Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 29
Текст из файла (страница 29)
167, б) ар, = — («У~ — ~А««В); Объемная деформация. Установим С~Из~ между о~~оси~ельным изменением Объема 8«и главными Напряжениями. До деформации элемент занимал обьем $~, = аЬс. В деформироВ~нном сосгоянии его Об~ем 1'= (а+ Ьа)(Ь+ ««Ь)(С+ЛС) = = ай~1+ ~') ~~+ — "~)(~+ ") - и,<~+в,ц1+к и~ +ед = ~ е («+ В«+ ~Ъ + Вз + В«ВЗ + езвз + ВФ«+ В«аиаз)- УчитыВая незначительную Величину Относительных деформа««ий, ~о~ледними четырьмя членами мОЖем пренебречь. Ч'Огда относи- тель««ое изменение Объема Р— $',) = В«+ «Ъ+Ва. Выразив глаВньге удлинения через главные напряжения при пО- мощи формул (6.29), получим Где Е 1( э»» р ) ° (6.331» Величина К назыааетен мбдулВм Обью'-мйби дефис»»мйщш.
Из формулы (6.32) ащ»цо, что пди»»еф" фма»»ни тела, материад к(щ)АЛОГО ИМЕЕТ КоэффИЦИЕНТ ПУаСЕОНа»а = 0,5 Р (например, резина), объем тела не мее»нетей. Пример 18. Брус плотно, но без напрнжения вставлен между двумя неподвижными стенками й подверГзется сжатию равкбмер1ю распределеннммн по Горизонтзльнкм Граням силами Р »рис. »68). ПреиебреГВЯ трением между брусом и стенками, найти силм давления еГО йа стенки и изменение еГО размеров, если Е и р материала бруса известны. Напряжения сжатия, котове возникают В 4- и Одольйом направлении, являются следствием кта Пуассона и стесненности деформзцни» т. е. предстзвлйкл Собой Вторнчнмй аффект, Вь~- званний действием напряжений в вертикальном изпрзВлении. Псьтому предползГзем, что Оии по велйчийе мень~не, чем вертикальнме. Учитмвая это, ВВОдим дли напрйжений Обозначений, укз заыще нз рис.
»68»ато будут Главные напрнжений, тзк как т В Грзнйх бруса, ОчеВиДЙО, Отсут" ствуют». '»ОГДВ имеем ж О,=б; О= — — ° 6ь Через Ф ОбознзченО Давление стейОк Йа брус. Поскольку ПО условию ззДзчи рзз мер» не йзменйетсй, Вз = О. Из второй формулм (6.29) Относительное нзменение обьемэ по формуле (6.32) 1 — 2„~ ИР Р 1 (1 — 2й О+И Р, а юмФБФЙЙВ Объбмз бятз Поли'~ч~иольйой эие~~ней дафн,ио~~нн йаэывается эйергйя, которая накапливается в теле при его упругой деформации. Когда пОд действием Внешней статической наГруЗки тело деформируется, тОчки приложения внешних сил перемицаются и ПОтенциальная эйергйя положеййя Грува убывает йа Велйчйну„которая численйо раВна работе» сОВершенной Внешними силамй. ЪЩзгия~ потерянная Внешнймй силами, не исчеЗает, а превращается, В ОсноВном, В потенциальную энергию деформации тела.
Остальная, незначительная Часть рассеивается, главнь~м обраэом, В Вйде Гспла эа счет раэлйчйь~х процессов„пройсходя~цйх В матерйале при его деформацйй. Потенцйальная энергйя деформацйй У накаплйвается в Обратймой форме — В процессе раэгруэкй тела Она С~о~а преврашдется В ЭНЕРГИЮ ВйЕШййХ Сйл йЛй В КйнЕТИЧЕСКУЮ ЭНЕРГйЮ. Величину пОтснпиальной энергии деформаций, приходящуюся на единицу объема (1 см') тела, наэывают удельной по~~нЦйо.~алло~~ эн~~еней Й~фо~~~~~пн й Обоэйачакл и. В равных ТО~ИВ~ *ела Велйчйна н ~о~~т быть раЗличной.
Величину потенцнальнОЙ энерГии дефОрмации можнО легко Вычислить на Основе Закона сохранения энерГии. Поскольку при статическоЙ нагрузке кииетическая энерГия системы остается неиЗменной, тО приращение потенциальной энергии деформации У равно уменьшению потенциальной Энергий положения Внешних сил (~п. У= У„. ~ма.
~а» Уменыпение ЙОтенциальной энерГйи Внепн1их сил чйсленнО равно работе Ар, сОВершенной ими при деформации: У„=- А1. Таким обраЗОм пОтенциальная энерГия деформации численно раВ на рабОте Внешних сил, затраченной при упруГОЙ деформации тела; С=А~. (6.34) В случае простого растяжения или сжатия стержня (рис, (69) на основании формулы (4.29) (уЗ И==.
