Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Запишем зто утверждение следующим 3 образом: ЛхЬуЬтЬР,Ьр Ьр =(2яй) =й, (6.26) Ь хор„= 2пй. (6.27) Таким образом, в фазовом пространстве на одно состояние для каяоюй координаты приходится объем, равный 2пл. 335 где Лх, Лу, Л~, Ьр„Ьру, Ьр, — размеры ячейки в фазовом пространстве, приходящейся на одно состояние. Поскольку все пространственные координаты х, у и я равноправны, то для одной координаты, например х, получаем Этот результат, как легко видеть, согласуется с принципом неопределенности. Действительно, размеры ячейки фазового пространства, приходящейся на одно состояние, должны определяться теми ограничениями на значения координаты и импульса, которые накладывают соотношения неопределенностей (2.16). Найдем теперь плотность квантовых состояний 8(Е), т.
е. число состояний, приходящихся на единичный интервал энергий. Согласно определению, О(Е+с1Е)-О(Е) йб(Е) с1Е с1Е Перепишем это выражение в виде 8(Е) = —. й7 ар с1р с1Е С учетом (6.24) и (6.25) получаем 81Е)= Х,—— с1р а 4 ярзУ 'аЕЫр 3(2пв)3 или в окончательном виде (Е)= 1 4кр У ар (2яй)3 йЕ (6.28) (6.29) ,Г2 3/2 Кз(Е)= 2 3 УГЕ. 336 Выражение (6.28) является общим, т. е.
справедливым для любых частиц. Найдем с его помощью плотность квантовых состояний для электронов и фотонов. Для нерелятивистских электронов р=,~2т~Е, а множитель 1, = 2. Подставляя эти значения в (6.28), получаем Е д фотонов р = —, где с — скорость света в вакууме, а мнос ль у, также равен двум, поскольку вследствие поперечности оной волны фотон может находиться в двух состояниях с разной поляризацией. Следовательно, вф(Е))= 2 3 3 Е ' к с"л (6.30) 6.3. Распределение Бозе — Эйнштейна йХм = Аме ьгарАр йр, (6.31а) и распределением Больимаиа а Ж4в= Аве ~'сЫудя. (6.31б) Здесь Аы и Ав — нормировочные константы; Е„и У вЂ” кинетическая и потенциальная энергии частицы соответственно; Й вЂ” постоянная Больцмана; Т вЂ” температура. Напомним, что при выводе статистических распределений отыскивается наиболее вероятное распределение частиц, т.
е. распределение, которое может быть реализовано наибольшим числом способов. Согласно основному постулату статистической физики, именно зто распределение является равновесным. Будем считать, что частицы не взаимодействуют друг с другом (модель идеального газа), а также полагать, что все распределения, которые приводят к одной и той же суммарной энергии частиц, реализуются с одинаковой вероятностью. В классической физике при выводе распределений считается* что одинаковые часты принципиально различимы. Это, 337 В классической физике распределение частиц по энергиям описывается хорошо известными нз курса молекулярной физики распределением Максвелла приводит к тому, что распределение, в котором одна из двух одинаковых частиц (часпща 1) находится в состоянии А, а другая (частица 2) в состоянии В, и распределение, в котором часпща 1 находится в состоянии В, а частица 2 — в состоянии А, являются двумя разными распределениями.
В квантовой механике эти два распределения в силу тождественности одинаковых частиц следует считать одним распределением. Кроме того, ввиду различия в свойствах ферми- и бозе-частиц, статистические распределения этих частиц должны существенно отличаться друг от друга.
Проиллюстрируем различие в распределении классических и квантовых частиц (фермионов и бозонов) на следующем примере. Пусть нам нужно распределить две частицы по трем состояниям (ячейкам). Классические частицы вследствие их различимости, будем отмечать номерами 1 и 2. Квантовые частицы одного вила принципиально неразличимы, будем изображать их черными кружочками. При этом ферми-частицы в соответствии с принципом Паули могут находиться в каждой ячейке только поодиночке, что же касается бозе-частиц, то никаких ограничений на распределение их по ячейкам не накладывается. Результаты распределения приведены ниже.
Классические частицы Бозоны Фермионы Д2Д Дг~1 Я Д [~~Д2 1 12Д1 1 )еЯ П 12 Д2 1 П2 1 1 Я Д [~~гД Д.Д [~п дя Для классических частиц число возможных распределений (микросостояний) равно девяти, а вероятность каждого распределения — 1/9. Для бозе-частиц получается шесть распределений, соответственно вероятность каждого из них равна 1/6. Для ферми-часпщ реализуются только три распределения с вероятноспю выпадения каждого из них, равной 1/3. Вывод распределении Бозе — Эйнштейна. Приступим теперь к выводу закона распределения бозе-частиц по энергиям. 338 Предварительно решим следующую вспомогательную задачу.
Пусть имеется длинный пенал, который может быть разделен на 2 ячеек с помощью 2 — 1 перегородок (Рис. 6.2). Найдем число способов, с помощью которых Ф неразличимых частиц могут быть распределены по ячейкам этого пенала. Поскольку мы имеем дело с бозе-частицами, то будем считать, что в каждой ячейке может находиться произвольное число частиц. ! 2 3 г-1 рис. 6.2. Возможное распределение бозе-частиц по ячейкам Следовательно, эта система состоит из М частиц и 2 — 1 перегородок, т.
