Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Найти магнитную индукцию В внутри полости. Решенке. Искомую величину можно представить согласно принципу суперпозиции как В= — В', где  — магнитная индукция в том случае, если бы проводник был сплошным (без полости), а В' — магнитная индукция поля в той же точке от тока, текущего по части провода.
которую мы удалили, обрааовав полость круглого сечения. Рис. 6.21 Рис. 6.20 Таким обрааом, задача предусматривает прежде всего вычисление магнитной индукции В внутри сплошного провода на расстоянии г от его оси. Воспользовавшись теоремой о циркуляции, запишем 2лгВ = ропоо/. откуда В - р г//2. Последнее равенство можно представить с помощью рис. 6.20 в векторной форме: В =до()г]/2.
182 Глава 6 Предетавив теперь по этой формуле В и В', иэ выражения (1) найдем их разность: Но [. [ Но [ ~ Но [. 2 2 2 Из рис. 6.21 видно, что г =! + г', откуда г — г' = ) и В =На [))]/2. Таким образом, в нашем случае магнитное поле В в полости является однородным, и если ток течет к нам (рис. 6.21), то поле В направлено в плоскости этого риоунка вверх. 6.6. Принцип суперпозиция. Имеется длинный соленоид с током й Площадь поперечного сечения соленоида Я, число витков на единицу длины л.
Найти магнитный поток сквозь торец этого соленоида. Решение. Пусть поток вектора В сквозь торец соленоида равен Ф. Если приставить к данному соленоиду еще такой же, то поток через соприкасающиеся торцы будет Ф + Ф = Ф, где Ф вЂ” поток сквозь поперечное сечение еоленоида вдали от его торца. Тогда Ф = Фо/2 = Нол28/2. Попутно следует обратить внимание на еледующие особенности поля В у торца длинного соленоида. 1. Линии вектора В расположены так, как показано на рис, 6.22. Это нетрудно понять с помощью принципа суперпозицни: если приставить справа еще такой же соленоид, поле В вне образованного таким образом составного соленоида должно обратиться в нуль, а это возможно только при указанной на рисунке конфигурации поля.
Рио. 6.Ж Рис. 6.23 Мап«итное поле в вакууме 2. Из того я«е принципа суперпозицнн следует, что нормальная составляющая В„будет одинакова по площади торца, нбо при образовании составного соленоида В„ + В„ = В«, где В„ — поле внутри соленоида вдали от его торцов. В центре торца В = В„, и мы получаем,что В = В /2. 6.6.Поле солено»ща. Намоткой длинного соленоида с радиусом сечения а служит тонкая лента-проводник шириной Ь, намотанная в один слой практически вплотную. Вдоль ленты течет постоянный ток 1. Найти магнитное поле В внутри и вне соленоида как функцию расстояния г от его оси. Решение.
Вектор линейной плотности тока» можно представить в виде суммы двух составляющих: 1=«+»)), смысл векторов! и ), ясен ив рис. 6.23, б. В нашем случае модули зтих векторов можно найти с помощью рис. 6.23, а по формулам: » = ) вша = 1/2яс. Магнитная индукции В внутри соленоида определяется согласно (6.20) величиной ), а вне соленоида — величиной ): в,=»,,=)»л«)~ж-)«д )' ) ), В, = )»«»)и/г = )««1/2яг (г ) а), где при вычислении В вне соленоида была использована твоа рема о циркуляции: 2ягВ, - р,2аа)Р Таким образом, представив ток в соленоиде в виде суперпозиции «поперечной» и «продольной» составляющих, мы пришли к выводу, что внутри такого соленоида существует только продольная составляющая поля В, а вне соленоида — только поперечная (как от прямого тока).
Кроме того, если уменыпить ширину ленты, оставляя неизменной плотность тока, то при Ь -» 0 сила тока 1 — » О, но 1/Ь = сопв1. В атом случае остается только поле внутри соленоида— соленоид становится «идеальным». Глава 6 Решение. На каждом из проводов (протекает по ним ток или нет) имеются избыточные поверхностные заряды (рис. 6.24). Поэтому кроме магнитной силы г необходимо учесть и электрическую Е', Пусть на единицу длины провода приходится избыточный заряд Л.
Тогда электрическая сила, действующая на единицу длины провода со стороны другого провода, может быть найдена с помощью теоремы Гаусса: 1 2Л 2Л' Е, =ЛЕ=Л вЂ” — = 4кео 1 4леа( где 1 — расстояние между осями проводов. Магнитную же силу. действующую также на единицу длины провода, можно найти с помощью теоремы о циркуляции вектора В: г'„= (рр/4к) 21~!1, где à — сила тока в проводе. Рис.
6.24 Заметим, что обе силы — электрическая и магнитная — направ- лены в противоположные стороны. Электрическая сила обуслов- ливает притяжение проводов, магнитная — их отталкивание. Найдем отношение этих сил: Р„/Е, = е,)ге('Д'. Меэкду величинами 7 и Л существует определенная связь (см. за- дачу 2.8): С ( к з О 1и т) (2) 6.7. Взаимодействие параллельных проводников. Два длинных провода с пренебрежимо малым сопротивлением аамкнуты с одного конца на сопротивление )1, а с другого конца подключены к источнику постоянного напряжения. Радиус сечения каждого провода в г) = 20 раз меньше расстояния между осами проводов.