2Е (6.36) Вычислим теперь удельную потенциальную энергию В общем случае объемного напрнженного сосгОЯниЯ, Длн этОГО Вырежем эле- мент в аиде кубика с длинами ребер, 2 равными единице (рис. 170), Граии ЬЪ которОГО являются Главными площад- У ками. На этих площадках действуют Г Главные напряжения О~, О~ и Оэ. Пос" Фю кольку площади гранеи раВны еди- < НИЦЕ, ТО литву~>щНЕ В Них усилия численно равны О;, О, и и,. Они проиа- ВОДЯТ рабОту на тех перемещенинх» б 6' которые получают Граии Вследствие деформации рассматриваемого злемен ~*е та.
Перемещения в данном случае численнО раВны Главным удлинениям Рмс. РВ е~ ер ад так как ребра имеют еди НИЧНУЮ ДЛИНУ. Таким Образом, на Основании формулы (6.35) И' + "~ + Ф 2 2 2 (6.37) Такое суммирование работ главных напрнжсний Воамо~кно, поскольку главное напрнжение а, производит работу только на перемещении а~, 02 — на перемещении 8~ и О~ — на перемещении 8~. Подставив Выражении а„а, и аэ иа формул (6.29) В формулу (6.37), найдем, что Удельнаи потенциальная Энергии формоизменений» При деформации элемента (рис. 17О) изменнетсЯ, вообще говорЯ, как его объем, так и форма (из кубика Он превращаетсЯ В параллелепипед).
В соОтветствии с этим МОжнО считать„чтО полная удельная потенциаль" ная энерГия деформации (6 Зе) Иф — Удельнзв потенциальная Энергия фОРмОиаменЕНИЯ, Т. е. энергия, нзкзпливаемзя Вследствие изменения форми эЛементз. Непосредственное Вичисление и4„затруднительно, пОэтОму най- дем сначала Р~. Это мОжнО сделать, исходя из предположения О том~ что в рззличнмх элементах при ДеЙ~~ВНН разах главных напряже- ний величина и~ будет одинаковой, коль скоро у элементов будет Одина кОВОе изменение Объема ау.
Кроме рассматриваемого элемента (назовем его А) введем еше Вспомогательный элемент А . Пусть А — тоже единичный кубик, но по граням его Действ~~от Одинзковь~е главные напряжения о~ —— =- о~ = оз — — о'. Для этого элемента, согласно формулам (5.32), (6.39) и (6.38), 3(1 — 2ф,, ° " 3(1 — 2И) г ~ ау —— ' о, а Й =- иг +цр = (о)). М Но„ очевидно, элемент А' при деформировании меняет только свой Объем~ форма же его не изменяется (ОстзетсЯ кубической).
Поэтому и~=0 и, ир = (а')~, 3 (( — 2ф Выберем Величину о такой, чтобь$8у = а~, т. е., чтобы 3 (( — 2р~ ~ ( — 2р р (о1 + ~Ъ + оа) <ъ~+ «Ъ+ «Ъ О = 3 е ПоскОльку у 06Оих элементОВ изменеииЯ объема Одинаковы, из основании принятого предположения можно утверждать, по 3 (~ — Ф) (о + оэ+ оэ) Му=Му = Ф ЭтО и есть искомое выражение для удельной пОтенцизльной энергии формоизмеиеиня. Важ$$ейп1ей Задачей и$$же$$ерного расчета является оцсйка проч ности детали по йзвестйОму Йапряже$$иому состояй$1Ю. Наиболее просто эта задача реп1ается для простъ$х Видов деформации, В частйости для ОдйООсных йапряжеийых сОстОяний, так как В этом случае з$1ачейия предельных (опасных) напряжений легко уста йОВйть экспер$$менталь- ИО. ПОд Опасйыми напряже" $1иями, как уже указывалось, 3- поиимают напряжеиия, соот- Ф ветствующ$1е началу разрупя.'- Й д ййя (при хрупком состоя$$$1и материала) или появлейию Ос" $на.
$Т$ таточпых деформаций (В случае пластическоГО сОстОяния материала). 1 ай, испытан$$Я обраацов из данного материала на простое растяжение или сжатие позволяют без особых трудностей определить зйачейия Опасных напряжеи$1Й; ИЛИ О =$$э. ПО Опасйым иапряжейиям устайавливают допускаемые напрЯ- жеиия Ь+1 при растяжении или $$$ ) при сжатий (см. $ 34), обеспечивая извест$$ый коэффициент за$1аса прОтив Наступления предель" ИОГО сОстОЯний. $ ак$1м Образом, услОВие прочйостй для'Од$$оосйого йапряжеиного состояния (рис. 171, а) при$$имает вид $$, < ~$$+) ИЛИ ~а.„~ ~ ~О 1.
