Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 56
Текст из файла (страница 56)
До какой температуры нужно нагреть классический электронный газ, чтобы средняя энергия его электронов была равна средней энергии свободных электронов в серебре при Т=О К7 Энергия Ферми для серебра Е (0) = 5,51 эВ. Реигение. Среднее значение энергии свободных электронов в металле определяется в соответствии с 16.59) как )ЕГ(Е)йЕ (Е) = с )Р(Е)сйЕ о При Т = 0 функция распределения свободных электронов по энергиям Р (Е) имеет вкд 16.57), поэтому верхний предел интегрирования следует заменить на Ег (0).
Интегрируя, получаем кг(о) )' Ез1'1Е 1 Ецз,1Е о Средняя энергия электронов в случае классического электронного газа (Е) = — И. 3 Поскольку по условию задачи (Е) = (Е), то температура Т, при которой выполняется это равенство, Т 2Ег(0) 5 /с Подставляя в зто выражение значение Ег (0) для серебра, получаем Т = 2,55 10 К. Отметим одно важное обстоятельство. При нагреве вырожденного электронного газа лишь очень незначительная часть электронов изменяет свою энергию. Это те электроны, энергия которых лежит в интеРвале (Ег(0)-кТ, Ег(0)).
Действительно, посколькУ вплоть до температуры плавления металла выполняется условие 372 1,Т « Е (О), то доля электронов, изменяющих свою энергию при нагреве металла, оказывается ничтожно малой. Поэтому средняя энергия электронов при изменении температуры меняется столь незначительно, что этим изменением можно пренебречь и считать, что 3 (Е) = -Ег (О) и не зависит от температуры. Таким образом, из 5 квантовой теории следует, что электронный газ в металле, в отличие 3 от классического газа, для которого (Е) = — ИТ, не обладает теп- 2 лоемкостью. Этот результат согласуется с экспериментальными данными по теплоемкости твердых тел. Задача 6.7.
Сколько свободных электронов приходится на один атом калия, если энергия Ферми калия Ег = 2,14 эВ? Плотность калия р = 862 кг/м . Решении Энергия Ферми при не очень высоких температурах зависит от температуры слабо (см. соотношение (б.б3)). Поскольку в широком диапазоне температур вплоть до температуры плавления калия выполняется условие?сТ « Ег (О), то с достаточной точностью мож- но считать, что „г З Ег = Е„(0) = — (Зк~л) з . г, Пусть на один атом калия приходится з1 свободных электронов, тогда концентрация свободных электронов и и концентрация атомов калия и, связаны соотношением л = ил,.
Найдем концентрацию атомов калия л,. Относительная атомная масса калия А„= 39,1, молярная масса М= 0,001 А,= = 0,0391 кгlмоль. Число молей в единице объема вещества ч = —, а Р М количество частиц в одном моле равно постоянной Авогадро М„. Следовательно, концентрация атомов калия л = — 1т', а концен- Р в М А тРациа свободных злектРонов л = т1 — А1я. ПодставлЯЯ л в выРаже- Р М ние для энергии Ферми, получаем 373 Отсюда С учетом численных значений входящих в зто выражение величин находим, что на один атом калия нриходится з) = 1,07 свободных электронов.
Зто означает, что концентрация свободных электронов в металле может быть сравнима с концентрацией атомов. Задача 6.8. Найдите среднюю скорость свободных электронов в металле при Т= О, если энергия Ферми для этого металла Е (О) = = 5,51 эВ. Реизение. При решении этой задачи можно использовать распределение электронов как по энергиям (6.56), так н по скоростям (6.65). Продемонстрируем оба метода решения. Воспользуемся сначала распределением электронов по энергиям. Скорость свободных электронов в металле связана с нх кинетической энергией соотношением п(Е)= ~ — =~ — ГЕ. )2Е Полагая в выражении (6.59) у (Е) = с(Е), находим, что — ГеР(еке () о ло ')Г(Е)йЕ о Прн Т = О, заменяя верхний предел интегрирования на Ег (О), получаем кг(о) 374 где ек — скорость Ферми (максимальная скорость электронов в металле при Т =0).
Подставляя численные значения, получаем (о) = =1,05.10 мlс. Используем теперь распределение электронов по скоростям. В этом случае ( ог" (о)а~с ()=' ) г (е)с1е о где функция распределения Р (е) представлена выражением (6.65).
При Т=О лч г О, е>пг Подставляя Е (ю) в подынтегральные выражения и заменяя верхний предел интегрирования на ог, получаем 3 о 4 о Задача 6.9. Найдите коэффициент сжимаемостн (коэффициент упругости) а электронного газа в меди при температуре Т = 0 К.
