Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Этот закон записывает- 1 ся в виде р 4]тг] 4х г (6.3) где р — магнитная постоянная; коэффициент рз/4к = (О " Гн/м; Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл). Рис. 6.1 Рнс. 6.2 Электрическое поле точечного заряда д, движущегося с нере- лятивистской скоростью, описывается тем же законом (1.3). Поэтому выражение (6.3) можно представить как В = зеро ]чЕ] = ]тЕ]/с', (6.4) Формула (6.3) справедлива н в случае, когда заряд движется с ускорением, однако только на достаточно малых расстояниях г от заряда (малых на- столько, что за время с/с скорость т заряда заметно не меняется). г — радиус-вектор, проведенный от заряда о к точке наблюдения.
Конец радиуса-вектора г неподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью ч (рис. 6.1), поэтому вектор В в данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени. В соответствии с формулой (6.3) вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы у и г, причем вращение вокруг вектора т в направлении вектора В образует с направлением у правовинтовую систему (рис. 6.1). Отметим, что вектор В является аксиальным (псевдовектором). Величину В называют магнитной индукцией. Магзитвоз пале в вакууме где с — злзнтродинамичесная настоянная ( с = )/Др, ), она равна скорости света в вакууме (совпадение, как потом выяснилось, не случайное).
Пример. Сравнение сил магнитного и электрического взаимодействий движущихся зарядов. Пусть два достаточно массивных точечных заряда о движутся параллельно друг другу с одинаковой нерелятивистской скоростью т, как покааано на рис. 6.2. Найти отношение магнитной Е'„ и электрической Е, сил, действующих, например, со стороны заряда 1 на заряд 2. Согласно (6.2) Е„ = оэВ и Е, = оЕ, где о — скорость заряда 2, а В и Š— индукция магнитного и напряженность электрического полей, создаваемых зарядом 1 в месте нахождения заряда 2.
Отношение К„/Е, - оВ/Е. В нашем случае согласно (6.4) В = оЕ/се, поэтому Е„/Г, =(о/с) . (6.5) Даже для достаточно больших скоростей, например о 300 км/с. это отношение равно 10, т. е. магнитная часть силы з миллион рзз меньше электрической и составляет ничтожную поправку к алектрической силе. Рассмотренный пример может вызвать естественный вопрос— стоит ли такие силы изучать? Оказывается, стоит, и на это есть две веские причины. Во-первых, нам приходится встречаться с пучками частиц, движущихся почти со световыми скоростями, и там эта зпоправказ к электрической силе становится сравнимой с последней (заметим, что отношение (6.5) справедливо и при релятивистских скоростях).
Во-вторых, при движении, например, электронов вдоль проводов их направленная скорость при обычных плотностях составляет несколько десятых миллиметра в секунду, и отношеи -зз ние (о/с) = 10 . Ничтожная поправка к электрической силе! Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — зто практически в с я действующая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отрицательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного Глава 6 точнее чем 10, и «ничтожнаяв магнитная сила оказывается, по существу, единственной. А участие громадного числа зарядов в создании тока компенсирует малость этого члена.
Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока. Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходят электрические силы, действующие на избыточные заряды проводов. 5 6.2. Закон Био — Савара Принцип суперпозиции. Опыт дает, что для магнитного полн, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими движущимисн зарядами или токами, резко векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности: ~в=~в,. 1 (6.6) Закон Био-Савара.
Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого настоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (6.3), определяющего индукцию поля Б равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (6.3) вместо д заряд роу, где с5'— элементарный объем, р — объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, и учтем, что рт = ) согласно (5.2). Тогда формула (6.3) приобретет следующий вид: (6.7) Если же ток 1 течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения Л8, то 16$' = )ЬЗ й = 161, где и( — элемент длины щювода. Введя вектор сП в направлении тока 1, перепишем предыдущее равенство так: 1 Й)' = 1Й). (6.8) 159 Магвитное полез вакууме Векторы )ЙИ и 161 называют соответственно объемным и ли- кекным элементами тока.