Рассмотриь$ теперь вопрос О проч$1осгй матерйала прй сложйом иапряжеййом состояйии, когда в точках детали два или все три главных напряжения $$$, $$2, аз не Равны нулю (рис. 171, 6). В этйх Случаях, как покааывают Опыты, для Одного й того же материала ОпаснОе состояйие мОжет иметь местО при рааличйых предельных зиачениях Глав$$ых $$а$1ряже$1$1Й $$1 Оу $$з В заВисимости От соот$1оше$$$$Й между ними. Поэтому эксперимсйтальпо установить предельйые велйчййы $'лавйых йа$1ряже$$йй Очейь сложйо йе ~ол~~о из-за трудйости постанОВки Опь$тов ИО и йз-За 6Ольшого Объема испыта$$и$1* Другой пут$ реп1ения Задачи заключается в устанОВле$1ии критерия проч$1ОСТ$$ (критерия предельйого напряжей$$о-деформйрова$1- иОГО состояйия). Для этоГО ВВОдят Гипотеву О пре$$муп$естве$$йом Влияйии иа прочность материала ТОГО или инОГО фактОра- пОлаГают, что нарушеиие прочности материала при любом йапряжениом состоя- нйи наступит 'ГолькО тОГда, когда Величина данноГО фактора достиГ- нет некоторого предельного значения.
Предельное значение фактора, Определяющего щючность, находят на ОснОВаиии простых легко осуществимых опытов на растяжение. Иногда пользуются также результатами ОпытОВ иа кручение. Ч'аким Образом, Введенйе критерия проч- 4и ностипОЭВОляетсопоставитьданноеслОж- ~ /' ное напряженное сОстояние с простым, 4 например с Одноосным растяжением )— (рис. 172), и устанОвить при этОм такОе l ! $ экВивалентное фасчетное) напряжение, кОторОе В Обоих случаЯх дает ОдинакоВый коэффициент запаса.
Под коэффициентом запаса В общем случае напряженноГО состояния Понимают числО п, показывакяцее, ВО скОлькО раз нужно ОднОВременно увеличить Все компОненты иа- пряженнОГО сОстояния О~„02, Оз„чтобы ОнО сталО предельным: 0~ = ПО'~", О~~ = П0~„6'3~ = ПОд, Выбранная указаниым ОбраЗОм Гипоте33 часто называетсЯ м6'- ~йтннческой гнеопдей прочностпй. Нйже рассмотрены некОторые из таких теорий. Критерий наибольших нормальных напряжений ~первая (1) теория прочности).
( ОГласно этой теории, преимущественное Влияние на прОчнОсть Оказывает Величина иайбольшеГО ИОрмальпОГО напряжения. Предполагается, что нарушение прочности в общем случае иапряженнОГО сбстОЯИНЯ наступает тОГДВ, коГДа наибольшее нормальное напрЯжение ДостиГает опасноГО значения О, Последнее устаиаВливаетсЯ при проспхч растяжений нли сжатии на Обра3цах НЗ даннОГО материала. Условие нарушения прочнОсти при сложнОм напряженном состо- ЯЦИК ИМЕЕТ ВИД О, Ох О+~ 1М =- 0"-. Условие прочности с коэффициентом запаса а следуащее." ~а, ~ ~а+ц Таким Образом, критерий наибольших нормальных напрЯжении из трех Главных напряжений учитывает лишь ОДНΠ— наибольшее полагая, что два других не Влияют на прочность. Опьлиая проверка пОказывает, что эта теория прочности не Отра жает условий перехода материала В пластическое состояние и дает при некоторых напряженных состОяниях удовлетворительные результать$ лишь для Весьма хи"пких материалОВ (например, для ка я, «р ча, Нера .
к, струме . ьной а. и т. и,), Критерий наибольших линейных деформаций ~вторая (Щ теория прочности~ СОГласнО этой теории, В качестве критерия прочности принимают нанбольшу~о по абсол1отной Величине линейну~о деформацию. Предполагается, что нарушение прочности В О6ШЕМ случае напряженнОГО состояния наступает тогда кОГда наибольшая линейная деф: рмация а„„„достигает своего Опасного значения В". Последнее Определяется при простом растяжении или сжатии ОбразцОВ иЗ данноГО материала. Чаким Образом, Условие разрушения следууощее: Емвкс = В~э (7.3) а условие прочности— ~О 1а.;.~ -И= — „.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
