Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Таким обра- МТ зом, наиболее вероятная энергия фотонов при Т = 300 К Е4 =Ив, =1,бкТ=0,042эВ. б. Найдем теперь среднюю энергию фотонов (Е). Пользуясь распределением фотонов по частотам л„, получаем выражение для средней частоты фотонов (ю) в равновесном излучении при температуре Т. По определению, ~еза„га ( ) о 1 12 /л Ню о Вычислим интегралы 11 и 12: 4 21 'кТ йю где х= —. ЕТ Поскольку " хз,1х И4 / — =— е" -1 15 7 то получаем 351 Интеграл 1з имеетследующий вид: 1 1 взив 1 (1гТ1 1 х дх ~кт) В силу того что " хзнх — = 2,405, о е" — 1 получаем Г,= — ~ — ~ 2,405. з з зз~ ~Д Таким образом, средняя частота фотонов составляет 1, 1 КТ п4 ИТ (в) = — '= — — — = 2,69 —.
1з 2,405 А 15 А Отсюда находим среднее значение энергии фотонов (Е) = (Лв) = Я(в) = 2,6911Т. С учетом численных значений величин, входящих в зто выражение, получаем (Е) =0,069 эВ. 6.4. Распределение Ферми — Дирака Перейдем к анализу статистических свойств ферми-часпп1, т. е.
частиц, обладающих полуцелым олином. Напомним, что ферми-частицы подчиняются принципу Паули, согласно которому в одном и том же состоянии одновременно не может находиться более одной частицы. Таким образом, фермионы являются частиюми-индивидуалистами. Рассмотрим идеальный ферми-газ, т. е. систему, состоящую из невзаимодействующих фермиоиов. 352 т( к и в 6,3, решим сначала вспомогательную задачу: найдем чи„о возмо рас ределен и Ж шаров по У ейк пенала ии усдовнн, что в каждой ячейке не может находиться более одо шара (рис. 6.5) . Темными кружками будем отмечать шары, одяшиеся в ячейках, светлыми — отсутствие шара в ячейке. Число ячеек У и число шаров й! должны удовлетворять условию г>м ° о ° о о ° ° о ° ° о Рнс.
б.5. Возможное распределение ферми-частиц по ячейкам Число всевозможных перестановок черных и белых кружков по ячейкам пенала равно У!. При этом перестановки только черных кружков в силу тождественности одинаковых частиц не приводят к новым распределениям. Число таких перестановок равно й!!. Перестановки светлых кружков (пустых ячеек) тоже не дают новых распределений, их число равно (У вЂ” !9') !.
Таким образом, число различных распределений Ф шаров по У, ячейкам в данном случае равно (6А4) Для иллюстрации полученного результата рассмотрим распределение двух шаров по четырем ячейкам (рис.б.б). Число таких распределений равно шести. Точно такой же ответ следует из (6.44) 4! й= — '=6. 2!2! 353 Р"с б.б. Распределение двух ферми-частиц по четырем ячейкам !2 — !0329 Поскольку фермионы, согласно принципу Паули, являются частицами-индивидуалистами, то выражение (6А4) определяет число возможных распределений Ж фермионов пох, ячейкам, т. е. статистический вес макросостояния системы фермионов.
Вывод статистического распределения, которому подчиняются ферми-частицы, проводится подобно тому, как это было сделано выше для бозе-частиц. Рассмотрим шестнмерное фазовое про странство с координатами х, у, я, р,, р „р,. Разобьем его с помощью изоэнергетнческих поверхностей ~(х, у, ~, р„, р, р ))=Е; =сонм у (х, у~ я~ р», ру, р,) = Е+1 =солж на тонкие энергетические слои, так, что ~Е;+! — Е;! «Е;. Пусть в пределы (-го слоя попадает У; ячеек(каждая объемом (2кЛ) ) и 3 Ж; частиц.
Тогда, согласно (6.44), статистический вес подсистемы из Ж; частиц 2;! Ф; !(У; -Ф;)! Статистический вес всей системы равен произведению статисти- ческих весов ее отдельных подсистем: (6.45) Для того чтобы найти наиболее вероятное распределение частиц по ячейкам, нужно определить максимум статистического веса (6.45) при условии, что полное число частиц системы М и полная энергия системы Е остаются постоянными, т. е. ~)„Ф;=М= сонм н 1) Ж;Е; =Е= сонэк 354 < и в случае бозе-частиц, вместо максимума статистического веса еса а будем иска макс у эн ро и 5 =Ива С у етом (6 45) для энтропии системы ферми-частиц получаем следующее выражение: 5 = й,Г~1п У;1-1п Ц 1-1п(У; - Ц)!].
