Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы) (1077800), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Итак, в общем случае уравнение (6.15) можно записать так: фВд) Ро~ )оэ Не~)ве)В. (6.17) Тот факт, что циркуляция вектора В, вообще говоря, не равна нулю, означает, что поле В не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоиднлъным. Так как циркуляция вектора В пропорциональна току 1, охватываемому контуром, то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором В соотношением, аналогичным Е = -%р. Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе 1ю контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное р Е. Впрочем, в той области пространства, где токов нет, магнитный потенциал ~р вводят и достаточно эффективно используют.
Роль теоремы о циркуляции вектора В. Эта теорема играет примерно ту же роль, что и теорема Гаусса для векторов Е и )). Мы знаем, что поле В определяется всеми токами, циркуляция же вектора В только теми токами, которые охватывает данный контур. Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить В. Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора В можно свести, выбрав разумно контур, к произведению В (или В ) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля В приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био — Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений, и расчет становится значительно сложнее.
Глава 6 5 6.4. Применения теоремы о циркуляции вектора В рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих аффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля В, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета. Пример 1. Магнитное поле прямого тока. Пусть постоянный ток 1 течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом а.
Найти индукцию В поля снаружи и внутри провода. Из симметрии задачи следует, что линии вектора В в данном случае должны иметь внд окружностей с центром на оси провода. Причем модуль вектора В должен бьггь одинаков во всех точках на расстоянии г от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора В для круглого контура Г, (рис. 6.6) В 2яг = у„Х, откуда следует, что зне провода В = (р /2п)1/г, (г в а). (6.(6) Заметим, что рещение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Био-Сезара) оказывается гораздо более сложным. В г г г ! ги ) а ) г 1 Ряс.
6.7 Ряс. 6.6 Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора В являются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора В для круглого контура Г (см. рис. 6.6) В 2яг = р Г„„где 1, - 1 (г/а)' — ток, охватываемый данным контуром. Отсюда мы находим, что внутри проводи В = (рз/2л/1г/а', (г я а). (6. Гй) Зависимость В(г) показана графически на рис. 6Л. 165 Магвитвое поле з вакууме Если провод имеет вид трубки, то снаружи индукция В определяется формулой (6.18), а внутри — магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора В.
Пример 2. Магнитное поле соленоида. Пусть ток 1 течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность цилиндра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом. Пусть на единицу длины соленоида приходится л витков проводника. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно приближенно заменить аамкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности. Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше нндукция магнитного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще. Из соображений симметрии ясно, что линии вектора В внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор В составляет с направлением тока в соленоиде право- винтовую систему.
Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнитного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный контур так, как показано на рис. 6.8. Циркуляция вектора В по данному контуру равна Вй и контур охватывает ток лП. Согласно теореме о циркуляции В( = р п(1, откуда следует, что внутри длинного соленоида В = )з,п(, (6.20) т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах аачастую пренебрегают).
Произведение л1 назыжист числом амвереижкое. При л = 2000 витков/м и 1 = 2 А магнитное поле внутри соленоида В = б мТл. Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 6.9). Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора В должны быть окружностями, центры которых расположены на оси ОО тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей. Глава 6 Рвс. 6.9 Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток Х1, где Ж вЂ” число витков в тороидальной катушке; 1 — ток в проводе.
Пусть радиус контура г, тогда по теореме о циркуляции В "2яг = в йП откуда следует, что внутри тороида В = (р /2х) Ю1/г. (6. 21) Из сравнения (6.21) с (6.18) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока ЮП текущего вдоль оси 00'. Устремив Ю и радиус тороида )1 к бесконечности (при неиаменном сечении тороида), в пределе получим выражение (6.20) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый контур проходит вне торонда, то токов он не охватывает, поэтому для такого контура В .2лг = 6. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует, В предыдущих рассуждениях предполагалось. что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось ОО' тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат строго в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси ОО'. Эта составляющая соадает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока. Пример 4. Магнитное поле плоскости с таком.
Рассмотрим безграничную проводнщую плоскость, по которой течет равномерно распределенный ток одного направления. На рис. 6.16 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено крестиками). Введем вонятне линейкой иложносжи азана как вектор ), направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора пред- Магаитаое поле а вакууме ставляет собой ток, приходящийся на единицу длины, которая играет роль апоперечного сечения». Ряс. 6ЛО Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообрааить, что реаультируюшее поле В будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (рис. 6.10). Эти направления легко установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля В воспользуемся теоремой о циркуляции вектора В. Зная, как расположены в этом случае линии вектора В, выберем контур в виде прямоугольника 1234 (рис. 6.10). Тогда по теореме о циркуляции 2В1 = р,!1. где ! — длина стороны контура, параллельной плоскости с током. Иа последнего равенства находим: В = р01/2. (6.22) Иэ полученной формулы видно, что магнитное поле кзк с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, но лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев.
Общие соображения. Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био — Савара. Однако теорема о циркуляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее. Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не должна создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоре- Глава 6 мы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора В, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной.
Здесь конфигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет, однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими. 5 6.5. Дифференциальная форма основных Законов магнитного поля Дивергенция поля В. теорема Гаусса (6.14) для поля В в дифференциальной форме имеет вид (6.23) т. е. диверэенвия воля В всюду равна нулю.
Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе нет), а электрические токи. Закон (6.23) является фукдаменпвальнымг он справедлив не только для постоянных, но и для переменных магнитных полей, Ротор поля В. Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о циркуляции вектора В, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме, расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета. С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора В к площади Я, ограниченной контуром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