е. из й!+2-1 элементов. Рассмотрим все возможные перестановки элементов этой системы. Следует отметить, что речь идет о перестановке не только частиц с частицами, но и перегородок с перегородками, что меняет нумерацию ячеек и, вообще говоря, число частиц в них. Кроме того, могут переставляться перегородки вместе с частицами, что приводит к изменению нумерации ячеек.
Общее число таких перестановок, согласно комбинаторике, равно (Ф+ У вЂ” 1) !. Однако не все они приводят к новым распределениям. Так, перестановки частиц ввиду их неразличимости не дают новых распределений. Число таких перестановок равно )т' !. Перестановки только перегородок тоже не приводят к новым Распределениям, их число равно (У-1)!. Таким образом, число способов Й, с помощьюкоторых й! тождественныхчастицмогут быть распределены по У ячейкам, равно (6.32) Проиллюстрируем полученный результат на следующем примере. Рассмотрим возможные распределения трех частиц по трем ячейкам (рис.
6.3). Всего таких распределений 10. Точно такой же Результатдаетвыражение (6.32) при М=3 и 2=3: 339 5! а= — '=10. з.г. Поскольку считалось, что в ячейке может находиться любое число частиц, то выражение (6.32) определяет число способов, с помощью которых Ф бозонов могут быть распределены по Е состояниям. Каждый способ размещения частиц представляет собой определенное микросостояние системы. Следовательно, П определяет число микросостояний, с помощью которых реализуется конкретное макросостояние системы. Таким образом, П есть термодинамическая вероятность, или статистический вес, макросостояния системы. Рнс. 6.3.
Распределение трех бозе-частиц по трем ячейкам Рассмотрим шестимерное фазовое пространство с ксюрдинатами х, у, т, р„, р, р,. Взтомпространствеуравнение ~(х, у, г, р, р, р )=Е=сопз$, где Š— полная энергия частицы, определяет изоэнергегнческую поверхность, т. е. поверхность, все точки которой отвечают одному и тому же значению энергии частицы. Разобьем с помощью изоэнергетических поверхностей фазовое пространство на тонкие энергетические слои.
Пусть ~-й слой ограничен поверхностями У(х, у, г, р„, р, р,)=Е; 340 Х(х у е Рх Ру Рк)=Е;+и Будем считать слой тонким, если ~Емч — Е;~ << Е;. В этом случае энергию всех частиц, попадающих в ~-й слой, можно считать одинаковой и равной Е, 3 Пусть объем ~'-го слоя составляет У;(2ил) .
Это означает, что с учетом выражения (6.26) число квантовых состояний (ячеек) для этого слоя равно У;. Примем, что в пределах ~-го слоя находится у, частиц. Тогда, согласно (6.32), статистический вес подсистемы, содержащей Ф; частиц, составит Статистический вес всей системы равен произведению статистических весов отдельных ее подсистем: (6.33) Как уже отмечалось, нас интересует распределение, которое может быть реализовано наибольшим числом способов, т.
е. распределение, для которого статистический вес й максимален. Таким образом, нужно найти максимум выражения (6.33). При этом следует иметь в виду, что полное число частиц системы и полная энергия системы Е =С~ П;Е; должны оставаться постоянными. Исследование на экстремум выражения (6.33) представляет собой достаточно сложную задачу, поэтому вместо максимума 341 статистического веса й будем искать максимум энтропии 5, ко.
торая связана со статистическим весом соотношением (6.34) Подставляя выражение (6.32) в (6.34), получаем Для дальнейших преобразований воспользуемся формулой Стирлинга !пп! = л1пл — л, справедливой при и»1. Считая, что Ф; »1 и У; »1, получаем Перепишем это выражение в виде Я = /с~[(Ф;+У; — 1)1п(У;+2; — 1) — У;(п)!(;~+С, (6.35) где С=1~ (У; — 1))п(2;-1). Слагаемое С в (6.35) независит от числа частиц Ф;, поэтому при отыскании максимума функции Я его можно не учитывать, так как в задаче на экстремум будет варьироваться только число частиц в слое Ф;.
Для отыскания максимума энтропии (см. выражение (6.35)) при условии постоянства полного числа частиц системы Ж и полной энергии Е воспользуемся методом множителей Лагранжа. Этот метод заключается в следующем. Пусть нам нужно найти экстремум функции У(х!> х2 - хя)1 аргументы которой удовлетворяют условиям 342 у (хп х2, ..., х„) = С~, уз(х!, х2, ..., ха) = С2, у„(х~, х2, ..., х„) = С„ где у~ уз „,, у„— некоторые известные функции, а Сп С2, ..., С„ константы. Для этого, согласно методу множителей Лагранжа, нужно построить функцию Здесь Х~, Хз, ..., Մ— постоянные коэффициенты, называемые множителями Лаграюка. Затем следует взять частные производные функции Г по всем переменным х; и приравнять их нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
