Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Распределение Ферми— Дирака в этом случае представ- 0,5 лает собой ступенчатую функцию единичной высоты обрывающуюсяпри Е=Е (0). Ек(0) Е Внд зависимости (и) от ' 'Ф-Д Рис. 6.8. Распределение энергии частиц Е при температу- Ферми — Днрака прн Т= 0 )Ф вЂ” д 1,0 359 Именно это выражение мы и будем использовать в дальнейшем изложении. Отметим, что поскольку для фермионов р > О, то ЕР также больше нуля. Далее будет показано, что энергия Ферми Е является медленно меняющейся функцией температуры Т.
Вид этой функции для электронного газа в металле рассмотрен в 6.5. Чтобы выявить физический смысл энергии Ферми, проанализируем зависимость распределения Ферми — Дирака от энергии Е. Иачнем анализ со случая Т = О. Конечно, утверждение о том, что абсолютный нуль температур не достижим, остается в силе. Говоря о Т = О, будем считать, что температура Т может быть сколь угодно близка к абсолютному нулю, т. е. Т -+ О. Обозначим через Е (0) значение энергии Ферми при Т =О.
Из вида распределения (6.49) следует, что в случае Т = 0 (и) ьТ рах, отличных от нуля, приведен 1,0 Те о -1 на рис. 6.9. 1 В этом случае резкий скачок 0,5 (и) от единицы до нуля ~ФЛ становится более размытым и 0 Е (О) и происходит в области энергий, ширина которой порядка йТ. Рис. 6.9.
Распределение Ферми Чем выше температура, тем шнДирака при Т ~ О ре область, в которой (и) меняется от единицы до нуля, и тем более плавно происходит переход от заполненных состояний к незаполненным. Отметим, что, как следует из (6.49), при любой температуре значение (и) 1 при Е=ЕР равно —.
2 Наряду с энергией Ферми ЕР при анализе поведения ферми- частиц вводятся также импульс Ферми рр и скорость Ферми ор, определяемые соотношениями 12Е~ рп = ~2тдЕ~ и оР = -0 (6.50) При Т =О это максимальные импульс и скорость, которыми мо- жет обладать ферми-частица. 6.5. Электронный газ в металлах 360 Применим статистику Ферми — Дирака к описанию поведения электронов проводимости в металлах.
Будем пользоваться моделью свободных электронов, согласно которой часть атомных электронов может свободно перемещаться внутри проводника. Модель свободных электронов в металлах предполагает, что при образовании кристаллической решетки от атомов отщепляются некоторые слабее всего связанные с ними (валентные) электроны. Опцепленные электроны становятся общими для всех атомов и могут свободно перемещаться в кристалле.
Именно эти электроны, в отличие от электронов, заполняющих внутренние электронные оболочки атомов, обеспечивают элекгропроводность металлов. Поэтому их называют электронами проводимости. Следует отметить, что электроны проводимости в металлах, обще говоря, не являются абсолютно свободными и испытывают взаимодействие с ионами, находяшимися в узлах кристаллической решетки.
Однако в первом приближении этим взаимодействием можно пренебречь. Справедливость такого подхода подтверждается, в частности, высокой проводимостью металлов, что может иметь место только в случае достаточно свободного движения электронов внутри проводника. Таким образом, мы будем рассматривать идеальный газ свободных электронов, для которых металлический образец является потенциальной ямой (см.
4.4). Проанализируем поведение электронного газа при Т =О. В этом случае электроны располагаются на самых нижних доступных для них энергетических уровнях. Согласно принципу Паули, в каждом состоянии может находиться не более одного электрона, ( й но так как электроны могут различаться проекцией спина ~й — ~, ~ г!' то на каждом энергетическом уровне будет находиться по два электрона с различной ориентацией спинов.
Схематическое распределение электронов по энергетическим уровням показано на рис. 6.10. Отметим, что число этих уровней очень велико. й„1о) л =г„<о) О о — спин вверх ~ ° — спин вниз 1 рис. 6.10. Заполнение энергетических уровней электронами при Т=О Зб1 Д 3/2 (6.51) Число состояний, приходящихся на интервал энергий от Е до Е+ йЕ, получаем, умножая число квантовых состояний я (Е) на ширину энергетического интервала йЕ. Умножая затем зто произведение на (л)~ ~, т. е.
на вероятность заполнения данного энергетического состояния, находим число электронов сИ, энергиякоторыхлежитвинтервале от Е до Е+г1Е: АУ = я(Е)(л) с1Е. (6.52) Интегрируя это выражение по энергии, получаем полное число свободных электронов в металле: 362 Два электрона заполняют самый нижний энергетический уро вень.
