Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В ней у йм ет экстремальное значение. Для определения его ВОзьмем производную От Выражения (5.82): — = — + — —— дф «ф Ь д«« «Ь 20 1 и (6.83) Отсюда найдем значение абсциссы, определяющее положение низшей гочкй: х=а= — + —. И~ 2 4 (6.85) Низшая тОчка крйвой провйсаййя ййтй Всегда находится блйже к более низкОЙ тОчке подВеса а Подставляя выражение (5.85) в формулу (5.82), найдем вкстремальное значение Ординаты, т. е. Величину наибОльшего провиса- ИИЯ НИТИ: — 1Р— (- + ,Р Фй и3$ и Яф~~ д~;р р д е (5.86) Буд~м различать три характерных Случ~~ расположения низшей тОчки крнВОЙ прОВисания нити: 1.
Низшая точка кривой провисания находится в пределах пролета, т. е. а 1 (рис. 147, а). Согласно выражению (5,85), зто будет иметь место, когда 3. НизшэЯ точка крнвой совпадает с более низкой точкой пОД- веса, т. е, а = 1 (рис. 147, а). Необходимое условие для втого случая ~=и' (5.89) Ио всех трех случаях координаты а и 7' низшей точки определяются по формулам (5.85) и (5.86). Установим зависимость между натяжением Н и величиной ~.
Посредине пролета ж = —, а у = — +~ (рис. 145, б). Подставив Ь эти значения координат в формулу (5.82), получим (5.96) Выразим натяжение нити Н через наибольшее проВисание Из формулы (5.85), решая квадратное уравнение относительно натяжения О, получим Н= — '„", ~ — —," ~- ~~(~-А) ($.92) Если низшая точка кривой провисания лежит в пределах пролета, то перед корнем следует брать знак ~минус~, если Вне пролета— знак еплюсэ, так как в первом случае натяжение Н меньше, чем во втором, что видно из сравнения выражений (5.87) и (5.88), Геометрическая Сторона задачи. Установим связь между длиной подвешенной нити, пролетом и величиной 1„ »»» =-»~' »»»+Ну»= [3+ (»~ ) 1 й:.
Если нить пологая, то величина ~ — / мала ПО сравнению с еди1ду ~ ! ницей. Раскладывая Выражение 1+ ~ — ~ ~ В ряд по формуле д~ 6инОмз Ньютона и ОГрзничнвзясь первыми дв)»мя членами разложе" НИЯ, ПОЛУЧИМ д$ =- 1+ — — дж.
8 ~й ~й 5=1+ — ° — + —. 3 Г 21 р.95) Физическая сторона задачи. Установим также физические зависимости, Выражающие изменение длины нити От рзстягивз$Ощего усилия и От изменения температуры. Кзк указывалось, для пологих нитей растягивающее усилие можно принять рзВным натяжению Н. При Определении удлинении длину нити заменим длиной 1„что достаточно точно при малом провисании. Тогда упруже удлййенйе От растяжеййя ЬЗ»» Н1~,И ЕР ЕГ о:5 ~3 (5.97) 1'емперзтурйое удлййснйе нйтй Определяетсн по формуле Ь8у == и1, (7" — 7~) = — (Т' — Тю), (5.98) Где Та — температура В момент подвешивания нити; 7" — температура, для которой прОизводится расчет нити. ПодстзВляя сюда — из ВьЦ)зжения (5.83) и интегрируя пО Всей ф длине пролета„будем иметь в-ф+,' (ф+ ", — +)]а~.-~+~~+ф.
р941 Подставляя на Основанни формулы (5.91) И = —, получим, что дР Суммарное изменение исходной длины нити ЛЗ = Ищ+ Ют. = — + (7- — Т,). (5.99) И1 Ы В ЕЕ о'.е ~3 еак ~3 Формулы (5.96) и (5.99) выражают одну и ту же величину— удлинение подвипенной нити. Приравняв правые части этих ра- ВЕНСТВ, НВЙДем, чтО Уравнение (5.1ОЩ совместно со статическим уравнением (5.90) позволяет определить натяжение нити Н и стрелу провисания 1. Определив из уравнения (5.1ОО) натяжение нити гг", можем по формуле (5.79) вычислить растягивающее усилие в произвольном сечении нити, а значит, и Т„„„.
Зная последнее, проверяем проч- НОСТЬ НИТИ: ~мжс П О = — ~ — < 1О1' Г Р с учетом формулы (5.91) получаем (5.101) При расчете нитей удобно ввести понятие удельной нагрузки у, которая представляег собой интенсивность погонной нагрузки д, отнесенную к площади поперечного сечения нити." ф У =- у' Если действует тОлько собственный вес, удельная нагрузка СОВ- падает с объемным Весом материала нити. С учетом сказанного условие прочности можно записать так: а= 1 ~~ 1О1. тР ф " а (5.162) Заметим„что при расчете электрических проводов сечение нити определяется из электротехнических соображений, а затем выполняется проВерочный расчет.
