Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Г (О) 0 о — спин вверх ~ ° — спин вниз ~ Рис. 6.12. Заполнение энергетических уровней электронами прн Т~О Все состояния, энергия которых меньше энергии Ферми на величину порядка КТ, заняты электронами. Все состояния, энергия которых превосходит энергию Ферми на величину порядка ХТ, оказываются свободными.
И только в области энергий шириной порядка ЕТ вблизи энергии Ферми имеются уровни, частично заполненные электронами. Отметим, что, хотя ширина этой области, как правило, невелика по сравнению с энергией Ферми, эта область играет очень важную роль. Только электроны, заполняющие уровни в этой области, могут принимать участие в различных физических процессах, происходящих в металлах. Только их энергия может изменяться в ходе этих процессов. Зависимость функции распределения Г(Е) от энергии электронов при Т > 0 представлена на рис.
6.13. Поскольку, как и в Е случае Т = О, площадь под кривой ЦЕ) численно равна концентрации л свободных электронов в металле, то площади участков 51 н Яз оказываются равными. Площадь каждого из этих участков определяет число Е (О) Е электронов в единице объема металла, пеРешедших при нагРе- Рис. 6Д3. Вид функции распре- Разца с заполненных УРов- деления Еф) при Т~ 0 ней на незаполненные. Получим выражение для энергии Ферми Е~ при отличной от нуля температуре металла, используя соотношение (6.55): (6.62) оехр г +1 Это Выражение позволяет в принципе найти энергию Ферми Е~ как фУнкцию температуры Т и концентрации электронов а.
Од- 367 Ч! пако в общем случае интеграл в (6.62) точно не берется. Прибли женное значение интеграла удается получить прн КТ «Е . В этом случае Е„= Е„(0) (6.63) 12 Е„ (0) Из приведенных выше оценок для Ен (О) следует, что условие 'кТ «Ек(0) выполняется для всего диапазона температур, при котором металлы существуют в твердом виде. Это означает, что соотношение (6.63) справедливо для всех реализуемых на практике случаев.
Более того, во многих ситуациях поправка к Ен (О), определяемая выражением (6.63), оказывается ничтожно малой, так что ею можно пренебречь и считать, что Е~ = Е~(0). Действительно, если взять Ен (О) = 5 эВ, то при комнатной температуре, т. е. при КТ=0,025 эВ, относительная поправка к Е~(0) в выражении (6.63) составляет Е -Е (О) ' = 2 10 = 0,002 %. Е~ (О) Однако для понимания ряда физических явлений, таких, например, как изменение теплоемкости металлов при низких температурах или объяснение термоЭДС, зависимость Е от Т имеет принципиальное значение.
Выше мы рассмотрели распределение свободных электронов в металле по энергиям. Наряду с распределением по энергиям при анализе поведения электронов в металлах используются также распределения электронов по импульсом р и по скоростаи о. Эти распределения получаются из (6.54) и (6.56) с учетом того, 12Е что р=,~2тоЕ, а о= —. Ониимеютследующийвид: "то 368 ,1,, — Е1 р>ар, 16.641 н Л (р /(2то) — Е~~ ехр +1 кт 16.65) г з и Л ( гЛОП /2 - Е~ ) ехр +1 Ет ц частности, они позволяют найти средний импульс (р) и среднюю скорость (о) свободных электронов в металле. Вырожденный электронный газ. Проведенное рассмотрение относится главным образом к случаю вырожденного электронного газа, т.
е. газа, свойства которого существенно отличаются от свойств классического идеального газа вследствие неразличимости одинаковых частиц в квантовой механике. Отметим, что газ, состоящий из квантовых частиц, оказывается вырожденным тогда, когда среднее расстояние между частицами (а) становится меньше или сравнимым с дебройлевской длиной волны часпщы Хв, т.
е. (а) < Хв. Именно с этим связано то обстоятельство, что квантовые распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака в случае разреженных газов, когда это условие нарушается, переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана. Поведение газа в существенной степени зависит от его темпеРатуры. Температурои вырождения называется температура, ниже которой проявляются квантовые свойства газа, обусловленные тождественностью его часпщ. Для газа, состоящего из бозе-частиц, температура вырождения определяется как температура, ниже которой происходит бозе-конденсация, т.