Третий и четвертый электроны находятся на первом возбуж денном энергетическом уровне, следующая пара электронов — на втором возбужденном уровне и т. д. Если число электронов в ме- )У талле равно Ж, то при 7 = 0 будут заполнены первые — уров- 2 ней с энергией Еь Е . Все остальные уровни с энергией Е>Е будут свободны. Сравнивая полученный результат с распределением Ферми — Дирака при Т = О, приходим к выводу, что максимальная энергия электронов Е совпадает с энергией Ферми Е~(0). Следует отметить, что, хотя энергия электронов в металле квантуется и энергетический спектр электронов является дискретным (см.
выражение (6.19)), энергетические уровни расположены настолько плотно, что энергетический спектр электронов можно считать практически непрерывным (квазинепрерывным). Численные оценки, подтверждающие справедливость такого подхода, выполнены в задаче 6.5. Найдем функцию распределения электронов проводимости по энергиям. Плотность квантовых состояний электронов в металле, т. е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал, согласно (6.29), имеет вид )Ц= ~~Ф)( )ф д«Е о (6.53) Выражения (6.52) и (6.53) удобно записыватьнедляполного числа электронов в металле М, а для концентрации электронов и = —. С учетом (6.51) получаем У У Г2 3!2 (6.54) 3!2 п = ) ГЕ,, э г)Е. (6.55) о ~ ~ ехр~ ~)+1 )гТ )2тза г(Е кзьз ( Е Е ехр~ +1 (, йт ) д з~г о Л Е(Е„.(О), кй О, Е>Е„(О) (6.57) и Распределение электронов по энергиям описывается выражением 363 входящая в выражения (6.54) и (6.55), называется функцией распределения свободных электронов по энергиям.
При Т = О функция Р'(Е) имеет вид /2 3/2 '/Е//Е, Е < ЕЕ(0), кй О, Е > ЕЕ (0). (6.58) О ') Т (Е) Е(Е)/1Е (~) = = — ) Х(Е)Г(Е)/)Е. ')Г(Е)йЕ 0 (6.59) Получим выражение для энергии Ферми Ее(0) при Т=О. Для этого воспользуемся соотношением (6.55). Поскольку при абсолютном нуле температуры (и) =1 при Е<ЕЕ(0) и (н) =0 при Е>Ее(0), то верхний предел интеграла в (6.55) нужно заменить на Ее (0).
Интегрируя, получаем 364 Е Зависимость функции рапределения (6.57) от энергии при Т =0 приведена на рис. 6.11. Из физического смысла функции распределения следует, что площадь под кривой Е(Е)численно равна концентрации и свободных электронов Е .(О) Е в металле. Отметим, что функции распре- деления играют в статистической Рис. 6.11. Вид фУнкции Рас- физике очень важную роль. Так, пределення Г(Е) прн Т=О например, если известна функция распределения частиц по энергиям Г(Е), то в рассматриваемой системе можно найти среднее значение любой физической величины Т", зависящей от Е.
Оно определяется следующим образом: ЕгЯ Г2 3/2 З!2 О Отсюда находим Еу (0): йг пз Е„, (О) = — ~зл2л) г, 16.60) Это очень важное соотношение, которое позволяет, зная концентрацию электронов л, найти энергию Ферми Е~ (0), или, наоборот, по известной энергии Ферми найти концентрацию свободных электронов в металле. Оценим значение энергии Ферми для свободных электронов в 22 -3 28 -3 металле при Т =О. Пусть л =5 10 см = 5 10 м , тогда З4 2 Ер(0)-' ' (3.3,14 .5.10~~)з — 8.10 ш Дж-5 В 2 0 91 10-зо Таким образом, в общем случае энергия Ферми электронного газа в металлах составляет несколько электрон-вольт.
Наряду с энергией Ферми вводится понятие температуры Ферми Т~, которая определяется следующим образом: кт =е (о) т Е~ (0) /с (6.61) 365 При значении Е~ (0) = 5 эВ температура Ферми составляет т = 60 000 К, что более чем в 200 раз превышает комнатную температуру. Значения энергии Ферми, рассчитанные с помощью соотношения (6.60) для различных металлов, приведены в табл.
6.1. Здесь же даны значения температуры Ферми т и скорости Ферми электронов о, найденные из соотношений (6.61) и 16.50) . Таблица б,! Рассмотрим теперь случай ненулевых температур (см. рис. 6.9). Как уэке отмечалось, ступенька в распределении, характерная для Т = О, в этом случае размывается и переход от заполненных электронами уровней к незаполненным происходит более плавным образом. Схематическое распределение электронов по энергетическим уровням при Т > О показано на рис. 6.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