Произведя в формуле (6.7) замену объемного элемента тока на линейный„цолучим (6.9) Формулы (6.7) и (6.9) выражают закон Био — Савара. Полное поле В в соответствии с принципом суперпозиции оп- ределяется в результате интегрирования выражений (6.7) или (6.9) по веем элементам тока: а ' В ~ з )аа 1)г~д)г )а„1~6), г~ 4л г 4я г' Пример 1. Магнитное поле прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 6.3). Согласно (6.9) з произвольной точке А векторы ЗВ от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов ЙВ мож- но заменить сложением их модулей дВ, причем ра 1Жсозо 4к гг Из рисунка видно, что «)а соз са = га)а и г = Ыссэ а. Значит 1созцда 4к Ь Интегрируя последнее выражение по всем элементам то- ка, что эквивалентно интегрированию по о от — х/2 до к/2, находим ра 21 В = — а —.
4к Ь' (6.11) расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока произвольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет определенную симметрию. Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока. ьво Глава 6 Рис. б.4 Пример 2. Магнитное поле на оси кругового тока. На рис. 6.4 показан вектор о)В от элемента тока ХЖ. находящегося справа. От всех элементов тока будет обрааовываться конус векторов дВ, и легко сообразить, что результирующий вектор В в точке А будет направлен вверх по оси Я.
Это значит, что для нахождения модуля вектора В достаточно сложить проекции векторов ЙВ на ось Е. Каждая такая проекция имеет нид Щ = ЙВсов6 = — о — соа6, Но ™ 4п гг где учтено, что угол между элементом д) и рахиусом- вектором г равен х/2, поэтому синус равен единице. Ин- тегрируя это выражение по всем о«(это дает 2пЯ) и учи- тывая, что соа 6 = Я/г и г' = з' + В', получаем В )оо 2пЯ'1 12 +В) (6.12) Отсюда следует, что в центре витка с током (з = 0) и на расстоянии а» В модуль вектора В равен )оо 2п/ )оо (6.18) «-о йп Р» * о 4п хз твт Маткиткее поле в вакууме 5 6.3. Основные законы магнитного поля Магнитное поле обладает, как и электрическое поле.
двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основные законы магыитыого поля. Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о зрафическом представлении поля В. Как и любое другое векторное поле, поле В может быть представлено наглядно с помощью линий вектора В. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора В, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора В в данном месте.
Полученная таким образом геометрическая картиыа позволяет легко судить о конфигурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций. А теперь обратимся к основным закоыам магнитного поля— теореме Гаусса и теореме о циркуляции. Теорема Гаусса для поля В. Поток вектора В сквозь любую замкнутпую поверхность равен нулю: (6.
14) Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постулативной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора В не имеют ыи начала, ни конца. Поэтому число линий вектора В, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью Я, всегда равно числу линий, входящих в этот объем. Отсюда вытекает важное следствие. которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность Я, озраниченную некотпорым замкнутым контиуром, кв зависит от формы поверхности Я. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора В: так как они нигде не прерываются, их число сквозь поверхность Я, ограниченную данным контуром ~т.
е. поток вектора В), действительно не должно зависеть от формы поверхыости Я. 162 Глввв 6 Закон (6.14) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора В. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому. Теорема о циркуляции вектора В (для магнитного поля постоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произвольному контуру Г равна произведению р на алгебраическую сумму тпоков, охватываемых контуром Г: (6.15) где 1 = Х 1„причем 1„— величины алгебраические.
Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным. Это правило иллюстрирует рис. 6.5: здесь токи 1, и 1в положительные, ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта, а ток 1, — отрицательный. Теорема о циркуляции (6.15) может быть доказана исходя из закона Био — Савара.
В общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (6.15) как постулат, подтвержденный экспериментально. Еще одно замечание. Если ток 1 в (6.15) распределен по объе- му, где расположен контур Г, то его можно представить как Мвепптпое поле в вакууме Интеграл здесь берется по произвольной поверхности Я, натянутой на контур Г. Плотность тока ) под интегралом соответствует точке, где расположена площадка 6$, причем вектор 68 образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