ПриВедем расчетные формулы для часто Встречающегося случая нити с точками подВеса., расположенными на Одном уровне (рис. 148, а), т. е. при соа р = 1. В этом случае Ь = О, реакпии в точках подвеса одинаковы: ф = КВ ~ —, наибольп~ее провисание ~ будет посредине пролета. Как и ранее, оно связано с натяжением формулами (5.90) и (5.91): 1 уР ЯО ц дР (5.163) Ураанение соаместности деформаций (5.10О) принимает Бид ЧЧ4 И 1Рм У 24н~ ЕГ (5. Ю4) Влияние нэмеиеиия темперзт~~ы и нзгр~эки иа напряжение н стрелу прОВисзиия нити. В процессе эксплуатации нить может подВерГзться Боздейст'" »/г Визо рааличных нзгру- 4 ф~ у ~~ зок и температур.
Выяс- х 3 Т, ним, как и Вменяются ф 4 д /~' г нз пряжения и стрела ПРОБИСЗНИЯ НИТИ ПРИ ИЭ* 'Ф ~ МЕНЕНИИ ЭТИХ ФЗКТОРОВ. С этОЙ целью рзссмот РИМ ДВЗ СОСТОЯНИЯ НИТИ: т-е и и-е (рис. 149). Пусть Б т-м состоя- 4 — $»у нии температура рзанз Ф 7, погонная нагрузкз — ф,„а стрела про- ВИСЗНИЯ вЂ” ~щ", ПРИ ЭТОМ ~В 1» Ю Ну натяжение Н = а их 8~ о НЗПРЯЖЕНИЕ В НИТИ О", Уме. 14$ Р При изменении температуры и нагруаки я и-м состоянии до Величнн Tд и ф, стрела проаисаниЯ станет ~„, натЯжение Й„= Фй = — 3 НЗПРЯЖЕНИЕ О И Щ' 3 П УстзнОВим эзаисимость МЕЖДУ НЗПРЯЖЕНИЯМИ И СТРЕ- 8 лами проаисания нити для " щ Х указанных дВух сОстОяний. Задача леГкО реп1зется, 6 если Записать Выражение для длины нити Х к мОмеиту пОд- ВЕСЗ ЧЕРЕЗ ПЗРЗМЕТРЫ ОООИХ состояний.
Если тОчки пОдаесз нити нзхОдятся нз ОднОм уроане, то на ОснОВзнии урзанеиия (5,1О4), исходя из параметроВ т-Го и и-го состояний„соотаетстаен- НО ПОЛУЧИМ Х, = 1 + ~ — ~ — Ы (Т,'„— Tо); (5.105) зн' ЕЕ 4~ н.~ Х, = 1+ —" — —" — Ы(7" — То). 24н'„ Правые части зтих двух выражений, представляющие одну н ту же Величину — Длину нити к мОменту ПОДвесз, равны между сОбой. СледОвз тел ьнО, Ч„,Р Н„,1 а о р ф Р Н 2 в 1+ — — —" — о1 (Т. — Т4 = 1+ —" — —" — аИ҄— Т,~, 24Н~ Е~ 24Н~ Е~ Н,„ ОтсюДВ, обозначая --~ = "~~,„," — ". = у„и учитывая, что '" — о Нд — = 0„, НЗХОДИМ а~ — —" =- О. (5,ИВ) у„РЕ (5.109) Чтобы получить уравнения состояний для нитей, подвешенных нз разных уровнях (рис.
148, б), В качестВе исходной формулы длины Е следует взять формулу (5,1ОО). Тогда уравнение состояния (5.107) примет вид т~РЕ сов р у~„РЮ сок ф Ю Ю о' — " = о — + аЕ (҄— Т„). (5.11О) Ф 24 7 Фи 2~ 2 Выразив, как и выше„напряжения через стрелы провисзния, ПОЛУЧИМ (6.111) Выведенные выше кубические уравнения могут быть решены любым известным методом, в том числе и графическим. При графическом решеиии, например урзВнения (5.1(6)„имеющего Вид ~~ — а~ †6, где а и Ь вЂ” известные числа, запишем его так: ~~ = а1"„+ Ь. (5.112) В прямоугольных кООрдинйтах строим Графики у = 7„' и у =- = а1, + Ь (рис. 15О).
Очевидно, что абсписса точки пересечения кубической пзрабОлы с прямОЙ дает дейстВительный корень уравнения, 3 значит, и искомую стрелу. ДВЗ других кОрня кубического уравнения мнимые. В случае йеобходймостй уточнить получеййое Графическим способом решение мо~~о прймеййть способ Н~~~о~~: ~+~ ~ Г ~фД ~П ~П + к гю ~'Ч.) = Ф вЂ” М.— Ь' Р' Щ =- 3~~ — а. Понятие о критическом пролете. Расчетом на прочность нужно также установить, при каком состоянии нити В ней будет максимальное напряжение. Оно может быть: 3) при нзибольн1ей нзГрузке (Гололед и умеренный Ветер или отсутствие Гололеда„но сильный ветер); 6) при самой низкой температуре без гололеда.