е. переход заметной доли частиц в состояние с энергией Е = О. Именно с бозе-конденсацией связаны такие интересные физические явления, как сверхтекучесть жидкого гелия, т. е. его способность протекать через тонкие щели " капилляры без какой-либо вязкости, и сверхпроводимость некоторых металлов и сплавов. 369 Для газа, состоящего из ферми-частиц, температурой вырождения является температура Ферми Т~, определяемая из соотношения (6.61). Как следует из (6.60) и (6.61), температура вырождения тем больше, чем меньше масса частиц и чем больше их концентрация, поэтому Т особенно велика у электронного газа в металлах. Действительно, масса электрона очень мала (то= -30 =0,91 10 кг), а концентрация электронов в металлах достаточно велика (10 ...10 м ), что, согласно (6.60), приводит к зна- 28 29 -31 чению температуры Ферми порядка 10 К (см. табл.
6.1). При 4 температуре Т<Т, т. е. прн кТ<Е~(0), электронный газ в металлах является вырожденным, а при температуре Т ) Т~, т. е. при хТ > Е~ (О), — невырожденным. Поскольку температура Ферми для металлов имеет значение порядка 10 К, то злектрон- 4 ный газ в металлах оказывается вырожденным при всех температурах, при которых металл остается в твердом состоянии. В полупроводниках характер поведения электронного газа зависит от концентрации носителей заряда (электронов и дырок), которая обычно значительно меньше, чем концентрация электронов в металле.
Для многих чистых беспримесных полупроводников электронный газ может оказаться невырожденным уже при температуре Т > 300 К. Такой электронный газ следует рассматривать как классический газ, подчиняющийся статистике Максвелла — Больцмана. В примесных полупроводниках при высокой концентрации донорной примеси электронный газ может оказаться вырожденным вплоть до температуры Т -10 К. Такие полупроводники 3 называются вырожденными полупроводниками. Для обычных газов, состоящих из атомов или молекул, являющихся ферми-частицами, температура вырождения близка к абсолютному нулю. Поэтому такие газы во всей области температуР вплоть до температуры сжижения являются невырожденными н для описания их статистических свойств используется классическая статистика Максвелла — Больцмана.
370 Подводя итог описанию поведения электронного газа в металлах, остановимся на явлении сверхпроводимости. Сверхпроводимость была обнаружена в 1911 г. Х. Камерлинг-Оннесом в опытах по измерению сопротивления ртути при очень низких температурах. Она заключается в том, что при температуре Т„называемой критической (для ртути Т, =4,15 К), металл переходит в сверх- проводящее состояние, находясь в котором не оказывает никакого сопротивления движению потока электронов. Таким образом, сверхпроводимость представляет собой сверхтекучесть электронного газа.
Но электроны являются ферми- частицами, а сверхтекучесть, как уже отмечалось в 6.1 и 6.3, может наблюдаться только в системе бозе-частиц. В 1957 г. Дж. Бардин, )1. Купер и Дж. Шриффер показали, что электроны, взаимодействуя через решетку кристалла, могут объединяться в так называемые куперовские пары. Суммарный спин такой пары равен нулю, а это означает, что куперовская пара является бозоном. Направленное сверхтекучее движение куперовских пар электронов и создает сверхпроводящий ток в металлах. Задача 6.5.
Вычислите интервал между соседними энергетическими уровнями свободных электронов в металле при Т = 0 вблизи уровня Ферми. Считайте, что концентрация свободных электронов п=2 10зз см Решение. Воспользуемся выражением (6.58), переписав его в виде Ьл = о ГЕЬЕ, злз где Ьл — изменение числа электронов при переходе на соседний энергетический уровень, а ЬŠ— разность значений энергий ближайших энергетических уровней.
Поскольку, как уже отмечалось, иа каждом уровне при Т =0 находится два электрона, то Ьп = 2. Подставляя в приведенное соотношение выражение дая энергии Ферми (6.60), получаем з з 2п й 1 -22 ~о (Зя а) Зто значение настолько мало, что обнаружить его практически невозможно. Поэтому энергетический спектр свободных электронов в металле можно считать непрерывным (квазинепрерывным). 371 Задача 6.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
