Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 48
Текст из файла (страница 48)
8 85 10-~г З 10а Такой же порядок значения имеет напряженность электрических полей в атомах. Именно поэтому лазерное излучение эффективно ° воздействует на атомные системы. Задача 5.10. Оцените ширину линии излучения рубинового лазера, работающего в одномодовом режиме, если лазер испускает красный свет (1=694 нм), рубиновый стержень имеет длину 1 = 10 см, а на торцах стержня расположены зеркала каждое с коэффициентом отра- женна г = 0,95. Показатель преломления рубина принять равным п = 1,5, Решении Относительную ширину спектральной линии излучения лазера можно оценить как ~1а 1 ю Д Зле~~ 0 — добротность оптического резонатора, которая определяется через относительные потери энергии излучения за один период колебаний; 315 Будем считать, что основные потери энергии в оптическом резо.' наторе связаны с отражением излучения от зеркал.
Тогда за время 21л т = — при отражении от двух зеркал энергия излучения уменьшит с ся на Д1г' =1г'-г 1г' =(1 — г~)1г'. Поэтому, оценив потери энергии г 1 излучения за один период колебаний Т Ди/=ДИ1,— =(1-г ) —, Т г з~ сгг ' т 21лч' находим добротность оптического резонатора 'гг' 21лч 4я1л (1- г ) с (1 - г ) Х В нашем случае 4к 0,1 1,5 =2,8 10т (1 — 0,95 ).694 10 и, следовательно, относительная ширина линии излучения лазера — = — =3,6 10 Дш 1 з в Д Отметим, что добротность оптического резонатора возрастает при улучшении качества зеркал и при увеличении расстояния между ними.
316 6. КВАНТОВЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Квантовые особенности поведения микрочастиц, их отличия от свойств макроскопических объектов проявляются не только при рассмотрении движения одной частицы, но и при анализе поведения системы микрочастиц. Наиболее отчетливо это видно на примере физических систем, состоящих из одинаковых частиц, — систем электронов, протонов, нейтронов и т.
д. При рассмотрении таких объектов используется принцип тождественности одинаковых частиц в квантовой механике, согласно которому одинаковые частицы, из которых состоит система, принципиально неразличимы. Такой подход позволяет получить волновые фукции, описывающие состояние системы одинаковых микрочастиц, и установить связь свойств симметрии волновых функций со олином частиц. Эти свойства оказываются различными для частиц с нулевым или целым значением спина (бозонов) и частиц с полуцелым значением спина (фермионов).
В силу этого и поведение систем бозе- и ферми-частиц оказывается существенно различным. Квантовая статистика описывает свойства фотонного газа, газа электронов в металле, системы атомных электронов, системы нуклоиов, образующих ядро, и т. д.
Наиболее яркими макроскопнческими явлениями, обусловленными свойствами микрочастиц, являются сверхтекучесть и сверхпроводимость. 6.1. Квантово-механическое описание системы многих частиц Важной особенностью микромира является не только то, что мнкрочастицы обладают существенно иными свойствами по сравнению с макроскопическими телами, но и то, что поведение сис- 317 темы микрочастиц также кардинально отличается от поведения систем, состоящих измакроскопических тел. Основное внимание в предыдущих главах было уделено квантовым системам, состоящим, как правило, из одной частицы.
Некоторые задачи, для которых характерно наличие не одной, а нескольких частиц, например задача об электроне в атоме водорода или водородоподобном атоме, также были сведены к изучению движения одной частицы — электрона. В данной главе приведено квантово-механическое описание систем, состоящих из большого числа микрочастиц. Рассмотрим систему, состоящую из Ф частиц с массами ио, то, ..., т,, ..., шо .
Обозначим координаты ~-й частицы через д;. Под д; будем понимать координаты центра тяжести частицы х;, у;, ~;; в качестве обобщенной координаты может выступать и спин частицы. Будем считать, что силы, действующие между частицами, зависят лишь от мгновенных значений их координат и скоростей в данный момент времени, т. е. полагать, что запаздывающее взаимодействие между частицами отсутствует. Тогда волновая функция системы частиц может быть представлена в виде Ч~(хиу1,21, ..., х1, у;,е, ..., ху, уу, зу, 1) ж мЧ(% - %э - Ю г).
Рассмотрим элементарный объем Л'; = Нхфуфг;. Величина 2 в'(% - % - Чм г)=~Ч (Ф "'% - Ю г)~ г~Ъ"'лУ'"'~п определяет вероятность того, что одна частица находится в объеме Л'1, другая — в объеме ЫУз и т. д. Таким образом, зная волновую функцию Ч'(д1, ..., д;, ..., д~, г), можно найти вероятность любой пространственной конфигурации системы микрочастиц. Кроме того, как и в случае одной частицы, можно определить вероятность какого-либо значения любой механической величины как у системы в целом, так и у отдельной частицы, а также вычислить среднее значение механической величины. 318 Волновую функцию системы частиц Ч'(Ч1,..., ~);, ..., ЯУ,1) пах дим нз уравнения Шредингера , дЧ' 1')1 — = НЖ, д1 1е Н вЂ” оператор функций Гамильтона для системы частиц. Этот оператор представляет собой обобщение гамильтониана для одной частицы на случай системы многих частиц и имеет внд 1У „г Й =~ — Л1+171(х1,У1,21,1) + + )' Уй (хп У,21,х,У,2 ).
16.1) М/=1 дг д2 дг Здесь Ь = †+ †+ †, Н (х,у,счг) — силовая функция -д,2 д,2 д22 для 1-й частицы во внешнем поле, а 111 (х1,у;,2;, х, у, 2 )— энергия взаимодействия 12й и 12й частиц. В простейшем случае системы, состоящей из двух частиц, ,г „г Й = — Л1 + Н1 (х1, У1,21,1) — — Ь2 + г„''' г,, +У2 (х2~У2 22~1)+с12(х1~У1~21~х2 У2~22).
