Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Кзк и В случае круга и$$ерн$$И) найдем нз круГе напряжений положение полюса. ДлЯ этого из какой-либо точки круГЙ проведем пряму$0, парзллельну)ю нормальному напряжению на плОщздке, КОТОРОЙ Эта ТОЧКЗ СООТВЕТСТВУЕТ. $ЗК) ПРОВЕДЯ ИЗ ТОЧКИ Вг~ ЛИНИЮ, параллельную О„Ь нашем примере (рис. 16О) — Гор$$зо$$таль~, до пересечения с кругом, на$(ден$ искомый полюс — точку М. Если 6ь$ при этом мы йсходйлй йз точкй Ц~) то следо~ало $$ровести лййи$0, Г$ЙРзллельную напряжению 0$$) т.
Е. ВЕРтикзль. Как и при рзссмотрени$$ кругоВ Н$$ер$(ии, можно показать, что линии, соединяющая полюс М с любой точкой круга, параллельна напра Влению нОрмзльнОГО НЗ$$ряже$$$$Я нз площадке) которОЙ этй тОчка соответствует. Тзк) например) линия МА параллельна Главному нзпрйжен$$ю $$$.
ДейстВительно, .~ Е)цМА = — .$.' В„СА =- 1 = $Х) Т. Е. ОИ СООТГ!ТСТВУЕТ ))ГЛУ МЕЖДУ НОРЬ$НЛ$ъЮ К ПЛОЩЗДКЕ ~8 и нзпРзвлением ггз. Очевидно, что линиЯ МВ пзРзллельиз ИЙПРЙВЛЕИИ$0 ГЛЗВНОГО НЗПРЯЖЕНИЯ ОЗ. Йрймф 16. На Глазных плон$адках денстау$от растягнаООщне напряженна 900 кгсУаР н 6ОО кгсйм~. Требуется найтн нормальные н касательные напраження по граням злеме$гга, одна нз которых наклонена к горнзонталн нод углом Й~' (рнс. $61, а). Пранзаольным образом обозначаем нлонгадкн (и) и ($)) (нанрнмер, так, как наказано на рпсунке) н проводим нормаль и„. т'огда будем иметь от = 9ОО кгс1сьР.„ »т = 600 кгс/см®", »т = О; а = — 70'.
Угол и отрицательный, так как здесь ои отсчитывается ОО часовой стрелке. Решая даннув прямув задачу аналитически, по формулам (6,61 — (6.91 иззодим о:, = о, созз а+ аз з1пз а = (900 - 0,117+ 600 ° 0,884$ кгс7смз = 636 кгс1смз; ор — — о» зцР о, + оз созз и = (900 * 0,884 + 600 ° 0,$17$ кгс7смз = 866 кгс/смз'„ о — о, 900 — 600 т — т» — ь!п»а= 2 2 ( — 0,643~ кгсс/см~ — 96,5 кгс/смз. Учитывая знаки Вычисленных напря$кений, показываем напряжения на гранях элемента аЬа( (рис.
161, а1. Графическое ре$нение приведено ка рис. 161, б. Проведя ~а~зрения, получим координаты точек В„(3,18 см; — 0,485 см1 и 0 (4,33 см; 0,485 см1. Имея В виду принятый масштаб (1 см — 200 кгсймз), приходим к тем же значениям напряжений, которые были Вычислены Выпю. Заметим, что ОднооснОе напряженнОе б; состОяние может рассматрнВаться как частнь$Й случай плоскОГО. При Этом круГ напряжений будет $$роходить через на" чало кООрдннат (рис. 162). Наконец» В случае раанОмернОГО ВсестороннеГО растяжения (0$ — — пз) или сжатия (Оз пз) В плОскОсти круг Мора преара$цается В тОчку ТОГда» как уже указыаалось ранее„асе площадки будуг Глаиными.
