Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Тогда волновая функция системы Ч'А (Ч1, ..., Ч~ ) обращмтся в нуль. действительно, определитель в выражении (6.18) в этом случае имеет две одинаковые строки, а такой определитель, как известно, равен "улю. Равенство волновой функции нулю означает, что данное состояние системы физически не реализуемо, т. е. два фермиона— два электрона, два протона, два нейтрона — не могут находиться в одном и том же состоянии.
329 Суммирование в (6.17) проводится по всем возможным перестановкам частиц. Для системы, состоящей из ферми-частиц, антисимметричная волновая функция может быть представлена в виде определителя Это положение сформулировано В. Паули в 1925 г. и называется принципом, или запретом, Паули. Принцип Паули гласит: в системе тождественных фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одном и том же квантовом состоянии. Этот принцип имеет очень важное значение для понимания особенностей поведения систем фермионов.
Он сыграл большую роль в обосновании периодической системы элементов Д.И. Менделеева, а также позволил объяснить ряд закономерностей атомных и молекулярных спектров. Что же касается системы, состоящей из бозе-частиц, то принцип симметрии волновых функций не накладывает каких-либо ограничений на состояния системы. В одном и том же состоянии может находиться любое число тождественных бозе-частиц. Задача 6.1.
Докажите, что состояния системы тождественных частиц не могут описываться волновыми функциями, которые были бы симметричны при перестановке одной части частиц системы и антисимметричны при перестановке другой части частиц. Реиаение. Пусть система, состоящая из !у тождественных частиц, находится в состоянии, описываемом волновой функцией Ч'(%, ..., %я, г). ПРедположим, что волноваЯ фУнвцик системы симметрична (не меняет знак) при перестановке г-й и тй частиц, а также ~-й и а-й частиц, но антисимметрична (меняет знак) при перестановке еьй и й-й частиц.
Тогда, осуществляя последовательные перестановки ! <-~ К ! с-+ !, ! ++ Iс и / <-! !, получаем Ч'(!)!, ..., %, ..., !),, ..., о„, ..., %, г) = Ч'(% - % - !1) - % -.* Чн !)= 1(% -'% - % - Ч," %! !)= 1(% - !1Р- % - %" %т !)= 1(% - % - Ч! - 'й -- %ч !). Отсюда следует, что 2Ч'(%, ..., %, ..., д, ..., о~, ..., %!, !) =О, т. е.
Ч'(%, ..., %т, г) = О. Следовательно, такое состоЯние невозможно. Это означает, что состояния системы тождественных частиц могут описываться либо только симметричными волновыми функциями, либо только антисимметричными волновыми функциями. 330 Задача 6.2. Докажите, что если в какой-либо момент вРемени квантовая система, состоящая из одинаковых частиц, находится в состоянии, описываемом симметричной волновой функцией Ч'ю то она всегда будет описываться симметричной волновой функцией. реигеппе.
Запишем уравнение Шредингера , д'Р 1й — = НЧ дг в виде б,ч* = — ЧЙЧ'а, И где б,Ч' — приращение волновой функции за время й. Пусть в момент времени г = го волновая функция Ч', описывающая состояние системы, является симметричной функцией координат частиц, т. е. Ч' = Ч'з. Покажем, что приращение этой функции за время й также будет симметричной функцией координат частиц. Поскольку гамильтониан Н симметричен относительно координаг частиц системы, то функция НЧз также является симметричной функцией координат частиц.
Следовательно, и приращение б,Ф будет симметричной функцией координат. Таким образом, если волновая функция Ч', описывающая состояние системы тождественных часпщ, в некоторый момент времени является симметричной, то она остается симметричной и в любой другой момент времени. Поскольку знак й может быль как положительным, так и отрицательным, то это означает, что симметрия волновой функции как в прошлом, так и в будущем является одной и той же. Аналогичным способом решается задача и для антисимметричной волновой функции, т.
е. доказывается, что если волновая функция системы тождественных частиц в какой-либо момент времени является антисиммегричной функцией координат частиц, то она будет антисимметричной и в любой другой момент времени. Решение данной задачи показывает, что деление волновых функций на симметРичные Ч'з и антисимметРичные Ч'я имеет "абсолютный" характер.
Это означает, что если в какой-либо момент времени установлена симметрия волновой функции системы тождественных частиц, то эта симметрия в дальнейшем остается неизменной. Переходы из состояний, описываемых симметричными волновыми функциями, в состояния, описываемые антисиммегричными волновыми функциями, и наоборот, невозможны. 331 6.2. Плотность квантовых состоиннй Е "[ — + — + (6.19) где ан ат и аз — стороны прямоугольного параллелепипеда, а п1, пз, пз = 1,2,3, ...
