Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 49
Текст из файла (страница 49)
е. вид симметрии волновых функций не меняется с течением времени. Если волновая функция, описывающая состояние системы, в какой-либо момент времени является симметричной (антисимметричной), то этот тип симметрии сохраняется и в любой другой момент времени. Вазоны и фермионы. Часпщы, состояния которых описываются симметричными волновыми функциями, называются бозе- частицами нли бозонами.
Такое название они получили потому, что системы, состоящие из таких частиц, подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, разработанной индийским физиком Ш. Бозе для фотонов и развитой А. Эйнштейном для идеального газа. К бозонам относятся фотоны, и- и К-мезоны, фононы в твердом теле, экситоны в полупроводниках и диэлектриках и т. д. Важно 323 и отметить, что все бозе-частицы обладают нулевым или целочисленным олином.
Частицы, состояния которых описываются антисимметричны ми волновыми функщыми, называются ферми-частицами илн фермиоиами. Это название принято потому, что системы, состоящие из таких частиц, подчиняются статистике Ферми — Дирака, развитой итальянским физиком Э. Ферми и английским физиком П. Дираком. К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и все элементарные частицы и античастицы с полу- целым сливом.
Эта связь между сливом частиц, образующих квантовую систему, и типом статистики была установлена немецким физиком В. Паули. Она остается справедливой и в случае сложных частиц, состоящих нз элементарных, таких, например, как атомные ядра, атомы, молекулы и т. д. Ответ на вопрос, является ли сложная частица бозоном или фермионом, зависит от того, каков результирующий спин этой частицы.
Если суммарный спин сложной частицы равен целому числу или нулю, то эта частица является бозоном, если же он равен полуцелому числу, то частица является фермноном. Рассмотрим в качестве примера ядро атома гелия 2Не, т. е. а-частицу. Оно состоит из двух протонов и двух нейтронов — че- 1 тырех фермионов, спин каждой из которых равен —. Спин ядра 2 4 2Не равен нулю, т. е. это ядро является бозоном. Атом гелия 2 Не, содержащий кроме ядра еще и два электрона (два фермиона), также является бозоном.
А вот ядро легкого изотопа гелия 3 2 Не состоит из двух протонов и одного нейтрона, т. е. нечетного числа (трех) ферми-частиц. Спин этого ядра полуцелый, следом- тельно, ядро 2Не является фермионом. Также фермионом являет- 3 ся и атом 2 Не. 3 Различие между этими двумя изотопами гелия проявляется ие только на микроскопическом, но и на макроскопическом уровне. Оно заключается в том, что жидким 24Не при температуре т = 2 К 324 „ег сверхтекучими свойствами, а жидкий 3 Не таких свойств не проявляет. Явление сверхтекучести у 3 Не экспериментально от- 4 советским физиком П.Л. Кашщей в 1938 г и заключается в то жидкий 4~Не может протекать через узкие каналы и щели, ие испьпыаая вязкости.
Было показано, что сверхтекучесть может озникать только в системе бозонов и связана с образованием так называемого бозе-конденсата — наличием большого числа бозонов на самом нюкнем энергетическом уровне. Атомы легкого изотопа гелия 3 Не являются фермионами, поз этому первоначально казалось, что о сверхтекучести 2Не не может з быть и речи. Однако впоследствии выяснилось, что при очень низких температурах (-0,002 К) атомы 3 Не объединяются в так на- 3 зываемые куперовские пары. Спин такой пары является целочисленным, т. е. куперовская пара представляет собой бозон.
Следовательно, и жидкий 3 Не в этих условиях может проявлять сверхтекучие з свойства. Сверхтекучесть ~3Не была экспериментально обнаружена в 1972 г. группой американских физиков. Волновая функция системы невзаимодействующих частиц. Найдем с помощью полученных выше результатов вид волновых функций для системы, состоящей из тождественных микрочастиц. В целях упрощения задачи будем считать, что взаимодействие между частицами системы отсутствует, т. е. энергии взаимодействия У; в (6.1) и 013 в (6.2) равны нулю. Сначала проведем решение без учета спина частиц. Рассмотрим систему, состоящую из двух одинаковых невзаимодействующих частиц. Согласно (6.2), гамильтониан такой системы и=и,+н,, где Н, — гамильтониан одной частицы, а Нз — гамильтониан другой частицы, определяемые соотношением й2 ( д2 д2 д2 Н~ г+ 3+ г +У(х;, у;, г'), 1=1,2. 2 ~~д,' ду,.' дх, ~ 325 Отметим, что вид операторов Н1 и Нг совершенно одинаков, поскольку одинаковы сами рассматриваемые частицы.
Единственное их различие заключается в том, что операторы Й1 и Йг зависят от разных координат. Уравнение Шредингера для стационарных состояний системы частиц имеет вид Н'Р=(Н1+Нг)'Р= Е (6.8) где Š— полная энергия системы. Будем решать это уравнение методом разделения переменных '1 (91'92)= 1а(%) 10(92)' (6.9) Здесь волновая функция Ч'а (д1) описывает состояние одной частицы, а волновая функция ч'0 (дг) — состояние другой частицы. Подставляя волновую функцию (6.9) в уравнение (6.8), получаем НРа (д1 ) Ч 0 (92) = ~Н1Ч<а (91)~'Р0 (92)+ ~Н2Ч'0 (дг)~'Ра (91) = =ЕЧ а(%) 10Иг). Разделим левую н правую части этого уравнения на произведение ВолнОВых функции Ч~а (ч1 ) ~Р0 (чг): й1'Р„(9,) й,ч'0(дг) (6.10) 1а(ч1) 10(чг) Н1Ч (%) Н2Ч 0(чг) 1 а(ч1) 1 0(чг) 326 Первое слагаемое в левой части уравнения (6.10) зависит только от координат д1, второе слагаемое — от координат 92, тогда как правая часть представляет собой постоянную величину— полную энергию системы Е.