Решеииа Коэффициент сжимаемосги, или упругости газа характеризует относительное изменение объема газа при изменении давления: 1 Л' Ы()пУ) а — — — —— У 1р 1р где У вЂ” объем газа; р — давление. Поскольку число частиц газа Ф остается постоянным, то при сжатии газа его концентрация будет возрастать, причем 375 л= —, 1пУ=1пФ-1пл, М У' где 1пЖ = сонэк В соответствии с этим Ы(1пУ) Н(1пл) Из кинетической теории известно, что давление, которое оказывает газ на стенку, определяется средней энергией поступательного движения частиц этого газа (Е) р = — л(Е). 2 3 Для вырожденного электронного газа при Т = 0 К (см.
задачу б.б) (Е) = — Ег (О), 5 или, с учетом (б.бО), 3 й~ (Е) = — (Зк~л) 5 2л/с Поэтому зависимость давления электронного газа р от его концентрации л при Т=О К имеетвид р= — л — — (Зп л) = — (Зк ) л 2 3 й з 2/3 1 ф з 2/3 5/3 3 5 2л/е 5/ло Отсюда -т// /з/з =[5 — '"/з/1 ] р"'=Ар"', й2 где А = сонм. Таким образом, 3 1п л = 1п А+ -1п р. 5 37б Подставляя это соотношение в выражение для коэффициента сжимаемости, получаем п(1пл) 3 о()п р) лр 5 г(р 5 р' Воспользовавшись найденной выше зависимостью р от л, придем к выражению Коэффициент сжимаемости электронного газа можно также выразить через энергию Ферми Ег (О). С учетом ( 6.60 ) получаем Збя л (Е (0))-зы (8 ) Взяв значение энергии Ферми для меди Ег (О) = 7,04 эВ = =1,13 10 ' Дж, получим численное значение коэффициента сжимаемости электронного газа в меди 36(3,14) (1,05 10 ) а= ' ' (1,1410 ") =1,33.10 ' Па '= (8.9,1.10 ~~) =1,38 10 атм '.
Отметим, что давление электронного газа является одним из основ- ных факторов, определяющих сжимаемость металлов. 6.6. Эмиссии электронов из металла Одним из наиболее важных практических приложений квантовой статистики Ферми — Дирака является изучение эмиссии электронов из металлов — физического явления, заключающегося в испускании электронов металлом. Эмиссия электронов может возникать при нагреве металлов (термоэлектронная эмиссия), при облучении металлов различными часпщами, например фотонами (фо- 377 тоэлектронная эмиссия), при приложении к металлу сильных электрических полей (холодная, или автоэлектронная, эмиссия) и т.
д, Фотоэлектронная эмиссия (внешний фотозффект) подробно рассмотрена в 1.4. Здесь же основное внимание уделено термоэлектронной и холодной эмиссии электронов из металлов. Работа выхода электронов из металла. Рассмотрим металл как систему заряженных частиц. Известно, что в металле имеются газ свободных электронов и положительно заряженные ионы, расположенные в узлах кристаллической решетки. Эти ионы создают внутри металла электрическое поле, потенциал которого ф периодически меняется вдоль прямой, проходящей через узлы решетки (рис.
6.14, а). Усредняя этот потенциал, будем считать, что всюду внутри металла он одинаков и равен уо (внутренний потенциал металла). Таким образом, свободный электрон, находящийся в металле, обладает потенциальной энергией -еуо. б Рис. 6.14. Свободные электроны в металле: а — внутренний потенциал ф; б — энергетические уровни электронов в металле при Т = О При переходе электрона из металла в вакуум его потенциальная энергия У становится равной нулю.
Это изменение потенциальной энергии с расстоянием г, хотя и носит достаточно резкий 378 характер, происходит не скачком, а на некотором расстоянии б, сравнимом с постоянной решетки кристалла (рис. 6.14, б). Отмены, что мы здесь не принимаем во внимание вклад в потенциальную энергию, связанный с зеркальным изображением электрона, находящегося вблизи поверхности металла. Учет этого вклада проведен далее при рассмотрении эффекта Шотгки. Таким образом, как уже отмечалось ранее, металл является для электрона потенциальной ямой.
Чтобы извлечь электрон из металла, необходимо совершить работу выхода. Определим эту работу. Если бы электроны в металле не обладали кинетической энергией, то для их освобождения потребовалось бы совершить работу, Равную глубине потенциальной ямы (7о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