— квантовые числа. Из (6.19) следует, что энергия частицы меняется не непрерывным образом, а дискретно, поскольку квантовые числа п1, пЗ и пз могут принимать только целочисленные значения. Однако нас будут интересовать значения энергии Е, существенно превышающие энергию основного состояния, для которого п1 — — пз — — пз =1.
В этом случае изменение энергии ЛЕ от уровня к уровню будет значительно меньше самого значения энергии Е, так что можно считать, что энергия частицы меняется практически непрерывно (квазинепрерывно). Рассмотрим пространство квантовых чисел, т. е. трехмерное пространство, вдоль трех взаимно перпендикулярных осей которого отложены квантовые числа п1, пз, пз (рис. 6.1). Точку этого пространства, которая отвечает определенному набору целых чисел (пи пз, пз), будем называть узлом.
Каждому узлу в 332 Рассмотренные в 6.1 особенности поведения частиц, связанные с неразличимостью тождественных частиц в квантовой механике„ проявляются и в статистических свойствах систем, состоящих из одинаковых частиц. Это приводит к тому, что статистические распределения частиц в квантовой механике отличаются от статистических распределений, известных из классической физики. Кроме того, статистические свойства бозонов и фермионов в силу кардинального отличия в поведении этих частиц также оказываются различными. Найдем число квантовых состояний, по которым могут распределяться частицы, при условии, что энергия этих состояний не превышает некоторого значения Е.
Определим это число для случая частицы, находящейся в трехмерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками. Согласно (4.27), энергия частицы в такой яме описывается выражением транстве квантовых чисел соо ветствует определенное ° т квантовое состояние частицы, ° к~~4 точнее, не одно, а несколысо ° ° ° состояний, которые могут различаться, например, проекциямн спина частицы. ОбоГ значим число этих состояний, о не связанных с движением частицы, /,.
В частности, для электрона проекции спина на л2 выделенное направление при- 1 нимают значения х —, следо- Рис. 6.1. Пространство квантовых 2 чисел вательно, для него У, = 2. Объем ЛУ в пространстве квантовых чисел, приходящийся на один узел, равен единице, т. е. М~ =1. Найдем число б состояний частицы, энергия которых не превышает некоторого фиксированного значения Е. Введем обо- значение 2 2 2 г (л1агаз) +(лга1аз) +(лза1аг) г (а1агаз) 4/3 и перепишем соотношение (6.19) в виде пл „г 2 2 2то (а1агаз ) 2/3 (6.20) Выражая отсюда г, получаем (а1агаз) 3/2т~Е (6.21) 333 рассмотрим сферу радиусом г (рис.
6.1). Искомое число квантовых состояний определяется числом узлов, находящихся внутри 14 31 1 31 е 83 М' 6 Ь1' Подставляя в это соотношение выражение (6.21) и учитывая, что Л$' =1, получаем ( / 2и~Е) „зйз (6.22) Поскольку произведение а1азаз представляет собой объем потенциальной ямы Р, а,~2т~Е есть нерелятнвистский импульс частицы р, то соотношение (6.22) можно представить в виде (6.23) Для того чтобы наиболее отчетливо выявить смысл полученного выражения, рассмотрим фазовое пространство — шестимерное пространство с взаимно перпендикулярными осями х, у, т, р„р,, р .
Полный объем в этом пространстве 1'ф равен произведению объема в пространстве координат У и объема в про- 4 странстве импульсов — кр (здесь р — импульс частицы, соот- 3 ветствующий максимальной энергии Е). Таким образом, 334 положительного октанта сферы радиуса г. То обстоятельство, что мы рассматриваем не всю сферу, а только ее октант с положитель. ными значениями квантовых чисел л1, лт и лз, обусловлено тем, что в нашей задаче л1, л2, лз > О. Чтобы найти число состояний О, нужно объем октанта (т.е. 1/8 часть объема сферы) разделить на объем .
М', приходящийся на один узел, и умножить получившееся выражение на множитель 1,, определяющий число возможных проекций спина частипы: Уф — У-'жр, 3 3 (6.24) и выражение (6.23) принимает вид з У (2кл) (6.25) Множитель У, в (6.25), как уже отмечалось, определяет число Уфаз возможных проекций спина частицы, а множитель — чис(2пл) ло состояний, связанных с движением частицы в потенциальной яме. Подчеркнем, что число состояний О пропорционально фазовому объему Уф Напомним, что проведенное выше рассмотрение относилось к случаю движения частицы в трехмерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками (потенциальном ящике). Можно показать, что обобщение полученных результатов на случай ямы произвольной формы не меняет общего выражения для числа квантовых состояний частицы (6.25). Из выражения (6.25) следует еще один важный результат: объем фазового пространства, приходящийся на одно квантовое состояние, равен (2пл) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