Прн каком значении сопротивления В результирующая сила взаимодействия проводов обратится в нульу 166 Магиитзае поле в вакууме где П = ВА Поэтому из соотношения (2) следует, что 1~). = 1п Ч/язоВ. (3) После подстановки (3) в (1) получим Р„Ро 1п Ч о х В Результирующая сила взаимодействия обращается в нуль, когда последнее отношение равно единице. Это будет при В =В, где В, =~ — — =ЗбООм.
1(з 1пц со Если В с В„то г > Р, — провода отталкиваются. если же В > В,„ то Р„< Г, — проводе притягиваются. Это можно наблюдать на опыте. Таким образом, утверждение, что провода, по которым текут токи противоположного направления, отталкиваются, справедливо тогда, когда электрической частью взаимодействия можно пренебречь, т. е.
при достаточно малом сопротивлении В в схеме (6.24). Кроме того, измерив силу взаимодействия между проводами с током (а сила всегда измеряется как результирующая), мы не можем, вообще говоря, определить силу тока Г. Это необходимо иметь в виду во избежание недоразумений. 6.8. Момент сил Ампера. В поле длинного прямого провода с током Е находится контур с током Т (рис. 6.25). Плоскость контура перпендикулярна прямому проводу. Найти момент сил Ампера, действующий на этот контур.
Необходимые размеры системы указаны на рисунке. Решение. Силы Ампера, действующие на криволинейные участки контура, равны нулю. Силы же, действующие на прямолинейные участки, создают пару сил. Момент этой пары сил нам и надо вычислить. 136 Глава 6 /э Рве. 6.26 Выделим два малых элемента контура (рис. 6.26). Из рисунка видно, что момент соответствующей им пары сил где элементарная сила Ампера бр = /ЖВ. (2) Зависимость магнитной индукции В от расстояния г до прямого провода находим с помощью теоремы о циркуляции: В = рэХ/2хг. (3) Теперь надставим (3) в (2), затем (2) в (1) и, учитывал, что 61 = бг и х = г сов ~р, проинтегрируем полученное выражение по г от а до Ь. В результате найдем М = (рэ/и) 11э(гЬ вЂ” а)э(п~р, причем вектор М направлен влево (рис.
6.26). 6.9. Небольшая катушка с током, имеющая магнитный момент р г находится на оси кругового витка радиусом В, по которому течет ток 1. Найти силу Р, действующую на катушку, если ее расетояние от центра витка равно (, а вектор р ориентирован, как показано на рис. 6.27. Решение. Искомая сила согласно (6.33) определяется так: к=р гВ/ап, где  — магнитная индукция поля, создаваемого витком в месте нахождения катушки.
Выберем ось 2 в направлении вектора р, тогда проекция (1) на эту ось будет иметь вид г', = р дВ,/дз = р„дВ/дэ, где учтено, что при заданном направлении тока в витке В = В. 187 Магиитвое поле в вакууме Магнитная индукция В определяется формулой (6.12), откуда дг 2 2((з + Вг)Ут Вследствие того что дВ/дг < О, проекция силы У, < О, т. е. вектор Р направлен в сторону витка с током 1. В векторном виде полученный результат можно представить так: 3 У=— 2 2((г + Вг)уз Заметим, что если бы вектор р„, (а значит, и ось Я) был направлен в противоположную сторону, то В, = — В и дВ,/дг > О, а следовательно, г, 'ь О н вектор Р был бы направлен вправо, т. е.
опять против вектора р„. 'Хаким образом, полученное выражение для Р справедливо для обеих ориентаций вектора р . 6.10. Вдоль длинного тонкостенного круглого цилиндра радиусом В течет ток 1. Какое давление испыть|вают стенки цилиндрау в 8 1 Р Рис. 6.28 Рнс. 8.27 Решение. Рассмотрим поверхностный элемент тока 1ЙВ, где (в линейная плотность тока, 6Я вЂ” элемент поверхности. Найдем связь между поверхностным и объемным элементами тока: Смысл входящих сюда величин пояснен на рис. 6.28. В вектор- ном виде )6)'=166.
Глава 6 Сила Ампера, действующая на поверхностный элемент тока, в этом случае определяется формулой, полученной из (6.28) путем замены (1): (2) где В' — магнитная индукции поля в месте нахождения данного элемента тока от всех других элементов тока, исключая данный. Чтобы найти В', поступим аналогично тому, как это было сделано для электрической силы (9 2.3). Пусть В, — магнитяая индукции поля, создаваемого самим поверхностным элементом тока в точках, очень близких к его поверхности (см.
рис. 6.29, где предполагается. что ток течет от нас). Согласно (6.22) В, = Нэ)/2. Далее, воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора В н соображениями симметрии, легко установить, что магнитная индукция поля снаружи цилиндра у его поверхности В = Н 2(2лЯ, (3) а внутри цилиндра поле отсутствует. Последнее означает, что поле В от всех остальных элементов тока в двух очень близких к поверхности цилиндра точках ) и 2 (см. рис, 6.29) должно быть одинаково и удовлетворять следующим условиям внутри и вне поверхности цилиндра: В"=В, н В=В'+В,.
=2В'. Отсюда следует, что В' = В/2. Подставив этот результат в (2), получим следующее выражение для искомого давления: 6Р 2В' Вт Р= — =)В'= — В'= —. ВВ Но 2Но Учитывая (3), найдем окончательно Р=Наг I2л В Из формулы (2) видно, что цилиндр испытывает боковое сжатие. ГЛаВЕ? Магнитное попе в веществе "в. 5 7.1. Намагничеиие вещества. Намагниченность Л (7. 1) В = В + В'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