Так как наибольшая нагрузка не совпадает во времени с наиболее низкОЙ температурой, ТО длЯ расчета ВажнО установить, кзкОе из этих состояний будет опасным. Выясним влияние нагрузки и температуры нз напряжения В 4> зависимости от длины пролета нити. ф б Исходим из уравнения состояния (6.107). В случае весьма малых пролетов, положив в атом уравнении 1 = О, найдем, что о'„= а + аЕ (Т вЂ” Т„'), т, е. при малых пролетах изменение напряжер~„~щ ййя завйсйт главным Образом От температуры.
С уменыпением температуры 7;, напряжения О„ растут и наибольшие напряжения в ниги имеют место при низшей т мперзтуре. Рассмотрим теперь случай весьма больших пролетов. Разделив уравнение (б 1ОУ) на Р и положив 1-+ оо, получим о!ц = — „* О,„. тп '~'ФП СледовательнО, если пролеты велики, то изменение напряжения В основном зависит от нагрузки иа нить. Наибольшие напряжения будут действовать при максимальных ИЗГрузках. Нзйдем такую длину пролета, при ИОтОрой напряжения В нити одинаковы в обоих опасных состояниях, т.
е. как при наибольшей нагрузке так и при наиболее низкОЙ температуре. ТакОЙ пролет называетсй кригпическим Щ. Пусть Т„соответствует температуре гололеда, т. е. Т„= 7,~ (Обычно Т, =- — 5'С), при этом 7„= у„,„; Т соответствует низшей температуре, т. е. T,„ = Т„„„; на нить в этом случае действует только собственный вес, так что 7 = 1,. При 1 = 1„, согласно определению, Оп Ое ЫВносй эти даннь1е в выражение (5.107), находим, что Г 24а(Т вЂ” T„,„„) = 1О1~ (5.ИЗ) тнакс 7$ Сопоставлйй Расчетнь1Й пролет с критическим, мОжнО установить, при каких условийх в нити действует наибольщее напряжение Так если 1 <~~ бакр то наибольшее напрйжение будет при низшей температуре.
В случае 1-> 1„„опасное состойние будет при наиболь- П1ЕЙ Нагрузне. Пример 14. Многожильный медный провод сечением Р = 120 мме подвешивакгг при температуре Те 15'С к ОПОрам, расположенным Йз ОдйОм уровне иа расстояний 1 = 100 и. Определить: а) как~~а стрелу провнсайия ~„необкодима Дать проводу, чтобы Впр .* е в б О са ниии рави тась допус о у; б) в у Точек паДвеса провода, чтобы расстОяние его низшей ТОчки От земли было не менее 6 и. Расчет провода провести для следуканик случаев: 1) температура T„= — б'С; при этом провод кроме собственного веса нагружен слОем льда тали1ийой 1 см (гололед), а также горизонтальным дзВле" Пнем ветра ф = 24 кгс/м~," 2) температура Т„„„= — 40сС; действует только собственный вес провода; 3) температура У'„„= +40'С; действует только собственный вес провода.
Первый и второй случаи могут оказатьси опасными с точки зрсйнн прочности провода. В третьем случае мажет образоваться наибольшая стрела провисайия, ЙО кОторой следует Определить минимальную Высоту точек подвешивания враВОда. В соответствии с сортаментом проводов многожильный медный провод секкием Р = 120 мме имеет диаметр д =- 14,2 мм и Вес погонного метра его о„= =- 1,09 к Ум, )Е(одуль упру и ри ла пр да Е= 1,3 ° 106 Усме, коэФ- фицнент линейного температурного рзсши~ейия и = 17 - 10 з 1/'С. Допускаемое напряжение для провода (а) =- 800 кгсУсм . НайДем нагРУзкУ д„„кс Й пеРВОМ случае. Дли ОПРеделениа Веса льда необкодима знзть Внутренний и наружный Диаметры леДЯЙОГО ПОкрова.
Внутренний диаметр его равен диаметру провода, т. е. И == 1,42 см; наружный диаметр 0 прн толщине ледяной оболочки 1 см булат В = 3,42 см. ПЛОИ1ЗДЬ поперечного сечении ЛВДЯНОГО ПОКРЫТИЯ ПРОВОДЗ а (бе — Ф) 3,14 (3,42е — 1,42") 4 4 Прй Объе»»»нбм Весе льда 1»»» =- 0,9 гс$с»»$ нагрузкз От льда на погон$$ый метр ПРОВОДЗ 0„9 7„6 100 д =7„Р„= " " кгс~м=0,684 кгс~м. 1000 ДзВлеине Ветра на погонный метр Обледеневн»его провода 24 - 3,42 »»в = »в» $ =. 100 кгс~м --- 0,821 кгс/м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
