равенства же нормальных составляющих вектора В также нетрудно заключить, что по модулю Р > Р, т. е.
линии вектора В должны быть гуще в диэлетрике 2. Мы видим, что в нашем случае линии вектора Е испытывают преломление и, кроме того, терпят разрыв (из-за наличия связанных зарядов), линии же вектора В испытывают только преломление, без разрыва (так как сторонних зарядов на границе нег). Условие на границе проводник — диэлектрик. Если среда 1— проводник, а среда 2 — дивлектрик (см. рис. 3.8), то из формулы (3.23) следует, что (3.26) где и — внешняя по отношению к проводнику нормаль (двойка в индексе здесь опущена, поскольку она не существенна в данном случае).
Убедимся в справедливости формулы (3.26). В состоянии равновесия электрическое поле внутри проводника Е = О, значит„и поляризованность Р = О. А это, в свою очередь, означает согласно (3.17), что и вектор В = О Элеатоичееиое поле в диэлектрике внутри проводника, т. е. в обозначениях формулы (3.23) Р, = О и Р,„= О. Остается Р„= о. Связанный заряд у поверхности проводника. Если к заряженному участку поверхности проводника прилегает однородный диэлектрик, то на границе этого диэлектрика с проводником выступают связанные заряды некоторой плотности г/ (напомним, что для однородного диэлектрика объемная плотность связанных зарядов р = 0). Применим теперь теорему Гаусса к вектору Š— аналогично тому, как зто было сделано при выводе формулы (2.2).
Имея в виду, что на границе раздела проводника с диэлектриком есть как сторонние, так и связанные заряды (а и о), придем к следующему выражению." Е,= (о + о')/з,. С другой стороны, согласно (3.26) Е„= Р„/езо= = о/ззо. Из этих двух уравнений находим; о/з = о + а, откуда Видно, что поверхностная плотность о связанного заряда в диэлектрике однозначно связана с поверхностной плотностью и стороннего заряда на проводнике, причем знаки этих зарядов противоположны.
5 3.6. Поле и однородном диэлектрике Еще в Э 2.1 было отмечено, что определение результирующего поля Е в веществе сопряжено с большими трудностями, поскольку мы не знаем заранее, как распределяются индуцированные заряды в веществе. Ясно только, что распределение этих зарядов зависит от природы и формы вещества, а также от конфигурации внешнего поля Е . Поэтому в общем случае решение вопроса о результирующем поле Е в диэлектрике наталкивается на серьезные трудности: определение макрополя Е' связанных зарядов в каждом конкретном случае представляет собой, вообще говоря, сложную самостоятельную задачу — универсальной формулы для нахождения Е', к сожалению, нет. Глава 3 Исключение составляет случай, когда все пространство, где имеется поле Е, заполнено однородным изотропным диэлектриком.
Рассмотрим этот случай более подробно. Представим себе заряженный проводник (или проводники) в вакууме— обычно сторонние заряды располагают на проводниках. Кэк мы уже знаем, в состоянии равновесия поле внутри проводника Е = О, это при определенном и единственном распределении поверхностного заряда и. Пусть в окружающем проводник пространстве создано при этом поле Е . Теперь заполним все пространство, где есть поле, однородным диэлектриком. В таком диэлектрике вследствие его поляризации появятся только поверхностные связанные заряды и — на границе с проводником, причем заряды о однозначно связаны со сторонними зарядами о на поверхности проводника согласно (3.27). Внутри же проводника поле по-прежнему будет отсутствовать (Е = 0). Это значит, что распределение поверхностных зарядов (сторонних о + связанных о ) на границе раздела проводника и диэлектрика будет яодобяо прежнему распределению сторонних зарядов (о), и конфигурация результирующего поля Е в диэлектрике останется той же, что и при отсутствии диэлектрика.
Изменится только значение поля в каждой точке. Согласно теореме Гаусса о + и' = з,Е., где Е„= Р„/гз = и/зз„ поэтому (3.28) а+ а' = о/з. Но если заряды, создающие электрическое поле, всюду на границе раздела уменьшились в з раз, значит, и само поле Е тоже стало всюду меньше поля Ес во столько же раз: Е = Е„/з. (3.29) Умножив обе части этого равенства на зза, получим (З.ЗО) поле вектора В в рассматриваемом случае не меняется. Формулы (3,29) и (3.30), оказь1вается, справедливы и з более общем случае, когда однородный диэлектрик целиком запол- Электрическое поле в диэлектрике няет объем между эквнпотенцнальнымн поверхностями поля Ес сторонних зарядов (нлн внешнего поля).
И здесь внутри диэлектрика Е = Е /е н В = В . В указанных случаях напряженность Е поля связанных зарядов находится в простой связи с поляризованностью Р днэлектрнка, а именно (3.31) Е' = — Р/ес. Это соотношение легко получить нз формулы Е = Ес + Е', если учесть, что Е = з Е н Р = мз Е. В других случаях, как уже было отмечено, дело обстоит значительно сложнее, н формулы (3.29) — (3.31) становятся не справедливыми. Следствия.