5 43. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА В ПЛОСКОМ НАП$»ЯВЛЕННОМ СОСТОЯНИИ При практ$$ческих расчетах наиболее Част~ удается Определить (теорет$$чески или Вкспер$$менталь$$О) нормальные и ~а~а~ель~ые напряжения Ба Некоторых дауд ВзаимйО перпеидикулярнь$х пло$цадках. Пусть, например, $$заестнь$ напряжения а„, т,„, ор, т$$ на Взаимно перпендикулярнь$х площадках ВыделеннОГО Элемента (рис. 163, а). По зтим даннь$М требуется определить Велич$1нь$ Глаиных напряжений и положение Гланных площадок. Сначала решим эту задачу Граф$$ческ$$. Для ОпределеннОсти примем» что сг»т, .'~' О$$, а 'Г»» ~~ О. $:$ ГеометрическОЙ плОскости В системе прямоуГОльных кОординат и — 'Г нанесем точку В~ с кООрдинатами о,, т и точку Ва с координатами аа, та (рис. 163, б).
Как указывалось при рассмОтрении прямОЙ задачи, точки В„и Ва лежат на конпах одного диаметра. Следовательно, соединив их, находим центр круга — тОчку С вЂ” и радиусом СОд = СВр прОВОдим Окружность. Абсписсы точек ее пересечения с осью а — отрезки ОА и ОВ— ДВДут соответственно величины Главных напряжений п~ и о2, Для Определения полОжения Главных плОщадок найдем пОлюс и воспользуемся его свойством. С зтой целью из точки О,„проведем линию параллельно линии действия иапряжения 9~, т.
е. ГоризОнталь. Точка М пересечения зтой линии с окружностью и является полюсом. Соединяя полюс М с точками А и В, получим направлеиия Главных напряжений О~ и О2 соответственно. 1 лаВные плО- щадки перпендикулярны к наиденным напраВлениям Главиых напри" жений. На рис. 163, й Внутри исхОднОГО злемента выделен злемеит, ограниченный главными площадками. На Гранях злемента показаны Главные напряжения О~ и 6~- ИспОльзуем построенный круГ напряженнй для получения ана литических выражений Г~а~~ы~ напряжений О, и О~, соотве*ствующих отрезкам ОА и ОВ.
Имеем а, = ОА --= ОС+ СА; (6. 17) Очевидно, Подставляя выражения (бЛ9) и (6.20) в выражения (6ЛУ) н (6.Щ, ПОЛУЧИМ %+ор / 1сЪ ъ~Р а о + ба О Оа р Учитывая принятое правило знаков, найдем выражение для тангенса угла наклона главного напряжения о~ к оси О'. Из чертежа ИЛ~ТС6РВНЧЕСИИ 6ОЛЫИСТО ТЛЗБНОГО НЗНрйжЕНйй. НБНОМНИМ, ЧТО ОТРИЦВТФЛЬНОМ~ ЗННЧРНИЮ И СООТБВТСТБУ6Т ПОВОРОТ ПО ЧИСОВОЙ СТРСИКС. СЛ6ДУЮТ ОбрБТИТЬ ВНИМБНИЮ й Нй ТО» ЧТО ВСДИ ОДНО ИЗ ПИВНЫХ НЭ- йрйженйй, Бычйсленныи нО фОрм~лзм (6.2Ц, Оиаойетси Отрйцзте.пьйым, й другОе НОлОжитсльйым, тО йй следует ОбОзййчйть НВ О, й и„ и О~ й Оа. Есдй ж~ Обз тлйййь~к нипрйженйй Ойзйфтсй ОтрицзтепьНЫМИ, ТО Иа й Оа Прджр М7.
ПО граням Влемейта (рнс. 164, а) действуют показаннме напря3кения. Нужно нантн главнне напряжения и СООТВетст$фющие нм Главюае на ИЙавленияЕслн ОбОзначнм площадки такр как НОкааано на Рнсуике, тО а = ИЕО кгс7сма; О(, — — — 800 кгс~см"; т = — бОО кгс/см~; т(, 50О кгс~сма. ПО формуле (6.21) находнм, чтО 1 О = — (О +а~+ (΄— О„Р+4ф = та — ( — 6ОО) 5ОО (а . = — ----- — -- — — -- — — — -'- --- — ол59; о1 — оР 1 13Π— ( — ВОЯ ЬЗО а„= 14'32'.
