Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 59
Текст из файла (страница 59)
В этом методе состояние каждого электрона в атоме описывается волновой функцией Ч' (Р), где л; — набор четырех квантовых чисел л, 1, и и и„а волновая функция всей системы атомных электронов представляется в виде произведения Ч'(г1, г2, ..., щ)=Ч',„Я)Ч', (г2)...Ч'„(г~). (674) В нулевом приближении волновые функции Ч', (~) беругся из набора волновых функций водородоподобного атома, т. е. считается, что на движение отдельного электрона другие электроны не оказывают никакого влияния. Затем по этим волновым функци- 394 м определяют энергию электрического взаимодействия каждого электрона со всеми остальными электронами атома.
Эта энергия описывается выражением (6.75) Полученные значения энергии взаимодействия (6.75) вводят в виде поправок в гамильтониан (6.1), и с учетом этих поправок решают уравнение Шредингера для каждого электрона. В результате получают новые волновые функции, которые уже не совпадают с волновыми функциями водородоподобных атомов. С помощью этих новых волновых функций снова вычисляют поправки к гамильтониану и т. д. Такие итерационные операции повторяют до тех пор, пока последующие результаты не будут с достаточной точностью совпадать с предыдущими, т. е. пока эти результаты не станут самосогласованными. Обычно число таких итераций не превышает десяти.
В.А. Фок учел в таких расчетах принцип Паули для системы электронов. Требования этого принципа в данном случае состоят в том, что в комбинациях квантовых чисел л; в выражении (6.74) не должны встречаться четыре одинаковых квантовых числа.
Методом Хартри — Фока были рассчитаны характеристики целого ряда многоэлектронных атомов, причем результаты расчетов оказались в хорошем согласии с данными экспериментальных исследований. Этот метод применяется также в теории рассеяния, физике твердого тела и ядерной физике. Метод Томаса — Ферми. Для тяжелых атомов с большим числом электронов успешно применяется другой приближенный метод учета влияния электронов друг на друга, предложенный американским физиком Л. Томасом для электронного газа высокой плотности и развитый Э. Ферми применительно к многоэлектронным атомам.
Этот метод основан на предположении, что на расстоянии порядка дебройлевской длины волны электрона потенциальная энергия электрона у(г) изменяется достаточно медленно. Поэтому внутри объема, в котором изменения У(г) невелики, ьюжет находиться достаточно большое число электронов. В этом 395 случае анализ поведения электронов в атоме можно проводить, используя рассмотренное выше (см. 6.4) статистическое распределение Ферми — Дирака.
Поэтому метод Томаса — Ферми является статистическим методом. Согласно этому методу, электрон в многозлекгронном атоме находится в суммарном поле атомного ядра и всех остальных электронов. Считается, что это поле обладает центральной симметрией, а также предполагается, что электрический заряд электронного облака в атоме распределен в пространстве непрерывным образом с объемной плотностью р(г), зависящей только от расстояния г от электрона до ядра. Для расчета плотности р(г) электроны в атоме рассматриваются как вырожденный идеальный газ ферми-частиц.
Пусть на расстоянии г от ядра потенциал суммарного электрического поля равен у(г), тогда полная энергия электрон а (6.76) ! 2 Е = — — вр(г), Р 2ряо где р — импульс электрона, а то — масса электрона. Для того чтобы электрон в атоме находился в связанном состоянии, его полная энергия Е не должна быть положительной, т. е. ЕъО. Следовательно, электрон может находиться в связанном состоянии на расстоянии г от ядра только в том случае, если его импульс не превышаетмаксимального(фермиевского) значения рл, равного (6.77) 4 3 3 ярк Р3 ( 2тоеф(г)) (2кй)3 Зк2й3 Зк2йз 396 Из условия квантования пространства импульсов (см. 6.2) следует, что в единице объема пространства число квантовых состояний электрона на расстоянии г от него до ядра не превышает значения Таким образом, плотность заряда в электронном облаке на растоянии г отядраравна р(г) = — еб = — ~р(г) е(2вое) зд Зягйз Потенциал усредненного электрического поля в атоме находят нз уравнения Пуассона Л<р = —, Р во (6.78) 1 0 (г<р) е(2аое) ~ г 1 2 ЗЖ2,,83 (6.79) Это нелинейное дифференциальное уравнение для потенциала <р(г) следует решать с учетом граничных условий: (р(г) — э — при г~О и <р(г)-+О при г-> .