Итак. если однородный диэлектрик заполняет все пространство, занимаемое полем, то напряженность Е поля будет в з раз меньше напряженности Е поля тех же сторонних зарядов, но прн отсутствии диэлектрика. Отсюда следует, что потенциал д во всех точках также уменьшается в з раз: (3.32) Ф = сев~с, где д — потенциал поля в отсутствие диэлектрика. Вто же относится н к разности потенциалов (3.33) ('сге ° где Се — разность потенциалов з вакууме, без диэлектрика.
В простейшем случае, когда однородный диэлектрик заполняет все пространство между обкладками конденсатпора, разность потенциалов У между его обкладками будет в с раз меньше, чем прн отсутствия днэлектрнка (разумеется, прн том же. значении заряда д на обкладках). А раз так, то емкость конденсатора (С = д/У) прн заполнении его диэлектриком увелнчнтся в с раз: С'=гС, (3. 34) где С вЂ” емкость конденсатора без диэлектрика. Следует обратить внимание на то, что эта формула справедлива прн заполненнн всего пространства между обкладками конденсатора н без учета краевых эффектов.
92 Глава 3 Задачи 3.1. Поляризоваиность диэлектрика и связанный заряд. Точечный сторонний заряд с находится в центре сферического слоя неоднородного изотропного диэлектрика, проницаемость которого изменяется только в радиальном направлении по закону с = а/г, где а — постоянная, г — расстояние от центра системы. Найти объемную плотность р' свяаанных аарядов как функцию г внутри слоя. Решение. Воспользуемся уравнением (З,б), взяв в качестве замкнутой поверхности сферу радяусом г, центр которой совпадает с центром системы. 'Тогда 4нг Р, = — с'(г), где д'(г) — связанный заряд внутри этой сферы.
Запишем дифференциал этого выражения: Здесь бд' — связанный заряд в тонком слое между сферами радиусов г и г + бг. Имея в виду, что бд' р'4яг с1г, преобразуем (1) к виду г ((Р„+ 2гР, бг = — р'г~ бг, откуда р'= — — "+ — Р, . (2) В нашем случае Š— ) Š— ! Д )а = юса4. = 1)г = т 4нг' и выражение (2) после соответствующих преобразований будет иметь вид Ч р =— 4па г' Это и есть искомый результат.
3.2. 'Георема Гаусса для вектора Гь Бесконечно большая пластина из однородного диэлектрика с проницаемостью е заряжена равномерно сторонним зарядом с объемной плотностью р > О. Толщина пластины 2а. Найти: 1) модуль вектора К и потенциал ~р как функции расстояния 1 ог середины пластины (потенциал в середине пластины положить равным нулю); взяв координатную ось Х перпендикулярно пла- Электрическое поле в диэлектрике стнне, изобразить примерные графики зависимостей проекции Е„(х) вектора К н потенциала ф(х); 2) поверхностную и объемную плотности свяаанного ааряда. Решение. 1. Из соображений симметрии ясно, что в середине пластины Е = О„а во всех остальных точках вектор К перпендикулярен поверхности пластины.
Для определения Е воспользуемся теоремой Гаусса для вектора Р (ибо нам иавестно распределение только сторонних зарядов). Возьмем в качестве замкнутой поверхности прямой цилиндр высотой 1, один торец которого совпадает со средней плоскостью пластины. Пусть площадь сечения этого цилиндра равна Я, тогда ВЯ=РЯ(, 1)=р(, Е=Р1/еео («и), 1)Я = РЯа, Р=ра, Е= ра/ее, (1 Р а).
Графики функций Е (х) и ф(х) показаны на рис. 3.11. Полезно убедиться, что график Е„(х) соответствует производной -дф/дх. О а Ь г 0 а Ь г а) а) Рис. 3.11 Ряс. 3.12 2. Согласно (3.13) поверхностная плотность связанного заряда Š— 1 и' = Р„= ю еоЕ. = — Ра > О. Этот результат справедлив для обеих поверхностей пластины. Таким образом, если сторонний заряд Р > О, то на обеих поверхностях пластины выступит также положительный связанный ааряд. Для определения объемной плотности связанного заряда воспользуемся уравнением (3.9), которое в нашем случае будет иметь наиболее простой вид: аР. а /Е-1 ) -1 Р'= — = — ~ Рх!= Р. ах а ~ е Глава 3 Отсюда видно, что связанный заряд распределен по объему рав- номерно и имеет анак, противоположный стороннему заряду. 3.3.
Однородный диэлектрик имеет вид сферического слоя, внутренний и внешний радиусы которого равны а и Ь. Изобрааить примерные графики напряженности Е и потенциала Ф электрического поля как функции расстояния г от центра системы, если диэлектрику сообщили положительный сторонний заряд, распределенный равномерно: 1) по внутренней поверхности слоя; 2) по объему слоя. Решение. 1. Воспользуемся теоремой Гаусса для вектора В, взяв в качестве замкнутой поверхности сферу радиусом г: 4кг~д = д, где д — сторонний заряд внутри этой сферы. Отсюда следует„что Ю(г < а) = О, В (г > а) = д/4кг Искомая напряженность Е(г < а) = О, Е(г > а) = Р/сз График зависимости Е(г) показан на рис. 3.12, а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