Этот утол отиладй-:наем от ГоРнаонтали (напРааление и„) протиа чаеоной етРелкн и получаем направление оФ, напрацленне оз перпендикулярно к Бему. Иа Рис. 164 исполнено также траФичеекое Решение аалани а соотаететаии е иаложенним ацше планом, Ф 44. ПОНЯТИЕ ОВ ОБЪЕМНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИЙ В зэДачэх сопротивления мэтериэлОВ трехосное, или Объемное, напряженное ~ос~ояние Встречается редко. Поэ~о~у Отм~тим адссь лищь некОторые мОменты теории ОбъемнОГО напряженного со" СТОЯНИЯ. Иа рис. 165 изображен элемент, который находится в объемном напряженном состоянии и грани которого предстэвляктг собои главные площадки.
Вычислим для негО напряжения нэ других, неГлэВ- НЫХ ПЛОЩЭДКЭХ. Вначале рэссмОтрим площадки, параллельные ОднОму из ГлэВ- ных нэпрЯженнЙ например, проиавольн«'ю плОщэдку 1„параллель" ную главному напряжению О',. Как указывалось Вьппе, нормальные и касательные напРЯжения на такоЙ площадке не Зависят От Оа и пеликом ОНРеделяются Величинами па, Оа и наклОном плОЩЭДки, Напряженное состояние на таких площадках может быть изображено графически при помощи круга Мора ~у (рис. 1Щ, построенного на Главных напряжениях а и а . Совокупность всех точек этой Окщжности Описывает напряженнОе состояние Всех сечений прО Веденных В элементе параллельно П1~ ТОчнО так же напряженное состОЯние плОщадок П„параллель ных а„будет Описываться Точками Окружности Еуу, поегроенной на п~ и Оз„а напряженное состояние плОщадОк Щ параллельных Оа,— 'ГОчками ОкружнОсти Ад~.
Точки С~, Сд и Суу — сООтветстВенцо центры этих окружностей. МОЖНО ПОКаэатЬ, Чта НапРЯЖЕННОЕ СОстОЯНИЕ На пЛОЩаДКаХ, НЕ параллельных ни Одному из главных напряжений, изображается точками В~ (О, т,„), лежащими в заштрихованной Области (рис. 166). Аналитически нормальное и Касательное напряжения на Таких плО- щаДках мОГут быть определены по формулам Оу = П~ СОЗ И~ + ПЗСОЬ Яз + ПзССЗ б~~~ (6.23) тд = О~ соз и~ + Од СОЗ Яа + пз СОВ и~ — Пд, Где и~, К~„Фэ — угли„которь:е Образует нормаль к рассматривае моЙ ~л~щад~е с направлениями п„п, и п„соотВетственно. Легко установить, на каких площадках будет действовать наибольшее касательное напряжение т „, при трехосном напряженном состоянии, и найти его Величину.
О~~В~Д~О, что ~О~К~Й, характеризующей напряженное состояние площадки, в которой действует т „„будет точка В (рис. )66), так как Она имеет наибольшую Ординату. ТОчка В лежит на Окруж ности Еп, определяется углом а = 45' и имеет ординату, равную радиусу болыпого круга, т, е. ~', '. СЯедовательно, при любом объемном напряженном состоянии наибольшее касательное напря- жение и действует пО плОщадке, параллельной ГлавнОму напряжению Ф~ и наклоненнОЙ пОД углом 45' к главным напряжениям п1 н Оэ. Известный интерес, Особенно при изучении пластических деформаций, представляет касательнОе напряжение, действующее пО плО- щадке раВнонаклОненной ко Всем главным направлениям, Такая площадка называется ОюВ73фйчюкОЙ~ поскольку Она параллельна Грани Октаэдра~ который может бить ОбраэОВан иа куба.
Нормаль к 3~ТОЙ плОЩВДкеОбразует равные углы с Главными направлениЯми: Я~ - — Яа = Оэ = сФ. Учитывая, что Вс~~да соУ~Х, + ~~'О~,+ ссиРс~э= 1, 3 Ох = = Тюкт~ $~ 2 или Вырзжэемяо через Глзаиис пзпряжспия форщлОЙ О' = 1 П~~ + Оу + ОЗ вЂ” (7~0~ — О~О~ — ОдО~ = — (о, — а2~~ + (а — аз~~ + (а — О'„2 . (6.26) В ззклй)чение Отметим, что Все ЭЭВисимости и способм реГпения эздзч, Описанные В Этом и предыдущих пэрэГрзфзх Гл. 6„Верят Для напряженных сОс'ГОЯний, соотВетста~ющих кзк упруГим„тзк и ПЛЭСТИЧЕСКИМ ДЕфОРМЭЦИЯМ. Ф 4$. ДВФОРМАЦИИ ОРИ ОВЪЕМНОМ НАПРЮНЕННОМ СОСТОЯНИИ.
ОВОВЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА Исследуя деформации и рзссмэтриВзя Вопрось$ прочности при ОбъемнОм и плбскОм напряженных состОЯниЯх, будем В себтВетстВии С ОСИОВНЫМИ ГИПОТЕЗЗМИ И ДОН~ ЩЕНИЯМИ ПРЕДПОЛЗГЗТЬ, ЧТО МЗТЕРИЗЛ след~ет зэкощ 1 укэ, э деформации малы. Изучая простое рэстяжеиие — сжатие, мы Вь1яснили„что ОтноСИТЕЛЬНЗЯ ПРОДОЛЬНЭЯ ДЕфОРМЗЦИЯ 3= —" (6.27) З ОТНОСИТЕЛЬНЗЯ ПОПЕРЕЧНЭЯ ДЕфОРМЗЦИЯ В' — — ~Х вЂ” ' (6.26) Эти дВЗ рзВенстВЗ Выражали Закон Гукз (ВЗВисимость между ДЕфОРМЗЦИЯМИ И НЗПРЯЖЕНИЯМИ) ПРИ ПРОСТОМ РЗСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖЗ- тии, т.
е. при линейном напряженном состоянии. Здесь устзноьим зааисимости между деформациими и наприжениими В Общем случае ОбьемнОГО наприженнОГО С~~ТО~~ИЯ. Обобщенный закон Гука. Рассмотрим деформацию элемента тела ВыбраВ Этот элемент„а Виде примОуГольнОГО параллелепипеда размерами и х о х ~ (рис. 167». ПО Граням параллелепипеда Д~ЙС~~у~т Глааные напряжения О'Г, пр, О'д (для Выиода предполатаем, чтО Все Они положительны). Вследстаие дефОрмации ребра злемента изменяют саою длину и СТВИОВ~ТС~'рааными и+ Лп; Ь + ЬЬ", с + Ьс, З Величины ф нааыаз ются злпдйьиш ф- лпйГйпя ии и предстааляют 0 собОЙ Относительные удли- РИЕ. 4$У нения В Глааных напраВ- ЛЕНИЯХ.
Цримении принцип суперпОзиции, мОЖИО записать И 6~ —— Ю~ + В~ +. З~, Где В~ — ОтнОсительное удлинение В напраВлении О~, Вызаанное дейстаием тОлько напряжении О~ (при пд = О'з = О)„ В~ — удлинение В тОм же напра аленин, ВызВанное дейстаием ТОЛЬКО О~', — удлинение, ВызВанное дейсГВием 6~з. ПоскОльку напраВление О~ для самоГО напряжения п~ яаляется продольным, а длЯ наприжений а2 и аз — поперечным, то, применЯЯ формулы (бЩ и (6.28)„находим, что ~у ~ О' ~~с Оэ 6~ =- В1 = — ~4 — 6~ Е ' Е ',Е Сложна эти Величины, будем иметь ~У~ Оу, Оэ 1 Е- Р,~ — Р р = д К вЂ” Р(ПЗ+ОЗЛ- Формулы (6.29) Выража«от абоби«ен««ай ажон Гу«и для изоглролйою ««««лй, т е.
ВВВисимОсть между линейнкмн деформапиями и главными напряжениЯми В Обп«ем случае трехосного на- пряженнОГО состояния. Заметим, чтО сжимающие напряжения ПОдставлянтг в эги формулы со знаком еминуса, Изформул (6,29) легко получить формулу закона Гука для плоского напряженного состояния. Например~ для случая Од = 0 1 В, = д («т — коз)' Выражения (6.29) справедливы не только для главных деформаций, но и для относительных деформаций по любым трем Взаимно перпендикулярным направлениям, пОскОльку при малых дефОрма- ПНЯХ Влияние сдвига на линейную дефОрмацию предстаВлЯет собой селичину второго порядка малости. «ак, относительные удлинения и направлении действия напряжениЙ Од и Ор (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