Это равенство может выполняться только в том случае, если каждое из слагаемых в левой части (6.10) равно постоянной величине: й,ч (д1)=Е1Ч'а(71), Й2Ч'р(д2) = Е2Ч'р(д2), (6.11) постоянные величины Е,, и Е2 удовлетворяют условию 61+Е2 --Е. дз уравнений (6.11) следует, что волновая функция Ч'а(д1) описывает состояние одной частицы с энергией Е1, а волновая функция Ч'р(д2) — состояние другой частицы с энергией Е2. Поскольку часпщы не взаимодействуют друг с другом, то полная энергия системы Е равна сумме энергий отдельных часпщ Е1 и Е2.
Обозначим решение первого уравнения в (6.11) через <Ра(д~), а втоРого УРавнениЯ вЂ” чеРез 1РР(д2). Тогда Решение уравнения (6.8) для системы двух невзаимодействующих частиц принимает вид Ч (т1 92) 1Ра(91)1Р~З(Ч2). (6.12) Укажем теперь, как учитывается наличие у частиц спина. Будем считать, что совокупность координат д1 включает в себя не 327 только пространственные компоненты х;, у;, 21, но и спиновую составляющую з1 — проекцию спина частицы на выделенное направление.
Уравнение Шредингера, которым мы пользовались до сих пор, является уравнением нерелятивистской квантовой механики и не учитывает спин частицы. Поэтому для решения данной задачи необходимо воспользоваться более общим уравнением— Уравнением Паули, — в котором спин частицы принимается во внимание. Рассмотрение этого уравнения выходит за рамки нашего курса. Отметим только, что решением уравнения Паули является волновая функция, имеющая вид, аналогичный (6.12), т.
е. пРедставляющая собой произведение двух волновых функций 'Ра(Ч1) и 9а(д2), описываюшнх состояние каждой частицы. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться волновой функцией (б 12). считая, что переменные д1 включают в себя как пространственные, так и спиновые координаты. Воспользуемся теперь принципом тождественности частиц. Если в волновой функции (6.12) поменять местами координаты частиц, то получившаяся волновая функпия 1 (Ч2 Ч1 ) «Ра (Ч2 ) «РР (Ч1 ) (6.13) 1 Я «Ра (Ч1) «Р~3 (Ч2)+ «Ра (Ч2)«РР (Ч1) (6.14) и антисимметричную 1А «Ра(Ч1)«РР(Ч2) «Ра(Ч2)«РР(Ч1) (615) волновые функции.
В силу линейности уравнений квантовой механики зти функции являются решением данной задачи и могут описывать состояния двух одинаковых бозонов («1«з) или двух одинаковых фермионов («рА). Обобщим полученные результаты на случай системы, состоящей из Ф невзаимодействующих тождественных частиц. Используя метод разделения переменных, запишем волновую функцию системы частиц: 1 (Ч1~ Ч2 "~ Ч«~" ~ Ч«««) = «Ра(Ч1)«РР(Ч2) "«Рт(Ч«) - «Р«о(ЧМ ) Перестановка местами каждых двух частиц системы дает новые состояния, например: 1++ 2 1 (Ч2 Ч1~ Чз -' Чп )-«Ра(Ч2)«Р«э(Ч1)«Рт(Чз)- «Ра(ЧИ) (6.16) 1 3Ч (Чз Чг Ч1 -' Ь)=«Ра(Чз)«РР(Ч2)«Рт(Ч1)-'Ро«(Ч«««) и т.
д. 328 в силу неразличимости частиц также должна быть решением дан ной задачи. Однако решения (6.12) и (6.13) не удовлетворяют рассмотренному выше принципу симметрии илн антисимметрии волновых функций. Следовательно, состояния, описываемые такимн волновыми функциями, не могут реализоваться в природе. Но из них можно составить симметричную В случае системы бозе-частиц состояния, реализуемые в природе, описываются симметричной комбинацией волновых функций (6.16): Ч~ з =,1~~ РЧ1Ра ( Ч! ) " % (Ч1 ) - 'РЬ ( ЧУ ) - 1Ра ( Ч11 ). (6.17) Ь)=1 1В1 Фа(Ч!) 1Ра(Ч2) - %к(ЧЖ) Щ(Ч1) 1Р8(Чг) - Фр(%ч) 1 А(Ч1' "' ЧУ) (6.18) 1Р (Ч1) 1Р (Чг) " 1Р (Ь) Волновые функции (6.17) и (6.18) записаны в ненормированном виде, их нормировка может быль проведена стандартным способом.
Принцип Паули. При отсутствии взаимодействия между частицами системы можно рассматривать не только состояние системы в целом, но и состояние отдельной частицы. Так, например, можно считать, что состояние одной частицы описывается волновой фУнкЦией 1Р„, ДРУгой — волновой фУнкЦией (Рр и т. Д. Такой подход выявляет кардинальное различие между волновыми функциями системы ферми- и бозе-частиц. Предположим, что в системе ферми-частиц две частицы находятся в одном и том же состоянии, т. е. что 1Р„м 1РР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