цоспользуемся формулой Стирлннга 1пн! = и1пп-л, справедливои при н»1. Поскольку У; »1 и Ц »1, то Е=Й 1 (У;1пУ; — У; — Ц1пЦ+Ц вЂ” (2; — Ц)х 1 х 1п(У; -Ц)+(У;-Ц)), Е = — к Г ~Ц 1п Ц + (г; — Ц ) 1п (К; — Ц )) + С', (6 46) где С'=/с~У;1пУ;. Слагаемое С' в (646) можно в дальнейшем ь' не учитывать, поскольку при решении задачи на экстремум энтропии 5 варьироваться будут только числа частиц в слое Ц, а С' от них не зависит. Для отыскания максимума энтропии (6.46) воспользуемся, как и в 6.3, методом множителей Лагранжа. Рассмотрим функцию Е = 5+ Х~Ф+ Х2Е = =-К~~ ~Ц1пЦ+(У; — Ц)1п(У; — Ц) +Х~ч'~ Ц+3 з~ ЦЕг, где Х~ и Хз — множители Лагранжа.
Приравнивая нулю част- ные производные этой функции по ц, получаем ак à — = — Ф 1пЦ+Ц вЂ” -1п(У;-Ц) — (У; — Ц) +Х~+ 1 +1~2Е;=Ип ' '+Х~+Х2Е =О. 355 Отсюда следует, что г, -)У, ХгЕ,. +)~, Ж; У; — )У; У; ( ХгЕ+Х~ ' =ехр— Ж; Отношение — ' представляет собой среднее число ферми- 2 частиц (л;), приходящихся на одну ячейку, т. е. на одно квантовое состояние. Наиболее вероятным значением (л;), как следует из решения задачи на экстремум, является (6.47) МножнтелиЛагранжа Х~ и Хг находятсяточнотакже,каки в случае бозе-частиц.
Используя тот же самый метод, что и в 6.3, определяем 1 Аг = —. Т Записывая Х~ ввиде Х~ — — —, где р — химический потенциал, иподставляя Х~ и Хг в (6.4?), получаем (пД = ехр ' +1 Освобождаясь от индекса 1, приходим к окончательному выраже- нию 356 1 ~")э-л = (~ д) (6.48) 1 (п) = «1. '(, ~Т ) (Е-р'1 Š— )г Зто условие выполняется при ехр~ — ~ »1 или — >>1. ~~Т~ ЕТ Пренебрегая единицей в знаменателе выражения (6.48), получаем 357 Соотношение (6.48) называется распределением Ферми — Дирака. Оно определяет среднее число ферми-частиц, находящихся в квантовом состоянии с энергией Е при температуре Т. Обсудим следствия, вытекающие из распределения Ферми— дирака.
Прежде всего отметим, что (п) не может быть больше единицы, поскольку числитель выражения (6.48) равен единице, а в знаменателе к единице прибавляется положительная величина— экспонента. Зто означает, что в одном квантовом состоянии не может находиться более одной ферми-частицы, что согласуется с принципом Паули. Поскольку (и), <1, то говорят, что распределение (6.48) определяет вероятность заполнения энергетического уровня с энергией Е при температуре Т.
Химический потенциал )ь для ферми-частиц может быть только положительным, т. е. р > О. Иначе при Т -> О экспонента в знаменателе в (6.48) обратилась бы в бесконечность, а числа заполнения стали бы равными нулю, чего, естественно, быть не может. Напомним, что для бозе-частиц химический потенциал и не- положителен. Рассмотрим случай малых чисел заполнения, т. е. будем считать, что где А=ехр~ — ). Таким образом, мы приходим к заключенщо (~~') ( йт)' На рис.
6.7 приведены графики распределений Ферми — Дирака и Максвелла — Больцмана. При Š— 1г — »1 эти распределения, как кТ уже отмечалось, совпадают. Кардинальное различие между ними на- Е-и блюдается при — <1. Класси*кТ вЂ” 3-2-1 О 1 2 Š— р кТ Рис. 6.7. Статистические расческие частицы мо накапливать- частицы гут акапливатьпределсвия: ся в одном и том же состоянии в 1 — Максвелла — Больлмаиа; большом количестве. Для них (п) П вЂ” Ферми — Дирак а тем больше, чем меньше их энергия Е. Что же касается фермичасппь то максимальное их число в одном квантовом состоянии не может превышать единицу, что согласуется с принципом Паули. Химический потенциал и, который, как уже отмечалось, имеет размерность энергии, в случае ферми-частиц называют энергией Ферми или уровием Ферми и обозначают Ее.
При этом распре деление Ферми — Дирака 16.48) принимает вид (6.4 358 что распределение Ферми — Дирака при малых числах заполнения, или, как говорят, в случае разреженного ферми-газа, перехо дит в классическое распределение Максвелла — Больцмана. В 6,З было показано, что в это же распределение в случае малых чисел заполнения переходит и распределение Бозе — Эйнштейна. Следовательно, можно сделать вывод, что разреженные квантовые газы (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являются вырожденными и подчиняются классической статистике.
Подчеркнем, что, хотя квантовая статистика в данном случае приводит к тем же результатам, что и классическая, квантовая природа частиц газа остается неизменной. (и), =1 при Е(Е~(0) (и) =0 при Е>ЕР(0). Это означает, что все квантовые состояния с энергиями Е( (Ек(0) оказываются занятыми фермионами, а все состояния с энергиями Е > ЕР (0) — свободными. Таким образом, при Т =0 энергия Ферми ЕР (0) является максимальной энергией, которой могут обладать ферми-частицы. График зависимости (и) от Е при Т =0 приведен на Т вЂ” 0 рис. 6.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