(6.80) Уе 4лвог Первое из этих условий означает, что по мере приближения к ядру вклад поля ядра в общее электростатическое поле приобретает определяющее значение. Второе условие в (6.80) есть требование равенства потенциала нулю в бесконечно удаленной точке пространства. Из электростатики известно, что для нейтральной в целом системы точечных зарядов, например для нейтрального атома, скорость убывания потенциала системы на больших расстояниях оказывается заметно выше, чем в случае точечного заряда, для ко- 1 торого потенциал <рт,--. Таким образом, для потенциала д суммарного электростатического поля, создаваемого ядром и атомными электронами, должно выполняться условие гчр~О прн г-+ 397 Поскольку р и у зависят только от расстояния г, т.
е. задача имеет сферическую симметрию, уравнение (6.78) можно записать в виде Введем безразмерные величины Г и х=— Уе 4пвог 1(9К 1 4ПВ011 1 9К~ а а 1/3 3 2 1~3 где Я = — — — 0 = — — — = 0,885 —. 2~ 16 У113 2 2 16 21/3 У113 ' Здесь а — радиус первой боровской орбиты 15.7). В этом случае уравнение 16.79) и граничные условия 16.80) принимают вид ,1г — =~ —, 0<х<», Ф~1 при х-+О, Ф-~0 при х — э». 16.81) Решение нелинейной краевой задачи 16.81) для функции Ф1х) находят с помощью численных методов.
Результатом решения является монотонно убывающая функция, обра- 0,8 0,4 0 2 4 6 8 10 х 398 щающаяся в нуль лишь на бесРнс. 6.23. Распределение усред- конечности1рис.6.23). пенного потенциала электростатического поля в многоэлектронном атоме в модели Томаса — Томаса — Ферми не передает Ферми всех деталей распределения электронной плотности заряда внутри атома, он дает возможность достаточно точно установить вид усредненной зависимости р1г). Численный расчет электронной плотности заряда в зависимости от расстояния г до ядра позволяет, в частности, определить, что в сфере радиуса Я, = 1,33аУ ~ заключена половина полного электронного заряда атома.
Поэтому именно величину Я„ обычно рассматривают как эффективный радиус атома. С помощью метода Томаса — Ферми можно найти полную энергию ионизации атома, т. е. энергию, которую нужно затратить для того, чтобы удалить из атома все электроны. Потенциал электростатического поля, полученный методом Томаса — Ферми, может быть использован в расчетах по методу методу Хартри— фока, уменьшая тем самым число необходимых итераций. Использование метода Томаса — Ферми позволило объяснить порядок заполнения электронами электронных оболочек в атомах. Этот метод также применяется в ядерной физике, в частности для описания заполнения нуклонами оболочек ядра.
Свойства многозлектронных атомов. Метод Хартри — Фока позволяет выделить в многоэлектронном атоме отдельные электроны, определяя для каждого из них четыре квантовых числа л, 1, и и т,. Самосогласованное поле не является кулоновским полем, поэтому энергия электрона в заданном квантовом состоянии зависит не только от главного квантового числа п, но и от значения орбитального числа 1. Электронную конфигурацию многоэлектронного атома можно описывать по аналогии с атомом водорода, указывая для каждого электрона значения главного и орбитального квантовых чисел. Если же несколько электронов в атоме находятся в состояниях с одинаковыми значениями л и 1, то число таких электронов при записи электронной конфигурации атома обычно указывают в виде показателя степени.
Так, например, электронная конфигурация нормального состояния атома кислорода (г1 =8) записывается в виде 1з 2з 2р . Это означает, что из восьми электронов атома кислорода два электрона находятся в состояниях с л =1 и 1 = О, еще два электрона — в состояниях с и = 2 и 1= О и, наконец, четыре электрона — в состояниях с л = 2 и 1 = 1. Совокупность всех состояний с заданными значениями квантовыхчисел и и 1 называется электронной оболочкой. Оболочки, в свою очередь, объединяются в электронные слои. В каждом таком слое находятся электроны с одинаковыми значениями главного квантового числа и, причем число электронов, полностью заполняющих слой, равно 2л .
Это обусловлено тем, что, согласно принципу Паули, у электронов атома не может быть одинаковых значений всех четырех квантовых чисел. 399 Для обозначения электронных слоев атома используются символы, заимствованные из рентгеновской спектроскопии (табл. 6.2). Слой, отвечающий значению и =1, обозначается буквой К, слой, отвечающий значению и = 2, — буквой 1, и далее по алфавиту. таблича б,2 Электроны К-слоя обладают значением квантового числа 1= О, т. е. в К-слое могут находиться только з-электроны. Электроны 1 слоя могут иметь значения 1, равные О и 1, это означает, что в Е слое находятся з- и р- электроны. Эти электроны образуют з- и р-оболочки 1 слоя. Для электронов М-слоя 1 может принимать значения О, 1 и 2, следовательно М-слой состоит из з-, р- и д-оболочекит.д. Анализ электронных конфигураций различных атомов показывает, что учет принципа Паули приводит к определенной периодичности в заполнении электронных оболочек и слоев атомов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