(6.2) 319 Неразличимость тождественных частиц в квантовой механике. Рассмотрим систему, состоящую из Ж тождественных микРочастиц, т. е. из частиц, обладающих одинаковыми массой, электрическим зарядом, сливом и т. д. Естественно, что в одинаковых Условиях зти частицы будут вести себя совершенно одинаковым образом. Гамильтониан такой системы может быть получен из 16 1), если считать одинаковыми массы всех частиц тс, и сило- 1 вые Функции 1), Запишем его в виде + ) Нй(~;, у;, ~;, х, у, 2)).
ь~)=1 (6.3) (6.4) Условие неизменности состояния системы при перестановке )-й и )-й частиц можно записать с помощью оператора перестановки: Р; Н=НР;. (6.5) В справедливости этого соотношения легко убедиться, подействовав левой и правой частями этого равенства на функцию Ч'(д1, ..., д~, г) и получив одинаковый результат. Это означает, что оператор перестановки Р; коммутирует с гамильтонианом системы одинаковых частиц Н . С помощью соотношения (6.5) можно показать, что если волновая функция Ч' является решением уравнения Шредингера, то и волновая функция Р, Ж, т. е. функция, получающаяся из Ч' 320 Если в системе поменять местами )-ю и ~-ю частицы, то в силу тождественности одинаковых частиц состояние системы не должно измениться.
Неизменной останется полная энергия системы, а также все физические величины, характеризующие ее состояние. Введем оператор перестановки частиц в рассматриваемой системе Р; . Действие этого оператора заключается в том, что он переставляет местами ~'-ю и тю частицы системы. Так, например, если имеется функция Ч'(д1, ..., дь, г), зависящая от координат частиц системы, то действие оператора перестановки Р; на эту функцию можно представить следующим образом: „рестановкой координат 1-й и )'-й частиц, также являетсярешением уравне Шр д ра. Действительно, пусть волновая функция Ч' является решением уравнения Шредингера, тогда й — = НЖ.
ЭЧ' а Подействуем на левую и правую части этого уравнения оператором Р". Так как оператор перестановки не зависит от времени, то й' его можно внести под знак производной по времени Ж вЂ” (Р; Ж) = Рй(Й'Р). С учетом соотношения (6.5) получаем 1й — ( Р Ж) = Й (РйЖ ). Таким образом, волновая функция Р Р также является решением уравнения Шредингера. Проводя перестановки любых других пар частиц, мы будем получать новые состояния системы, которые в силу тождественности частиц не будут отличаться от исходного состояния. Обобщение этого результата можно сформулировать следующим образом: в системе одинаковых частиц реализуются лишь такие состояния, которые не меняются при перестановке частиц местами. Данное утверждение получило название принципа тождественности одилаковьп частиц.
Это очень важное положение в квантовой механике. Оно не вытекает из основных постулатов квантовой механики, но и не противоречит им. Справедливость этого принципа подтверждается согласием полученных на его основе результатов с опытом. Симметричные и антиснмметричные состояния. Пусть волновая функция Ч'(д1,..., д,т, г) описывает состояние системы, содержащей М одинаковых частиц. Действуя на нее оператором перестановки Р", получаем 321 ~ ~ — 10329 Согласно принципу тождественности одинаковых частиц, получившаяся волновая функция Ч'(д~,..., ц,..., д;,..., ць~, г) должна описывать то же самое состояние, что и исходная волновая функция Ч.'(с), ..., ц;,..., д,..., дх„г).
Следовательно, зти две функции могут различаться только постоянным множителем. Обозначим его Х. Тогда уравнение (6.6) можно переписать в виде Р; Ч = ХЧ'. (6.7) Уравнение (6.7) представляет собой уравнение на собственные функции и собственные значения оператора перестановки Р.
Для того чтобы найти Х, подействуем на левую и правую части уравнения (6.7) оператором перестановки Р;.Ж = 7 Р Р. Поскольку дважды применяемый оператор перестановки не меняет волновую функцию Ч', то с учетом (6.7) получаем Ч'=Х Ф, т.е. Х =1 и Х =+1. Такимоб азом,собственными кциями 2 оп ато а Р- являются и кот ы и п овке коо- динат(-й и '-й частицлибоост тсян ы = ибо м 1). Эти функции называются соответственно симметричными и антисимметричными относительно перестановки частиц. Полученный результат означает, что состояния системы из )у одинаковых частиц описываются волновыми функциями, которые либо не меняются (симметричны), либо меняют знак (антисимметрнчны) при перестановке местами любой пары частиц.
В ре- 322 шенин задачи 6.1 показано, что волновые функции, описывающие состоя ояние системы, не могут быть симметричными при перестаке одной части частиц системы и антисимметричными при пеновке другой части ее частиц. Симметрия или антисимметрия н~вых функций сохраняется по отношению к перестановкам всех частиц системы. Таким образом, принцип тождественности одинаковых частиц в квантовой механике приводит к тому, что все возможные состояния системы, образованной одинаковыми частицами, делятся на два типа: симметричные, для которых РЦЧЗ(% - % - Ц;,-, Цн, г)= ='гз(% - %*", ц;,-., %ч, г), антисилаиетричные, для которых Роч А(ч1 - %* - Чу - %ч Г)= Чл(% - % -' Чзэ- %ч ~) Здесь индексы Я и А обозначают симметричную и анти- симметричную волновые функции соответственно, а перестановки проводятся по всем парам частиц системы. Можно показать (см. решение задачи 6.2), что такое деление имеет абсолютный характер, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
